29 Şubat 2012 Çarşamba

Artık Yıl Formülü

Şubat'ın 29 çektiği yıllara "artık yıl" diyoruz. Bu uygulamanın sebebi mevsimlerin kaymasını engellemek. Bu kaymanın sebebi ise bir "güneş yılı"nın 365 günden yaklaşık 6 saat kadar daha uzun olması. Bu da her 4 senede gün dönümlerinin yaklaşık bir gün kadar kaymasına sebep oluyor. Ancak bu "4 yılda bir 29 çeker" ezberi sadece bir ilk yaklaştırmadan ibaret. 

Zira bir güneş yılı tam olarak 365,25 gün değil. Daha hassas değeri ortalama olarak 365,2421896698 gün. (365 gün 5 saat 48 dk 45,19 sn) Ortalama diyorum çünkü dünya sadece kendi etrafında dönmüyor bu esnada bir topaç gibi  presesyon ve nutasyon hareketi yapıyor. Bu da yetmezmiş gibi diğer gezegenlerin  konumlarından kaynaklanan yerçekimsel pertürbasyon işleri iyice karıştırıp kaotik hale getiriyor. O yüzden yıllar içerisinde ölçülmüş değerlerin ortalaması olarak yukarıdaki değeri alacağız.

Basit bir matematik hesabı: Her yıl artan miktar 0,2421896698 gün. 

Neredeyse bir dünya standardı olan Gregoryen takvim üzerinden konuşmaya devam edelim. (Zira başka çözümler de mümkün mesela İran'da kullanılan Celali takvimi artık yıl konusunda çok daha sofistike, 33 yılda 8 artık yıl yapıp çok hassas sonuçlar elde edebiliyorlar.)

4'e bölünen yıllarda 1 gün eklersek: 0,25 yapıyor ki bu olması gerekenden biraz fazla. 

Düzeltme yapmak için 100'e bölünen yıllarda 1 "eklememek" tercih ediliyor. Bu durumda yıl başına 0,01 gün çıkarmış oluruz ve 0,24 buluruz. Bu sefer de kısa kaldı ! 

Bir sonraki düzeltme için esasında en tabii görünen seçim 500'e bölünen yıllar için bir önceki 100 kuralına bir istisna tanımak ve gün eklemek olabilir ancak bunun yerine 400 yılda bir bunu yapmak tercih edilmiş. 
[Bunun bir muhtemel sebebi düzeltme aralıklarını kısa tutmak ve bir sonraki hassas düzeltmeyi düşünmek olabilir gibi geliyor bana ilk bakışta; bu arada 2000 yılında 29 Şubat olmasının sebebi de bu, yani basit bir "4'e bölündüğü için" değil, 400'e bölünebildiği için. Mesela 1900 yılında 29 Şubat yoktu. 400 yılda olan birşeye tanıklık ettik esasında :-))]
Neyse düzeltmeyi ekleyelim 1/400 + 0,24 = 0,2425.

Elbette ki GÖZLEM herşeyin önünde gelir ve binlerce yıl söz konusu olduğunda takvimi gözleme göre ayarlamak gerekir dolayısı ile bir sonraki düzeltmenin ne olacağına sonra (çok sonra) karar verilebilir. Ama aynı ortalamanın sabit kalacağını düşünürsek 3200'e bölünen yıllarda gün "eklememek" pekala bir sonraki düzeltme olabilir. Zira 1/(0,2425 - 0,2421896698) ~ 3222 yıl ediyor.

Zevkli bir mesele ve konu onlarca ayrı şekilde dallandırılabilir ama 29 Şubat çıkmadan bitirmek istediğimden burada bırakıyorum.

Ha bir de kayma miktarını gün cinsinden hesaplayabilecek basit bir bilgisayar kodu, python dilinde:

kayma = 0
for yil in range(1750,10000):   # 1750 yılından 10000 yılına kadar
     if yil%4 == 0:
         kayma -= 1
     if yil%100 == 0:
         kayma += 1
     if yil%400 == 0:
         kayma -= 1
     if yil%3200 == 0:    # Bu sonuncu da benim eklediğim terim :-)
         kayma += 1      
     print yil, kayma
     kayma += 0.2421896698
################################
Çıktısını bir dosyaya yazdırıp sonra gnuplotla şu linkteki bigi grafikler çizdirebilirsiniz.

28 Şubat 2012 Salı

Üstüste Duran Küreler


Bu soru farklı zamanlarda farklı yerlerde soruluyor, bizim enstitüde de yıllar içinde popülerliğini kaybetmedi. Birkaç yıl önce soranlara hemen veririm diye hazırladığım bir word dosyası vardı. Onu buraya ekliyorum:

***
Soru: Üst üste duran iki küreden üstteki yuvarlanmaya başlıyor. İki küre de kaymadan yuvarlandığına göre sistemin hareket denklemlerini yazınız.

Soru küre için sorulmuş ancak göstereceğimiz çözüm disk, içi boş çember, vs. gibi kesiti yuvarlak ve kütle merkezi ortada olan kütlesi bu merkez etrafında homojen dağılmış cisimlere de rahatlıkla uygulanabilir. Bu yüzden formalizmimizi genel tutmak istiyoruz ve eylemsizlik momentlerini I olarak bırakıyoruz. Küre olmasını istiyorsanız 2/5MR^2, disk veya silindir için 1/2MR^2 vs. sonradan yerine koyulabilir.

Katı cisimlerin mekaniği ile alakalı olarak önemli bilgileri hatırlayacak olursak bir katı cismin kinetik enerjisi, kütle merkezinin ötelemesinden kaynaklanan öteleme kinetik enerji ile cismin kütle merkezi etrafında dönmesinden kaynaklanan dönme kinetik enerjisinin toplamı olarak ifade edilebilir. Ayrıca düzgün bir yerçekimi alanında yerçekimi merkezi kütle merkezi ile aynıdır ve potansiyel enerji kütle merkezinin konumundan hesaplanabilir.

Bütün bunlardan yola çıkarak soruya doğrudan, basit ve analitik bir yöntemle yaklaşacağız. Referans sistemi olarak kendimize alttaki kürenin üzerinde yuvarlandığı düz yüzeye yapışık bir referans sistemi seçiyoruz. Eylemsiz olduğunu varsayacağımız bu referans sisteminde kürelerin kütle merkezlerinin kartezyen koordinatlarını kürelerin dönme açıları cinsinden yazacağız.


Üstte soldaki şekil sistemin ilk baştaki konumunu göstermektedir. Kürelerin üzerine koyduğumuz işaretler kırmızı ile gösterilmişlerdir. Yere göre durgun seçtiğimiz koordinat sisteminin orijini ise t = 0 anında alttaki kürenin merkezi üzerine gelecek şekilde seçilmiştir. Bu sistem şekillerde yeşil renk ile gösterilmiştir.

Şimdi sistemin belli bir zaman geçtikten sonraki durumunu gösteren sağdaki şekle bakacak olursak alttaki küre açısı kadar dönmüş ve sola yuvarlanmıştır. (A işaretinin yeni konumuna dikkat ediniz.) Kütle merkezinin y koordinatı değişmez ancak x koordinatı elbette ki değişir. Koordinatların detaylı hesabı aşağıda gösterilecektir.

Şimdi üstteki küreye odaklanalım. A' işaretinin yeni konumuna dikkat ediniz. İlk başta bu işaret tam aşağı doğru bakıyordu demek ki üstteki küre DO'A' açısı kadar kendi ekseni etrafında dönmüştür. Bu açı ile gösterilmiştir. Bu cismin dönme kinetik enerjisi yazılırken kullanılması gereken açı elbette ki bu açıdır.

Son olarak iki kürenin merkezini birleştiren doğrunun düşey düzlemle yaptığı açı ile gösterilsin. Şimdi , ve arasındaki önemli bağıntıyı çıkaralım. Küreler birbirleri üzerinden kaymadan yuvarlandığına göre ACB yayı ile A'B yayının uzunluklarının birbirine eşit olması lazım gelir. Bu eşitliği yazarsak açılar arasında



bağıntısını bulmuş oluruz. Demek ki bu üç açıdan ikisi bağımsız genelleştirilmiş koordinatlar olarak seçilebilir. Hangi ikisinin seçileceği tercih meselesidir ancak aşağıda gösterileceği gibi kartezyen koordinatlar en kolay ve açısı cinsinden yazılabilmektedirler. Biz bu ikisini seçeceğiz.

Artık kürelerin kütle merkezlerinin kartezyen koordinatları için ifadelerimizi yazabiliriz. Alttaki küre ile başlarsak

(yerde kaymadan yuvarlanma)


Üstteki küreye bakacak olursak:

(ilk terim alttaki küreye göre konum, ikinci terim yukarıdaki x_1 ifadesi)


Öteleme kinetik enerjileri yazmak için bize bu ifadelerin türevleri gereklidir.






Toplam kinetik enerji (dönme + öteleme) aşağıdaki gibi yazılır:



Potansiyel enerji ise sadece üstteki küre için söz konusudur ve aşağıdaki gibi verilir.



Artık iş bulduğumuz koordinatları ve türevlerini bu ifadelerde yerine yazmaya kalır. (Kinetik enerjideki terimi ise en başta türettiğimiz bağ şartından ve cinsinden yazılmalıdır.




Bütün ifadeleri yerie yazıp sistemin Lagranjiyenini yazacak olursak:




olarak yazılır. Geriye sadece bu uzun ifadeyi Lagrange denklemlerinde yerine koyup hareket denklemlerini yazmak kalır.




Unutulmamalıdır ki burada türettiğimiz Lagranjiyen fonksiyonu kaymadan yuvarlanma ve kürelerin birbirleri üzerinden ayrılmama şartı geçerli olduğu sürece geçerlidir. Bu da sadece hareketin başlarında doğrudur, kayma ve ayrılma durumu söz konusu olduğunda yukarıdaki inceleme serbsest cisim diagramları üzerinde yapılacak ayrı bir "dinamik" inceleme ile birleştirilmelidir.

25 Şubat 2012 Cumartesi

Topaç Hareketinden İlham Alanlar

Bohr ve Pauli bir topaca bakıyorlar. Modern fiziğin iki babası. Topaç hareketinin ilham verdikleri sadece onlar mı? Hayır.

2004 yılı Nobel'ini alan Wilczek'in yalpalayarak dönen bir tabağın hareketi üzerine 2 saatlik bir ders verdiği rivayet edilir. 

Bir başka Nobel ödüllü meşhur Feynman'ın yeni bir şeyler bulabileceğinden ümidi  kesmeye başladığı dönemlere dair "Surely You're Joking Mr. Feynman" da aktardığı harika bir hatırası: 

"Kantin'de oturuyordum. Adamın biri bir tabakla oynuyordu. Tabağı havaya fırlattığında hem yalpalayıp hem dönen tabağın üzerindeki kırmızı Cornell armasına dikkat ettim. Dönme hareketi yalpalama hareketinden daha hızlıydı. Yapacak işim yoktu ben de tabağın hareketini çözmeye başladım. Açı çok küçük olduğunda dönme hızı yalpalama hızının iki katıydı. [Esasında tam tersidir, Feynman muhtemelen yanlış hatırlamış burada] Ama sonuç karışık bir deklemden çıkıyordu. Bu sonucu daha basit görebilceğim bir yöntem var mıdır diye düşündüm ve şimdi hatırlamadığım bir yol buldum. Sonucu Hans Bethe'ye [2005'te ölen bir başka Nobelli baba fizikçi] gösterdim. O da ilginç olduğunu ama niye bunula uğraştığımı sordu. Sadece eğlence için dedim. Onun bu tepkisi hevesimi kırmadı ve yalpalama denklemleri üzerinde çalışmaya devam ettim. Sonra yörüngede dolanan relativistik elektronlar, sonra Dirac denklemi, sonra kuantum elektrodinamiği herşey sanki açılan bir şişeden dökülen sıvı gibi peşpeşe geldi. Durdurulabilecek gibi değildi. İş Nobel ödülüne kadar gitti. Ama o tabakla başladığını biliyorum."

Feynman'ın yalpalayan tabağı ile alakalı güzel bir simülasyonunu burada bulabilirsiniz.

21 Şubat 2012 Salı

Kuğu ile Kerevit'in Hikayesi



Bu soru Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsünde sorulmuş doktora yeterlilik sorularından biriymiş. Zamanında bir kitapta görmüştüm çok hoşuma gitmişti,  basit deyip geçtiğimiz problemlere hiç düşünmediğiniz bakış açıları kazandıran ufuk açıcı türden birşey. Soru şöyle:

"Kerevit ile Kuğu nakliye şirketinin iki ortağı 150 kg kütleli dar ve uzunca bir kutuyu nasıl taşıyacakları konusunda tartışmaktadırlar. Kuğunun uygulayabildiği maximum kuvvet 700 N iken kerevitinki 350 N kadardır. Statik sürtünme katsayısı 0,5 dir. Beraber çalışsalar kutuyu hareket ettirebilecekleri bariz olan bu iki inatçı ortaktan ikisi de illa kendi yöntemi ile bu işi yapmak istemektedir. Her ikisinin de kendi yöntemi ile tek başına kutuyu hareket ettirebileceğini gösteriniz. Bu yöntemler nelerdir?
Nakliyecilerin isimleri ve resim yöntemleri hakkında gerekli ipucunu vermektedir."

Cevap bir sonraki yayımda, 2-3 güne yüklerim... 


Statik ve Kinetik Sürtünme Meselesi


Çoğu fizik hocasının lisans öğrencilerine yeterince vurgulamadığına inandığım önemli bir konu bu. Bazı sorularda öğrencilerde çok ciddi kafa karışıklığına yol açabiliyor.

Cisim ile yüzey arasındaki sürtünme kuvvetinin karakteri cismin hareket durumuna göre büyük farklılık gösterir. Eğer cisim çoktan kaymaya başlamışsa bu durumda kinetik sürtünme kuvveti söz konusudur ki bu kuvvet kinetik sürtünme katsayısı ile yüzeyleri birbirine ittiren "normal" (N) kuvvetin çarpımı olan değer etrafında çok küçük dalgalanmalarla sabit kalır. Bu dalgalanmaların sebebi yüzeyin mikroskopik yapısındaki farklılıklardan yararlanır.

Eğer siz cisme bir kuvvet uyguluyor ancak cismi henüz hareket ettiremiyorsanız o zaman statik sürtünme söz konusudur. Statik sürtünme kuvvetinin SABİT BİR DEĞERİ YOKTUR. Siz ne kadar kuvvet uygularsanız cisim hareket etmediği sürece statik sürtünme kuvveti de o kadar olur. Sabit bir değeri yoktur dedik ancak bir MAKSİMUM değeri vardır. Yani kuvvet belli bir değeri geçerse artık iki yüzey birbiri üzerinden kaymaya başlar ve statik sürtünme yerini kinetik sürtünmeye bırakır. İşte bu maksimum değer statik sürtünme katsayısı ile yüzeyleri birbirine bastıran normal kuvveti çarparak bulunur. Aşağıdaki grafik durumu özetlemektedir. (Bu kadar lafa gerek yoktu... :-))


Dolayısı ile cismin kayıp kaymadığına bakmadan ezbere yazmak fevkalade risklidir. Bir örnek üzerinde arz etmeye çalışayım: Bir masa üzerinde durmakta olan 40 N ağırlığındaki cisime masaya paralel 10 N'luk bir kuvvet uyguluyorsunuz. Statik sürtünme katsayısı 0,5 kinetik katsayı 0,3 olsun. Bu durumda normal kuvvet 40 N olduğundan maksimum statik sütrünme kuvveti 20 N olur. Biz ise 10 N ile ittiriyoruz, dolayısı ile masa cismi tutmaya devam eder ve sürtünme kuvvetinin büyüklüğü de SADECE 10 N olur.

Mekanik problemleri çözülürken hareket etmeyen durumlar ihtimal dahilinde ise yukarıda dediğimiz gibi denklemlerde f yerine hemen birşey yazılmaz, f BİLİNMEYEN olarak bırakılır ve




şeklinde bir EŞİTSİZLİK ve bir denklem ile çözüme devam edilir. Pekçok olası örneği hayal gücünüze bırakıp özellikle açısı yavaş yavaş arttırılan bir eğik düzlem üzerinde durmakta olan bir cismin hangi açıda kaymaya başlayacağı sorusu üzerinde düşünmeyi tavsiye ederim. 
Sürtünmenin mikroskopik temelleri hala araştırmaya açık bir konudur ve triboloji adı altında incelenir. Kaba bir model olarak yukarıdaki şekli gözümüzün önüne getirebiliriz. Yüzeyler size gerçekçi olamayacak derecede pürüzlü görünüyor olabilir ancak yakından bir mikroskopla bakıldığında en cilalı yüzeylerde bile böyle girintiler çıkıntılar mevcuttur ve bu tepecikler arasındaki minik kuvvetler toplanarak sürtünme kuvvetini ortaya çıkarır. Bu model statik sürtünme katsayısının kinetik sürtünme katsayısından neden daha büyük olduğunu da sezgisel olarak açıklar zira cisim durduğu zaman iki yüzeydeki "dişler" birbirine daha iyi oturur ve bir tür soğuk kaynak gerçekleşir. Cismi harekete geçirebilmek için önce bu kaynakların kırılıp, tepeciklerin kopması gereklidir. Harekete geçtikten sonra bu tip iyi kaynamaların oluşmasına izin vermeden yüzeyler kaymaya devam eder. (Aynı sebepten dolayı kinetik sürtünme katsayısı hıza dahi bağlılık gösterebilir.)

Son söz olarak yüzeyleri cilalamak elbette ki tepecikleri törpülediğinden dolayı sürtünme katsayılarını düşürür ancak cilalama işini mikroskobik seviyeye inerek iyice abartırsanız bu sefer katsayılar yine artmaya başlar. Sebebini buraya kadar okuma sabrını gösterenlerin hayal gücüne bırakıyoruz...

18 Şubat 2012 Cumartesi

Boyut Analizinin Gücü



İlkokul hocama (o zamanlar "öğretmenim"di :-) düşen bir cismin düşme zamanının yüksekliğe nasıl bağlı olduğunu sormuştum. Tatmin edici bir şey söyleyebilse kim bilir fiziğe bir 3-4 sene kadar daha önce gönül verebilirdim.

Esasında çocuk aklımla sormak istediğim şey çok basitti. Cisimlerin düşme zamanı "elbette ki" yüksekliğe bağlı idi. Bunu gözümüzle görüyorduk. Peki nasıl bağlı idi? Yükseklik iki katına çıkınca zaman da mı iki katına çıkıyor gibi bir şeyler olsa gerek aklımda. Çok fazla hatırlamıyorum :-))

"Kardeşim, ilkokul hocasını niye suçluyorsun? Kadın fizik bilmek zorunda mı?" diye sorabilirsiniz. Burada anlatmaya çalışmak istediğim şey de bu esasında. Bu soruyu HİÇ FİZİK BİLMEDEN de cevaplamak mümkündür. Nasıl mı? Boyut analizi ile. Şöyle arz etmeye çalışayım:

Düşme zamanının nelere bağlı olduğunu ve nasıl bağlı olduğunu bulmak istiyoruz.



İlk akla gelen büyüklük yüksekliktir. Bunu yazalım



Başka? Mesela sanki ağır cisimler daha çabuk düşüyorlar olabilir mi? Hmmm. Kütle diyelim o zaman.



Başka? Yerçekimi ile alakalı birşeyler duyuyoruz hep. Dünyada şöyle düşer ayda böyle düşer diye. Acaba yerçekimi ivmesi ile alakalı olabilir mi? Onu da yazalaım bakalım.



Nelere bağlı olabileceği konusunda tahminler yürüttük ve yazdık. Şimdi sıra geldi nasıl bağlı olabileceğine? Bu iş için her bir değişkene bir "üs" atıyorum.



Evet artık matematik yapmaya geldi sıra. Fizikte bir denklem kuruyorsanız elmaların elmalara armutların armutlara eşit olduğundan emin olmanız lazımdır. Solda zaman varsa sağda da zaman olması lazımdır. Peki bunu nasıl yapacağız. Elbette ki üslerle oynayarak. Yükseklik bir uzunluktur, uzunluk boyutundadır (L). Kütle temel bir birimdir (M). Yerçekiminin ivmesi ise uzunluk ve zamandan türetilmiş bir birimdir (L/T^2)



M'nin burada hiç işi olmadığı hemen görülebilir. Dolayısı ile beta = 0 dır. L'lerin de denklemin sağından sadeleşmesi gerekmektedir. Dolasyısı ile alfa + gama = 0 olmak zorundadır. Solda T'nin kuvveti 1 sağda ise -2 gama olduğuna göre gama = -1/2 olarak bulunur. Dolayısı ile alfa da 1/2 olur.
Artık denklemmimizi yazabiliriz.



İşte bu kadar basit. Hiç fizik bilmeme gerek yoktu. Sadece elmalar armutlar prensibi, birimler ve azıcık üslü sayılar.

(Kafanıza takıldı biliyorum C nedir diye? C birimsiz bir sayıdır ve boyut analizi bize bu konuda yardımcı olamaz. Bizim durumumuzda C kök 2'ye eşit ama elbette ki deney yapmadan veya başka bir yoldan formülü türetmeden salt boyut analizi ile bu sayı bulunamaz. Yukarıdaki formül esasında meşhur gt^2/2'nin takla attırılmış halinden başka bir şey değildir.)

Bu tür bir incelemeye boyut analizi denir ve iyi bir fizikçi bunu neredeyse "derisinin altında" taşır. Bir denklem boyutsal doğru ise kesin doğrudur diyemeyiz ancak boyutsal olarak yanlışsa o denklem kesin YANLIŞTIR. Dolayısı ile ilk bakılan sağlama yöntemi budur.

Hadi diyelim ki serbest düşme kolay problem, kolay fizik. Öyleyse hiç de kolay olmayan bir fizik dalından örnek vereyim: Bir gitar telinin titreşim frekansının bağlı olduğu parametreleri ifade eden formül karışık dalga denklemi çözümlerinden türetilir. Oysa boyut analizi ile bu denklemi elde etmek için dalga mekaniği bilmenize gerek yoktur.

İpucu olarak gitar çalmaya hazırlanan bir adam hayal edin. Önce gitarını "akor" eder, sonra "perdelere basarak" ve "farklı teller" kullanarak gitarı çalar. Yukarıdaki resim tellerin farkları konusunda yardımcı olabilir.
(Resmin daha büyük halini yakından görmek için tıklayınız.)

Sadece sağduyunuzu ve gözlem gücünüzü kullanarak bu denklemi türetebilir misiniz?

Ufuk ne kadar uzak?

Bulunduğunuz yükseklikten ne kadar uzağı görebildiğinizi bulmak basit bir geometri problemi ile gösterilebilir. Aşağıdaki şekilde R dünyanın yarıçapı, h aktığınız yükseklik ve x de ufuk çizgisinin size uzaklığı olsun. 

Pisagor teoremini kullanarak x basitçe bulunabilir.

Dünyanın şeklinin mükemmel küre olarak kabul ettiğimiz durum için yazdığımız bu formül R ile mukayese edilebilecek kadar büyük h yüksekliklerinde kesine yakın sonuç verir.
Daha "yere yakın" yükseklikler için pratik bir formül bulmak istersek kök içerisindeki iki kare farkını açıp basitleştirme yolları arayabiliriz.

Burada h yüksekliğinin R yanında çok küçük olduğunu varsayarsak parantezin içerisindeki h'yi ihmal etmemiz sonucu çok fazla değiştirmeyecektir. Bu sadeleştirmeyi yaparsak

elde ederiz.

Dünyanın yarıçapı yaklaşık 6400 km kadardır ki mutlu bir tesadüf olarak bu sayı bir tam karedir ve kökten dışarı 80 km  olarak çıkar. h yerine de misal 2 km koyarsak ufuk çizgisi uzaklığını 160 km olarak hızlıca hesaplarız.
Jet uçakları yaklaşık 10 km den uçarlar. Artık uçağın penceresinden baktığımızda ne kadar uzağı gördüğümüzü bulabiliriz. Kök 20 yaklaşık 4,5 dur 80'le çarptığımızda 360 km gibi bir ufuk mesafesi bulmuş oluruz. Bu şekli ile formül elbette ki h yerine koyduğumuz mesafe km cinsinden olursa işe yarar. Örnek İstanbul Saphire'in terasından baktığınızda h yaklaşık 250 m'dir. Bunu km'ye çevirerek formüle koymak gerekir ki bu durumda 80'i kök 2'ye bölmemiz gerektiği kolayca bulunur. Sonuç 55-56 km civarındadır. Elbette ki yere yaklaştıkça coğrafi engeller önemli olmaya başlar. Bu gibi durumlar için formül mesela durgun deniz yüzeyleri için iyi sonuç verir.
Ufkun arkasında kalan yüksek cisimlerin uçlarını da görmek elbette mümkündür. Bunları tartışmamız dışında tuttuk. Böyle durumlar için benzer formüller türetilebilir.