21 Nisan 2017 Cuma

John Freely'nin ardından




Boğaziçi Üniversitesi Fizik Bölümü'nün efsane hocalarından Prof. John Freely’nin vefatını dün teessürle öğrendim.


Kendisinden bilim tarihi ve astronomi ile ilgili iki ders alma şansına sahip olduğum için kendimi şanslı hissediyorum. Ders haricinde de sayısız hatıralarımız vardır. Şu dünyada gidenin ardından hatıralardan başka birşey kalmadığı için bir iki tanesini yad etmek isterim.

Öğrencilik zamanımda Beşiktaş’ta vapurdan indikten sonra doğrudan okulun kapısına giden Hisarüstü otobüsleri yerine biraz aylaklıktan ayak diretip Bebek’ten geçen otobüslere binerdim ve Bebek kapısından girip korunun içinden yavaş yavaş yokuş yukarı Güney Kampüs’e yürürdüm. İşte aynı saatlerde havuzun yanına park etmiş olan bordo renkli bir Renault dikkatimi çekerdi zira bu arabanın direksiyonu sağ taraftaydı, nasıl olmuş, nereden Türkiye’ye gelmiş merak ederdim. Bu arabayı kullanan pamuk sakallı ihtiyar ile sık karşılaşırdık ve bazen yokuş yukarı yürürken beni gördüğünde durup yukarı kadar atardı.

Bu kısa sohbetlerden 40 yılı aşkın süredir Arnavutköy’de oturduğunu, İrlanda asıllı olduğunu, dedesinin bir savaşta Türklere esir düştüğünü, İstanbul’a getirilip gördüğü iyi muameleden ve İstanbul’dan etkilendiğini, geri döndüğünde bu güzel şehir ile alakalı bir sürü kitap getirdiğini, kendisinin çocukluğunun bu kitapları okuyarak İstanbul’u merak etmekle geçtiğini öğrenmiştim.

Astronomi’ye Giriş ve Bilim tarihi derslerinden birinde Keppler’in ilk güneş sistemi modellerinden olan iç içe geçmiş 5 platonik katı ve bunların küreleri modelini anlatmıştı ve işin ilginci bu modelin gezegenlerin güneşe olan mesafeleri için hiç de kötü sonuç vermediğini söylemişti. Merakımı celb eden bu konuyu biraz sorduğumda “oranları hesaplayıp gerçek yörüngelerle kaşılaştır, bir dönem ödevi olarak getir, doğrudan AA vereyim” dedi. Dediği gibi yaptım ve notu kaptım. Lisans’ta aldığım çok ender AA’lardan biri olduğu içn unutmam bu hatırayı.

Bu güzel dersleri ruhsuz ve sevimsiz beton yığını kuzey kampüsün basık bir binasında yapardık, o da elbette bunun farkında olduğundan bir seferinde camdan dışarı bakıp bundan daha güzel hapishanelerde kamışlığım vardır demişti. Muhtemelen İkinci Dünya Savaşı hatıralarından biri gözünde canlanıyordu. Bir seferinde yine özel bir ders arası sohbette o günlerde toplumun önemli bir mevzuya karşı kayıtsız kalması ve Galatasaray’ın bir maçı kadar ilgi görmemesinden yakındığımda bu hiç değişmez dedi ve hatıralarından birini paylaşmıştı benimle: "Çin’de ismini bilmediğim bir yerlerde bir kamyonun arkasında uyuyordum, komutanlardan biri ayağıma bir tekme atıp: “Wake up soldier, the f**ng war is over!” diyerek neşeyle bir gazetenin ilk sayfasını gösterdi. Gazetenin birinci sayfasında kocaman atom bombası resmi ve Japonya’nın teslim oluşu haberleştirilirken diğer yarısında aynı büyüklükte New York Yankees’in beyzbol maçı ile alakalı bir haber vardı. 😊

Galatasaray demişken semt olan Galatasaray’daki “karıncaezmez” dolmuş şoföründen şehrin envai çeşit orjinal tipini, arka sokaklarını her detayını bilirdi. 40’a yakın kitabından bir tanesi fizik ile alakalıdır, diğerleri İstanbul tarihi, gezi rehberleri, vs... Kafamızda hayal ettiğimiz, düşüncelerimize, inançlarımıza uydurmak istediğimiz, geçtiğimiz onyıllar boyunca renklerini teker teker sildiğimiz İstanbul’u değil, hayallerimizin ötesinde renkli, zengin ve GERÇEK İstanbul’un yazarıydı. Bu bağlamda benden çok daha İstanbul’lu idi diyebilirim. Haberin başlığı çok güzel seçilmiş: “İstanbul’un hafızası hayatını kaybetti”.

Biraz mizahi bir son hatıra olarak bu onu ilk kaybedişim değil esasında: Lisans öğrenciliğimin artık son yıllarında John Freely’yi belli bir süredir görmüyordum ve merak da etmiştim. Sonra bir şekilde öldüğü haberi yayıldı ve bu nasıl bir bölümdür, hiç haberimiz olmaz diye yaygarayı koparmaya başlamıştım ki hocayı güney kampüste yürürken gördüm. Bir parça rahatsızdı muhtemelen, baston kullanmaya başlamıştı. Koşarak yanına gittim, neşe ile elini öptüm filan şaşırdı, iyisiniz inşallah filan espri ile karışık öldü dediler hocam sizin için dedim. Yine zengin tarih bilgisi ile Ortaçağ’dan ismi “yarı-ölü” anlamına gelen bir adamın hikayesini anlattı. Biraz ona benzedim sadece diye bitirdi...

Bu seferki rivayetin de böyle neşeli bitmesini isterdim...

Orjinal ve güzel bir adamdı vesselam. Benim ömrümden daha uzun zamandır İstanbul’da olmasına rağmen Türkçe konuşup konuşmadığını hala benim için bir muammadır. Bilen varsa da öğrenmek istemem, bazı şeyler sır olarak kalsın...

Güle güle hocam,
Güle güle hemşehrim,
Emekleriniz için müteşekkirim...

5 Mart 2014 Çarşamba

Kara Yarımküresi ve Jules Verne


Coğrafya derslerinde dünya küresi genelde ekvator büyük dairesi ile ikiye ayrılarak, kuzey ve güney yarım küreden müteşekkil olarak anlatılır. Esasında bir küreyi iki yarım küreye ayırma işlemi sonsuz farklı şekilde gerçekleştirilebilir. İşte dünya için olası yarım küre tercihleri içerisinde "yüzölçümü olarak içerdiği toplam kara miktarı en çok olacak şekilde" bir yarım küre seçerseniz bu yarım küreye "kara yarım küresi" adı verilir(miş). Miş'i ekledim zira ben de bu ne işe yarayabileceğini kestiremediğim bilgiyi yeni edindim. Nasıl mı? Şu anda doktora sonrası araştırmalarımı yürüttüğüm Fransa'nın Nantes şehri yukarıda gördüğünüz "kara yarımküresinin" tam ortasında (yani tepe noktasında) yer alıyor da ondan. Bu lüzumsuz bilginin wikipedia sayfasında yer aldığını düşünürseniz şehrin ne kadar "enteresan" bir yer olduğunu kestirebilirsiniz.

Oysa şimdiye kadar her şeyi ile standart bir Avrupa şehrinden bir farkını göremediğim Nantes hakkında malumat edinirken esas ilgimi çeken şey bilim kurgu türüne damgasını vurmuş (ve çocukluğumdan beri bilip sevdiğim) Jules Verne'in bu şehirde doğup yaşamış olması idi. "Denizler altında yirmi bin fersah", "dünyanın merkezine yolculuk", "seksen günde devr-i alem", "dünyadan aya seyahat" başta olmak üzere birçok eserinde insan hayal gücünün sınırlarını zorlamayı sevmiş ve sevdirmiş bu yazarın yaşadığı yerde olmak sevenini bir parça heyecanlandırabiliyor. 

Dünyadaki her şehrin çok zorlanırsa meşhur olan bir özelliği bulunabileceğini düşündüğümden dolayı bu kendiliğinden gelen yazıyı buraya ait (özellikle bizde meşhur) iki gıda maddesini zikrederek bitireyim: 1. Pöti bör bisküvi, 2. Galete. Evet, ikisinin de kökü burasıymış. :-))

16 Aralık 2013 Pazartesi

Astronomik seyir: Unutulmaya yüz tutan sanat

Kıyılardan uzaklara açılan gemiler her ne kadar gittikleri yönü pusuladan, gittikleri hızı ve aldıkları yolu da parakete denilen basit düzenek yardımı ile bilip hesaplayabilirlerse de akıntının ve rüzgarın sadece tahmin yoluyla bilinebilecek etkileri günler boyunca üst üste binerek geminin konumunu giderek daha az kestirilebilir bir hale getirir. İşte bu yüzden özellikle açık denizlerde ve okyanuslarda bağımsız bir kaynaktan geminin konumunun doğrulanması hayati derecede önem taşır.

Eğer 30 yıl kadar önce bu yazıyı yazıyor olsa idim muhtemelen bu giriş paragrafı ile ilgi çekmeyi başarırdım. Zira günümüzde artık uydu konumlama sistemleri (GPS, GLONASS) sayesinde konumunuzu elektronik bir ekrana bakmak haricinde hiçbir uğraş vermeden 20-30 metre kesinlikle bilmek mümkündür. Dolayısı ile bu yazı aşırı derecede eski moda bir metoddan bahsetmektedir ve bunlara artık ne gerek var diye düşündürebilir. Şunu söylemek ile yetinelim: Yukarıda bahsedilen konumlama sistemlerini kendi savunma (!) amaçları için geliştiren ABD ve Rusya bunları her ne kadar halkın kullanımına açmışlarsa da sonuç olarak kontrolü onların elindedir ve sinyalleri her an kesmeleri mümkündür. Bir diğer husus ise yine bu iki ülke neredeyse tüm dünya stratejisinin etrafında döndüğü korkunç silahlar olan ICBM'lerin (kıtadan kıtaya atılabilen nükleer başlıklı füzeler) seyr-ü sefer sistemlerini uydu navigasyonu ile değil burada bahsedeceğim klasik usül astro-navigasyon temelinde planlarlar çünkü bu yöntemin herhangi bir düşman aldatmasından etkilenme riski yok gibidir. (Yıldızları yok edebilecek teknoloji henüz geliştirilemedi çok şükür.) Dolayısı ile mevzu günümüzün lüks çılgınlığı dünyasında eskimiş ve kullanışsız gibi gözükse de özü itibarı ile en güvenilir metoddur. Bunun yanında üzerinde düşünmesi ve uygulaması kainatın işleyişini anlamak, 3 boyutlu hayalgücü, pratik zeka, el becerisi, konsantrasyon ve hesapsal yetilerin gelişmesine fevkalade yardımcı olur. 

Bu konuda yazılmış sayısız kitap ve kaynak bulmak mümkündür. Gayet kapsamlı, temiz anlatımlı ve çok da uzun olmayan bir kaynağa şu andresten bedava erişilebilir: (http://www.celnav.de/astro.zip)

Bu blogu takip edenler bilirler ki yazdığım yazıların tamamına yakını bilinen şeyleri papağan gibi tekrar etmekten, birilerinden kopyalamaktan  veya tercüme yapmaktan uzak; orjinal fikirler taşıyan şeyler. Bunu herşeyden önce kendi gelişimim açısından yapıyor ve muhakkak kendime özgü bir katkı ve yöntemi konunun üzerine eklemeye çalışıyorum. Burada da mevzu ile alakalı kaynaklarda göremediğim ve kendimce pratik olduğunu düşündüğüm bir yöntemden de bahsedeceğim. Ancak daha önce mevzuyu ilk defa gören ve ilgisini çekenler için ise temel kavramlardan bahsetmek lazım.

"Bir gök cisminin coğrafi konumu" kavramı ile başlayalım: Dünya yüzeyi küreye çok yakın ve "kapalı" bir yüzey olduğundan gökyüzündeki HER cisim için HER AN dünya üzerinde öyle bir nokta vardır ki o gök cismi oradan bakan gözlemcinin TAM TEPESİNDE yer alır. Dünya üzerindeki bu noktaya o cismin "coğrafi konumu" (geographical position) ismi verilir. Elbette ki bir gök cisminin coğrafi konumu cismin uzayda nerede olduğundan nasıl hareket ettiğine bağlı olduğu gibi dünyanın kendi ekseni etrafındaki dönüşüne de bağlıdır. İşte astronomik seyir hesapları için herşeyden önce cisimlerin her andaki coğrafi konumlarını bilmemiz gerekmektedir. Güneş, ay, parlak gezegenler ve parlak yıldızlar gibi cisimlerin her saat başındaki coğrafi konumları notik almanak denilen kitaplarda yıllık olarak yayımlanır. Aşağıda notik almanaktan örnek bir sayfa göstertilmiştir. 


Görüldüğü gibi sayfa 19 Ekim 2008 gününe aittir. En soldaki GMT sütunu Greenwich saatini göstermektedir. Daha sonra sağdaki sütunlar çeşitli gök cisimleri için coğrafi konumlarının koordinatlarını göstermektedir. Bu koordinatlar alışılan enlem boylamdan biraz farklı olarak isimlendirilmiştir: GHA (Greenwich hour angle) 0 meridyeninden BATIYA doğru açıyı ifade etmekte, Dec (Declination) ise enlemi göstermektedir. Görüldüğü gibi konumlar her saat başı için gösterilmiştir. Gözlemcinin ölçüm yaptığı zaman tam saat başı değilse en yakın iki saat başı arasından lineer bir ekstrapolasyon ile hesaplanabilir. Bütün bunların ince detayları kaynaklarda açıklanmıştır biz burada sadece prensibi anlatıyoruz.

Böylece bir gök cisminin belli bir andaki coğrafi konumunu bilebildiğimize göre o cismin bizim bulunduğumuz konumdan ölçülen açısal yüksekliği bizim o cismin o andaki coğrafi konumuna uzaklığımız konusunda bir bilgi verir. Aşağıdaki şekil gayet açıklayıcıdır.

Yukarıdaki şekilde gözlemci yıldızı ufuktan H açısı kadar yüksekte ölçmektedir. Bu da yıldızın coğrafi konumu olan GP noktasına z = 90-H kadar bir açısal uzaklıkta olduğumuz anlamına gelmektedir. Elbette ki dünya üzerinde bu gök cismini aynı açısal yükseklikte gören sonsuz sayıda nokta vardır. Bu noktalar bir çember üzerinde yer alır. Yukarıdaki şekilde bu çember kırmızı ile gösterilmiştir. İşte aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi iki veya daha fazla gök cisminden alınan gözlemlerle çizilen çemberlerin kesiştirilmesi ile dünya üzerindeki pozisyonumuzun bulunması mümkündür. İki gözlem genelde yeterlidir, zira aşağıdaki a şeklinde iki tane kesişim noktası görünmesine rağmen genelde noktalardan biri tahmini konumumuza çok uzak bir yerde çıkacağından dolayı kolayca elenebilir. Yüksek kesinlik gerktiren durumlarda b şeklinde olduğu gibi üç cisim ölçülebilir.


Pratikte haritalar üzerine binlerce mile varan yarıçaplı daireler çizmek pek mümkün değildir ve dolayısı ile değişik hesaplama metodları geliştirilmiştir ancak hemen hemen bütün metodların temelinde yukarıdaki mantık yatar. Biz de bu prensibi göstermek açısından bu şekillere yer verdik.

Peki bu açısal yükseklik ölçümleri nasıl yapılır? Bunun için sekstant isimli basit bir optik alet kullanılır. Zekice yerleştirilmiş iki adet ayna ile gayet sofistike hale getirilmiş bir açı ölçerden başka birşey olmayan bu basit alet açıları (derecenin 1/60'ı olan) dakika hassasiyetinde ölçebilmektedir. (İnsan gözü hassasiyeti de aşağı yukarı bu kadardır.) Benim kullandığım (eşimin doğum günü hediyesi) Davis Mark 15 model plastik sekstant verniye ölçeği sayesinde 0,2 dakika hassasiyetinde ölçüm yapabilmektedir. Bir dakikalık bir farkın 1 deniz mili mesafeye karşılık geldiğini hatırlarsak açı ölçümünde fevkalade hassas davranmak gerekmektedir. Sallanan bir teknenin güvertesinde bu işi yapabilmek işin "sanat" diye nitelediğimiz boyutuna dahildir. Sekstantın çalışma prensibi ve ölçüm metodu aşağıdaki animasyonda güzel bir biçimde anlatılmıştır.



Sekstant ölçümlerine ölçülen cisme ve koşula göre (alet hatası, ufuk düzeltmesi, kırılma düzeltmesi, yarıçap düzeltmesi, paralax düzeltmesi) gibi bir takım düzeltmeler yapmak lazımdır. Bu düzeltme miktarları genelde notik almanaklarda yazar ve bunların hangi koşullarda gerekli olup olmadığı ve nasıl yapılacağı için daha önce verdiğimiz kaynağa bakılabilir. Ölçümlerde nelere dikkat edilmesi gerektiği aşağıdaki videoda eski bir kaptan tarafından harika bir biçimde anlatılmıştır:



Ölçüm alındıktan sonra zaman saniyesine kadar not edilir (hatta önce saniyeyi sonra dakikayı, sonra saati okumak lazımdır) ve hesaplama işlemine başlanır. Denizcilerin kullandığı birçok hesap metodu vardır. Bunlardan en popüler olanı tahmini konumdan yola çıkılarak yapılan intersept metodudur. Bu metodda benim şahsen çok fazla ısınamadığım taraf bir harita veya grafikleme kağıdı üzerinde açıölçer ve cetvel ile çalışma gerekliliğidir. Bir diğer güzel metot güneşin (veya başka bir cismin) en yüksek olduğu anı bulma prensibine dayalı meridyen geçişi metodudur. Ancak bu metodda da en tepede olduğu konumdan önce ve sonra yaklaşık 10 dakikalık bir süre boyunca gözlemler almak gerekir ve bu hem hata olasılığını arttırır hem de uzun süreli bir gözlem olduğu (ve genelde güneş gözlendiği) için yorucu olabilir.

Benim burada prensibini göstereceğim metod "iki ölçüm ile doğrudan koordinatların hesaplanması" metodudur. (Daha afili bir isim bulamadım :-) Temel hatları aşağıdaki şekildedir:

2 farklı gökcisminden alınan (veya 1 gök cisminden aralıklı iki farklı zamanda alınan) ölçümler gerekli sekstant düzeltmeleri yapıldıktan sonra bir kenara not edilir. Ondan sonra bir kağıt üzerine aşağıdaki küresel üçgen çizilir. Üçgenin tepe noktası kuzey kutbu, diğer iki köşesi de ölçülen cisimlerin coğrafi konumlarıdır. Bunlara GP1 ve GP2 diyelim. Bu üçgenin K-GP1 ve K-GP2 kenarı ile K açısı soldaki şeklin üzerinde gösterildiği gibi almanaktan okunan değerlerle kolayca hesaplanabilir. Dolayısı ile küresel trigonometri kurallarından GP1-GP2 kenarı ile GP1 köşesindeki açı bulunur. (Bir önceki yazımda bu kurallardan bahsetmiştim.)

Sağdaki şekilden takip edersek bulmak istediğimiz konumumuzu X noktası ile gösterelim. Sekstant ölçümlerimizi 90 dereceye tamamlayan açılar X-GP1 ve X-GP2 kenarlarını bize verecektir. Yani X-GP1-GP2 üçgenimizin bütün kenarları bellidir dolayısı ile yine küresel trigonometri kurallarından X-GP1-GP2 açısı bulunabilir. Bu açıyı ilk bulduğumuz K-GP1-GP2 açısından çıkarır isek K-GP1-X açısı bulunmuş olur ki K-X-GP1 üçgeninin K-GP1 ve X-GP1 kenarları bilindiğinden diğer kenarları ve açıları bezer şekilde çözülebilir. Bu üçgene ait K-X kenarını 90 dereceye tamamlayan açı hemen enlemimizi verir K köşesindeki açıdan da boylamımızı kolayca bulmak mümkündür.

Yani sırası ile 3 tane üçgenin 3 elemanından diğer elemanlarını bularak konumumuzu çözmemiz mümkündür. 4-5 tane bilinmeyenin bir miktar trigonometrik ve ters trigonometrik hesapla çözülebildiği bu doğrudan yönteme dair bir iki teknik mesele var onlara değinmek lazım:

1. Herşeyden önce (sekstant mevzusundan önceki daireli şekilden anımsayacağınız üzere) iki tane X noktası vardır ve hangisinde olduğunuzu salt bu yöntem ile bilemezsiniz. Bu noktalar GP1-GP2 kenarına göre simetriktir. Ancak (şekilde kesikli çizgilerle gösterilen) noktalardan diğeri çoğu zaman tahmini konumunuzdan çok uzakta çıkacaktır dolayısı ile bu nokta elenebilir.  Bunun haricinde noktaların birbirine yakın çıkacağı bir durum hayal edilebilir. (Mesela ekinoks zamanında güneşten iki ölçüm almışsanız ve ekvatora çok yakın biryerlerde iseniz noktalar  ve yönleri muhtemelen yakın çıkacaktır.) Bu durumda başka bir gök cismi denenebilir. 

2. Örnek üzerinden gider isek yukarıdaki şekilde üstteki noktayı elemiş isek X-GP1-GP2'den K-X-GP1 açısına geçmek için elbette ki çıkarmak değil toplamak gerekecektir.

3. X noktasının konumu şekilde temsilen gösterildiği gibi K-GP1 hattının sağında yer almayabilir. Böyle bir durumu kontrol etmek için başta hesapladığımız büyük üçgenin GP1 açısını kullanabiliriz. Eğer X-GP1-GP2 açısı daha büyükse elbette büyük açıyı küçükten çıkararak devam edebilir ve yine doğru sonuca ulaşabiliriz. Burada X'in konumuna göre oluşabilecek değişik geometrik durumları hayal etmeyi okuyucuya bırakıyorum. Her halükarda yine de gök cisimlerinin kerteriz yönleri muhakkak üçgenin neresinde kaldığımıza dair doğru fikirler verecektir. Dolayısı ile uygulamada bu metod hiç de zor değildir.

4. Bir diğer teknik mesele üçgenlerin bilinmeyen elemanlarını (özellikle açıları) çözerken daha pratik gibi duran sinüs kuralı yerine kosinüs kuralını kullanmayı şiddetle tavsiye ederim zira sinüs kuralında birbirini 180'e tamamlayan açıların sinüsleri aynı olduğundan önemli yanlışlıklara sebebiyet verirler. 

5. Aynı gök cisminden farklı zamanlarda gözlem yapılmışsa (mesela güneşten sabah ve akşam) bu zaman aralığında kendimizin de ne kadar hareket ettiğinin hesaba katılması gerekmektedir. Bu da  cismin erken ölçüm saatindeki coğrafi konumu modifiye ederek yapılır. Bu nokta ikinci ölçüme kadar gittiğimiz yön ve aldığımız mesafe kadar kaydırılır. (Elbette ki bu işlem için de küçük bir üçgen çözümü gereklidir.) Hesaba kaydırılan noktanın yeni konumu ve son ölçümümüz üzerinden yukarıda anlatıldığı gibi devam edilir.

Dediğimiz gibi insan gözünün hassasiyeti 1 dakika civarındadır ve dolayısı ile ölçümler düzgün yapılmışsa bu metodla bulunabilecek konumlardaki hata payının da 1-2 mil civarında olması beklenir. Bunu GPS'in hassasiyeti ile kıyaslayıp burun kıvıranlara birbirleri ile senkronize edilmiş 24 tane atom saatini yörüngeye oturtup yerden kumanda edilerek ve yüksek teknoloji bir alıcı gerektiren işi 2 tane ayna, 1 açıölçer, 1 trigonometrik hesap makinası ve sıradan bir saat ile yapabilme yetisine burun kıvırdıklarını bilmelidirler. 

Çok uzun ve kapsamlı, bir o kadar zevkli, kendi kendine öğretici ve geliştirici bir mevzuyu nispeten kısa bir yazıda özetlemeye çalıştım. İlgisini çekenler için akıllara takılabilecek teknik meselelere yorumlar kısmında cevap verebilirim.

10 Aralık 2013 Salı

Küresel Trigonometri (Kıble Bilimi :-)


Elinize bir çubuk alıp yerde kumun üzerine bir üçgen çizdiğinizi varsayalım. Biri size bu üçgenin iç açıları toplamı kaç derecedir diye sorduğunda hiç düşünmeden 180 diye cevap verirsiniz muhtemelen. Ne var ki bu cevap ancak kenarları nispeten küçük olan üçgenler için doğru sonuç verir. Eğer yine aynı çubuğu dünya üzerinde aynı istikamette yürürken kilometrelerce yerde sürükleyerek devasa boyutlarda bir üçgen çizerseniz sonucun 180 dereceden fark edilebilecek kadar sapmaya başladığını görürsünüz. Çünkü üçgeni üzerine çizdiğiniz dünya düz değil küreye yakın bir şekildir. İşte bir kürenin üzerine çizilen üçgene küresel üçgen ismi verilir. Kendine özgü geometri kuralları olan bu tip üçgenlerin açı kenar bağıntıları da küresel trigonometri başlığı altında incelenir. Küresel trigonometrinin temelleri antik Yunan medeniyetinde atılmış ve esas büyük gelişmeler ortaçağ İslam medeniyetinde kaydedilmiştir. Yerküre üzerinde büyük mesafeler söz konusu olduğunda mesafe ölçümünden yön tayinlerine, seyr-ü sefer (navigasyon) hesaplarından astronomik ölçümlere kadar birçok alanda sayısız ve DOĞRUDAN uygulaması olan önemli bir mevzu olmasına rağmen nedense değil liselerde üniversitelerde bile standart müfredat içerisinde yer almaz. 

(Geçenlerde yüksek düzeyde bir devlet yetkilisi bir müslümanın bilim ile uğraşması gerektiğini söyledi ve vizyonunun büyüklüğünü gösterecek şekilde bu lafını  "kıbleyi bulması gerekliliği" sebebi ile destekledi. İşte kıbleyi bulmak için gerekli olan yegane dal küresel trigonometridir. Bu da bu önemli mevzunun liselerde ve üniversitelerde okutulması için benim gerekçem olsun bari. Her zaman anlaşılacak seviyeden konuşmak lazım :-))

Konuya geri dönecek olur isek küresel trigonometrinin kuralları standart düzlem trigonometrisini bildikten sonra hiç de karışık ve zor değildir. Hatta eğlenceli ve fevkalade yararlı bir yan uygulaması olarak görülebilir.

Temel ve önemli bir tanım ile başlarsak küre üzerindeki iki nokta arası en kısa yol o iki noktadan geçen "büyük çember" üzerinde yer alır. "Büyük çember" (great circle) tabiri teknik bir tabirdir. Büyük çember bahsedilen iki nokta ile beraber kürenin merkezinin tanımladığı düzlemin küre ile kesişimi olan çemberdir. Yani bir büyük çemberin merkezi aynı zamanda kürenin merkezidir. Küre üzerinde verilen iki noktadan yalnızca bir büyük çember geçer. İşte bir küresel üçgenin kenarları büyük çemberler üzerinde yer alır. (Bu şart şeklin "küresel üçgen" olması için tanımın getirdiği bir GEREK şarttır. Önemli bir nokta bu.)

En üstteki şekilde görüldüğü gibi küresel üçgenin de düzlemsel üçgenler gibi 3 kenarı ve 3 açısı vardır. Şekilde kenarlar küçük harflerle açılar büyük harflerle gösterilmiştir. Buradaki açılar kenarların üzerinde yer aldığı büyük çember düzlemlerinin birbirleri ile yaptığı ikidüzlemli (dihedral) açılardır. Kafa karıştırmamak için bu açının küre üzerinde üçgenin köşesinde duran bir kişinin pratikte iki doğrultu arasında ölçtüğü açı ile aynı olduğunu söyleyelim.

Kenarlar ise büyük çemberler üzerindeki yay mesafeleridir. Ancak kürenin yarıçapının 1 birim olduğu bir durumda bu kenarlar da elbette ki içinde bulundukları büyük çemberin merkezinin gördüğü açılara eşittir (Radyan cinsinden). Küresel trigonometride aşağıda vereceğimiz bütün kenar-açı bağıntıları birim kürenin üzerine çizilmiş üçgenler için geçerlidir. Yani kısaca söyleyecek olursak kenarlar da açı cinsinden ölçülür. İlla mesafe bilinmek isteniyorsa bu değerlerin kürenin yarıçapı ile çarpılması lazımdır. 

Üç elemanı (üç kenar; iki kenar bir açı; iki açı bir kenar veya üç açısı) belli olan bir küresel üçgenin diğer elemanları aşağıdaki bağıntılar yardımı ile bulunabilir. Bu kuraların ispatı günümüz matematiğinde vektörlerle kolayca yapılabileceği gibi klasik geometrik metotları ile de ispatları mümkündür. (http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_law_of_cosines)

b,c kenarı ve A açısı bilinen üçgenin üçüncü kenarı aşağıdaki formülle bulunabilir. Buna küresel üçgen için kosinüs kuralı denir. (Her kenar için ayrı formül yazmaya gerek yok zira seçilen a kenarının diğerlerinden hiçbir farkı yok.)



Bu formülden cos A çekilirse üç kenarı bilinen üçgenin açılarını bulmak için de kullanılabilir. Bunun haricinde yararlı olan bir diğer pratik bağıntı da küresel üçgenin sinüs kuralıdır.



Pratik hesapları yapmak için başka da pek birşey bilmek gerekli değildir. Şimdi bütün bunları bir örnek üzerinde görelim. Seçtiğimiz örnek devlet büyüğümüzü doğrulayacak şekilde elbette ki kıble istikametini bulmak. Kıblesini aradığımız konum İstanbul olsun: 

İstanbul:
Boylam: 29 derece Doğu
Enlem: 41 derece Kuzey

Mekke:
Boylam: 39 derece 49 dakika Doğu (39,82 derece ondalık olarak)
Enlem: 21 derece 25 dakika Kuzey (21,42 derece)


Küresel üçgenimizin A köşesi İstanbul, B köşesi Mekke, K köşesi ise Kuzey Kutbu olsun. Mesafeleri birim küre üzerinde yaptığım gibi açısal olarak ifade edersek yukarıdaki formülleri rahatça kullanabiliriz.

Üçgenin AK kenarı İstanbul'un enleminden bulunur: 90 - 41 = 49 derece
Üçgenin BK kenarı Mekke'nin enleminden bulunur: 90 - 21,42 = 68,58 derece
Tepe açısı AKB ise A ile B'nin boylamları arasındaki farktır: 39,82-29 = 10,82 derece

Yani iki kenar bir açı biliyoruz. Bize lazım olan açı KAB açısı yani İstanbul'dan bakıldığında Mekke'nin kuzey istikameti ile yaptığı açı. Bunun için önce AB mesafesini bulmalıyız. Kosinüs formülünden:
cos AB = cos(49).cos(68,58) + sin(49).sin(68,68).cos(10,82) = 0,92968
AB kenarı = 21,614 derecedir. (İlla gerçek mesafeyi merak ediyorsanız pratik bir yöntem bunu 60 ile çarpmaktır zira dünya yarıçapında bir kürede bir derece 60 deniz miline tekabül eder. Deniz milinin tanımı zaten böyle yapılır: Enlemler arasındaki 1 dakikalık yay mesafesi)

Bütün bilim ihtiyacımızın temel motivasyonu ve bize esas lazım olan KAB açısı ise sinüs veya kosinüs kuralından bulunabilir. Birbirlerini 180 dereceye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğu için sinüs kuralı kullanılacaksa dikkatli olunmalıdır. Biz bu tartışmaya girmemek için az daha çetrefilli olan kosinüs kuralından gidelim:



İşlem yapılıp sonucun ters kosinüsü alınırsa KAB açısı: 151,7 derece olarak bulunur. Yani Kuzeyden Doğuya doğru 151 derece dönmek veya Güneyden Doğuya doğru 28,3 derece dönmek gerekecektir.

İlmin bu kadarı bize yeter diyen buyurup bu formülleri kullanabilir. İşin şakası bir yana esas üzerinde yazmak istediğim konu olan ve denizcilerin şimdilerde GPS sayesinde unutulmaya yüz tutmuş "sanatlarından" astronomik seyir ile alakalı bir yazı yazmak istiyorum. Bu yazı onun girizgahı idi...

7 Aralık 2013 Cumartesi

Görüş mesafesi üzerine

Çocukluğumun ve gençliğimin geçtiği (ve hala da ikamet ettiğim) Moda'da belki 1000'lerce defa yürüdüğüm Şair Nefi Sokak'ın ucundaki yokuşun sonundan ileri doğru baktığınızda manzaranız genelde aynıdır. Bütün güzelliği ile Kalamış koyu, Fenerbahçe ve Kalamış Marinaları, tatlı tatlı seyreden birkaç yelkenli tekne ve arka planda soldan sağa Burgazada, Kınalıada daha uzakta (yukarıdaki şekilde çizginin aralarından geçtiği iki minik ada olan) Yassıada ve Sivriada ve daha da arka planda değişik tonları ile hep mavilik. Ama bazı günler bu manzarayı gayet dramatik şekilde değiştiren birşeye şahit oluyorum. En arka plandaki mavilik yerini kimi zaman silüet olarak kimi zaman ise "CAM GİBİ NET" dağlara ve yeryüzü şekillerine bırakıyor. İşte bugün öyle cam gibi günlerden biri idi... Görüşün seyir araçları için "iyi" olarak nitelendiği günlerin çoğunda bu hadise olmuyor. Dolayısı ile bu özel görüş koşuluna başka bir isim koysalar keşke: "Süper, harika, mucizevi, muhteşem!" gibi kelimeler mesela... Anlatmakla olmuyor çünkü göstermem lazım ama maalesef bugün bir yere yetişmem gerekiyordu ve fotoğraf makinem yanımda değildi. 

Yukarıdaki harita parçasından görülebileceği üzere bahsettiğim; gayet güzel detaylarla görülebilen arka plan yeryüzü şekilleri Armutlu yarımadasına ait. Google Earth'ün şekildeki sarı çizgide ölçtüğü mesafe tam olarak 48 km! Bugün hazır hal böyle iken acaba 60 km'deki İmralı'yı da görebilirmiyim diye biraz daha sağa kaydırdım gözlerimi. Hayal meyal bir "bulut kümelenmesi" gibi birşey seçebildim ufuk üzerinde ama net birşey göremedim. (Sonradan baktım adanın en yüksek yeri 230 metre ve kırılmayı da hesaba katan "ufuk mesafesi" formülü deniz seviyesinden bakan biri için 58 km'yi sınır olarak söylüyor. Gerçi ben bi 20-30 metre yukardan bakıyorum ama yine de fazla iyimser gibi geldi ilk sezgi olarak, yine de bakmaya devam edeceğim :-)

Bu fenomenin fiziği nedir diye insan merak ediyor tabii. Biraz araştırınca herşeyin gelip tek bir katsayı ile ifade edilebildiğini gördüm. "Sönüm katsayısı" (extinction coefficient) olarak isimlendirilen bu katsayı havadaki seyreden ışığın insan gözü için yeteli kontrastı oluşturabilmesi kriterinin altına düştüğü mesafeyi belirliyor. Bu katsayının türetildiği ana mekanizma çoklu saçılma. Bu da doğrudan havada asılı duran partiküllerle, nemle, basınçla, sıcaklıkla hemen hemen herşeyle ilişkili birşey. Uygun koşullar açısından "tertemiz" bir havanız olduğunu varsayarsak sadece ve sadece Rayleigh saçılması (o da olmazsa gökyüzü mavi olmaz zaten) altında "TEORİK" olarak 296 km gibi muazzam bir mesafeyi görmek mümkünmüş. (http://en.wikipedia.org/wiki/Visibility) Burada elbette optik olarak dümdüz bir hattan bahsediliyor. Cisimlerin ufkun arkasında kalması ise geometrik bir kısıtlama ve daha önceki bir yazıda değinmiştim onun hesabına.

Sonuç olarak baktığım istikametin tam zıt istikametinde yer alanlar da bu işte bir etken gibi zira dev bir şehirde yaşıyorum ve hava kirliliği elbette sönüm katsayısını aşırı derecede etkileyen faktörlerden bir tanesi. Zaten genelde yağmur yağdıktan sonra hava toparlamaya başlarken ve genelde de soğuk günlerde bu güzel görüntüler ortaya çıkıyor. Yağmur olması havada asılı partikülleri indirmesi açısından soğuk olması ise moleküler seviyede saçılma merkezlerini "sakinleştirmesi" açısından bir anlam ifade edebilir. Sonuç olarak uygun rüzgar ve atmosfer koşulları birleştiğinde yokuştan inerken günüm bu şekilde güzelleşebiliyor aniden. Hiç formül kullanmadığım biraz da romantik bir yazı oldu... :-))

1 Ocak 2013 Salı

Piyango biletinin istatistiksel değeri


Birkaç senedir her yılbaşı ertesi can sıkıntısından olsa gerek tam sonuç listesine bakarak bu hesabı yapıyorum. Bu senekinin detaylarını buraya yazıyorum: 

[ Verilen ödül x ödülden kaç tane verildiği x ödülün çıkma ihtimali ] çarpımını her ödül için ayrı ayrı yapıp topladığımız zaman bir tam biletin istatisiksel değerini hesaplamış oluruz. 

45.000.000 x 1 x (1/10^7) = 4,5
5.000.000 x 1 x (1/10^7) = 0,5
2.000.000 x 1 x (1/10^7) = 0,2
1.000.000 x 1 x (1/10^7) = 0,1
500.000 x 5 x (1/10^7) = 0,25
200.000 x 10 x (1/10^7) = 0,2
100.000 x 20 x (1/10^7) = 0,2
50.000 x 30 x (1/10^7) = 0,15
10.000 x 50 x (1/10^7) = 0,05
5.000 x 100 x (1/10^7) = 0,05
2.000 x 200 x (1/10^7)  = 0,04
1.000 x 300 x (1/10^7) = 0,01
500 x 400 x (1/10^7) = 0,02
350 x 100 x (1/10^6) = 0,035    (SON ALTI RAKAMINA GÖRE)
250 x 80 x (1/10^5) = 0,2        (SON BEŞ RAKAMINA GÖRE)
150 x 40 x (1/10^4) = 0,6      (SON DÖRT RAKAMINA GÖRE)
120 x 20 x (1/10^3) = 2,4     (SON ÜÇ RAKAMINA GÖRE)
80 x 8 x (1/10^2) = 6,4     (SON İKİ RAKAMINA GÖRE)
40 x 2 x (1/10^1) = 8   (AMORTİ)
45000 x 63 x (1/10^7) = 0,2835    (TESELLİ :-)))

+
----------------------------------------
24 lira 19 kuruş

Bu tam biletin istatistiksel değeri idi. Bu sene tam biletler 40 liradan satıldı. Dolayısı ile tam bilet alanların ortalamada 16 lira civarı zarar ettiği düşünülebilir. Çeyrek için ise herşeyi dörde bölmek gerekiyor. Dolayısı ile biletin değeri 6 lira 5 kuruş civarı oluyor. 10 liradan satılan bu bileti alanlardan da Milli Piyango idaresi ortalama olarak 4'er lira toplamış oluyor. Karlı iş :-)

Ne yalan söyleyeyim biletin istatistiksel değeri tahmin ettiğimden çok yüksek çıktı, sanki geçen seneki yılbaşı piyangosunda bunun yarısı kadar hesaplamıştım ama emin değilim. 

Herkese iyi seneler diliyorum. :-))

31 Aralık 2012 Pazartesi

Mermi hızını ölçmek için basit bir yöntem


Bundan yaklaşık 4-5 ay önce okçuluk ile ilgilenmeye başladım. Çok uzun zamandır içimde olan bir şeydi; bir sabah uyandım ve gidip kendime bi yay aldım, bir süre kendi kendime okuyarak (!) uğraşmaya çalıştım sonra da bir kulüp buldum, neyse işte gayet severek yaptığım, stres atmak için çok güzel bir spor...

Okun yayı hangi hızla terk ettiği üzerine düşünürken aklıma ilk olarak en "teorik" yaklaşım geldi. Yayda depolanan enerjiyi hesaplamak. Çekme mesafesine karşı çekme kuvvetini ölçtüğümde arada neredeyse lineer bir bağıntı olduğunu gördüm. (Okuduğuma göre "recurve" denilen klasik yaylarda durum her zaman böyleymiş.) Kuvvet-çekme mesafesi grafiğinin altında kalan alan yayda depolanan enerjiyi vereceğinden dolayı bu enerjiyi okun kinetik enerjisi ile eşitlemek ve buradan okun hızını çekmek mümkündür. Ancak burada depolanan enerjinin tamamının oka transfer edildiğini varsayıyoruz ki çok da gerçekçi bir varsayım değil. Yine okuduğuma göre enerjinin %80'i oka transfer edilebiliyormuş. Çok büyük ihtimalle ölçerek elde edilmiş bu rakamı teorik olarak doğrulamak için aklıma bir metot gelmediğinden bu yaklaşımı bir kenara bırakıyorum. Ayrıca çekme mesafesini ve kuvvetini ölçmek için en az iki kişi ve ekstra aparatlar gerekiyor. Çok daha basit bir yol geldi aklıma. Aşağıda anlatacağım bu metot elbette ki tüfek, sapan veya herhangi bir fırlatıcı için de kullanılabilir.

Öncelikle az çok tecrübeli bir okçu gereklidir. Bununla kastettiğim şey herhangi bir mesafeden 3-4 kere aynı noktaya (veya birbirine çok yakın noktalara) tutarlı atış yapabilen bir okçudur. (Başlangıç seviyesinde isabetli atmaktan çok aynı noktaya atabilmek önemlidir.)

Yöntem kısaca şöyle: 10 metre gibi kısa bir mesafeden hedefinize nişan alıyorsunuz ve 3-4 atış yapıyorsunuz. Hedefe gidip bu atışların vurduğu ortalama "bölgeyi" işaretliyorsunuz ve oklarınızı topluyorsunuz. Sonra daha uzak bir mesafeye gidiyorsunuz, mesela 20 metre! Normalde geri gittiğiniz için nişangahınızı birazcık aşağı çekmeniz gerekir. (Bu sayede daha yukarı nişan almış olur ve aynı noktaya atabilirsiniz.) AMA BUNU YAPMIYORUZ. Nişangahı hiç DEĞİŞTİRMEDEN yine 10 metreden nişan aldığınız yere nişan alıyorsunuz ve 3-4 atış daha yapıyorsunuz. Elbette ki oklarınız 10 metreden attıklarınızın daha aşağısına isabet ediyor. Bu atışların da vurduğu ortalama bölgeyi işaretliyorsunuz. Bir cetvel yardımı ile iki bölgenin orta noktası arasındaki farkı ölçüyorsunuz. Bu kadar!



Şimdi hesap zamanı: Tartışmayı genel tutmak için ilk attığımız mesafeye ikinci mesafeye diyelim. Ok ilk mesafeden atıldığında dikeyde kadar irtifa kaybederken ikinci mesafeden atıldığında kadar irtifa kaybeder. Bizim metodumuzda ölçtüğümüz mesafe ve 'in farkı olan 'dir.


Eğer okun yatay olarak atıldığını varsayarsak  h1 ve h2 okun uçuş zamanı cinsinden kolayca hesaplayabiliriz.

       

Uçuş zamanları ise okun bulmak istediğimiz hızı olan v ve attığımız mesafeler cinsinden hesaplanabilir.

         

Bu zamanları h1 ve h2 denklemlerinde yerine koyar ve taraf tarafa çıkarırsak ölçtüğümüz h mesafesi, bildiğimiz x1 ve x2 mesafesi ve yerçekimi ivmesi cinsinden hız için aşağıdaki ifadeyi türetmiş oluruz.




Yazıyı dikkatli olarak okuyanlar bir takım varsayımlar yaptığımızı farkedebilirler. Şimdi bunları tarışalım:

1. Okçunun "hatasız" atışlar yaptığını dolayısı ile atışların hep aynı hızda olduğunu ve çok yakın noktalara düştüğünü varsaydık. Bundan emin olabilmek için tek atış değil bir grup atış kullanıp ortalamasını alıyoruz zaten. Burada teorik açıdan tartışacak fazla birşey yok, kontrollü deneyin ön şartı bu ve deneyi yapanı ilgilendiren bir problem... :-)) Ateşli silahlarda bu şartı sağlamak okçuluktan çok daha kolay. Profesyonel okçular kirişin her zaman aynı miktarda çekildiğinden emin olmak için "clicker" diye bi metal parçası kullanırlar ve ancak onun sesini duyduklarında kirişi (ipi) bırakırlar.

2. Okun yatay olarak fırlatıldığını varsaydık: Ok ilk başta yatay ile açılı duruyorsa (ki genelde öyledir) zaman için kullandığımız denklemlerin sonuçları bir miktar değişecektir. Hızı gerçek değerinden daha DÜŞÜK ölçmüş oluruz. Ancak çok uzak mesafeler yerine nispeten yakındaki mesafeler ile çalışmak bu problemi hafifletir. Ayrıca hedef olarak seçtiğimiz noktanın yeri de yukarı veya aşağı ayarlanarak bu bir problem olmaktan çıkarılabilir. Bu şekilde yakın atışımızda yere paralellik şartını sağladığımızı varsayalım ancak herşey yine de çözülmüş olmaz. Çünkü:

3. Nişan aldığımız noktanın okun atış anında baktığı nokta olduğunu varsaydık. Okun yönü ile göz-nişangah yönü arasında belli bir açı vardır. Bu ne gibi bir problem yaratabilir diye düşünürsek geri gittiğinizde aynı noktaya "nişan alırken" okun baktığı yönü değiştirmiş olursunuz. Eğer 2. maddeye göre oku paralel tutmak için ayarlamışsanız bu değişim yukarı yönde olur yani h olması gerektiğinden daha düşük ölçülmüş olur ve bu da formülümüze göre hızın olması gerektiğinden YÜKSEK hesaplanmasına yol açar.

4. Hava sürtünmesinin oku yavaşlatacağını hesaba katmadık. Sürtünmenin uzaktan yapılan atışa etkisi daha büyüktür ve h'nin artmasına dolayısı ile ortalama hızı merak etseniz bile olduğundan daha DÜŞÜK ölçülmesine sebebiyet verir.

Daha düşük ve daha yüksek olabilen bu hataların bir kısmının birbirini götüreceği açıktır ve bu durum modelimizin lehinedir. Daha detaylı bir analize girmeden son durumun çok da fena olmadığını kendi tecrübeme dayanarak söyleyip bitirebilirim:

10 metreden yaptığım atışlardan sonra 18 metreye gittiğimde nişangahı ayarlamazsam yaklaşık olarak 30 - 40 cm kadar aşağı düştüğünü görüyorum. Bu durumda bu 3 rakamı formülümüzde yerine koyarsak okun hızı için 200 km/saat gibi bir değer çıkıyor ki yüksek hassasiyetli metotlarla ölçülmüş değerlerle karşılaştırıldığında en azından beni tatmin ediyor. :-))