tag:blogger.com,1999:blog-79374975385005853492024-03-14T02:33:26.202-07:00fizikkaralamalariDoganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.comBlogger29125tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-48717064302651802792019-08-16T04:34:00.000-07:002019-08-16T04:45:42.456-07:00Güneş Paneli Ortalama Gücü<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiYp6Ov9VOnzjZniBPG_PZFUlNacRvqrZ1mrNd3tftWOHZm5wuV5DsgMdTEoy4G7L464i1vnQnSNxWfeXFK6dPcrcDRz5gv1Yh_8xpAgw08-cB3-cWj5OjfJNkZIqBXvskMTdgpBKkVY8Q/s1600/Photovoltaik_Dachanlage_Hannover_-_Schwarze_Heide_-_1_MW.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1065" data-original-width="1600" height="265" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiYp6Ov9VOnzjZniBPG_PZFUlNacRvqrZ1mrNd3tftWOHZm5wuV5DsgMdTEoy4G7L464i1vnQnSNxWfeXFK6dPcrcDRz5gv1Yh_8xpAgw08-cB3-cWj5OjfJNkZIqBXvskMTdgpBKkVY8Q/s400/Photovoltaik_Dachanlage_Hannover_-_Schwarze_Heide_-_1_MW.jpg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Güneş ışınları gün boyunca farklı açılardan geldiği için yukarı doğru bakan dik bir yüzeyin aldığı ışıma miktarı da gün boyunca değişiklik gösterir. Bu durum güneş paneli montajı gibi uygulamalarda dikkate alınması gereken önemli bir husustur. En ideali panellerin bir ayçiçeği gibi güneşi gün boyunca takip etmesidir ki birçok kara uygulamasında bu yöntem kullanılır. Panelleri döndürmek için harcanan enerji kazanılan enerjinin yanında küçük kalır, dolayısıyla bunu yapmak için harcanan masrafa kat kat değer.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ancak elbette bu detaylı bir sistemdir ve daha düşük bütçeli uygulamalarda sabit paneller kullanılır. Bu durumda da yine gün boyu ışımayı maksimize edecek şekilde coğrafi enleme göre açılar ayarlanır. Mesela bu sebepten dolayı ülkemizde evlerin çatılarına konan sabit güneş panelleri bir miktar güney ufkuna doğru yatırılır. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Tekneler gibi hareketli vasıtaların taşıdığı güneş panellerinde ise seçilmiş bir yön bulmak imkansızdır dolayısıyla güneş panelleri tam yukarı bakacak şekilde monte edilir. İşte bu durumda ortalama güneşlenme miktarı nasıl hesaplanır onu göstermek istiyorum. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Tek yapmamız gereken güneşin göğün tepe noktasıyla (zenit) yaptığı açının kosinüsünün zaman ortalamasını almaktır. Malumunuz güneş saatleri ile ilgilendiğimden zenit açısını veren formül elimin altındaydı:</div>
<br />
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%5Ctheta%20%3D%5Csin%5CPhi%20%5Csin%5Cdelta%20&plus;%20%5Ccos%5CPhi%20%5Ccos%5Cdelta%20%5Ccos%20h" /> (1)<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Burada <img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" /> güneşin zenit ile yaptığı açı, <img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CPhi" /> enlem, <img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta" /> güneşin deklinasyonu ve h de saat açısı dediğimiz zamana bağlı açıyı verir. Dünya saatte 15 derece döndüğünden istenirse h = 15.t olarak da yazılabilir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
(1) numaralı denklemde belli bir enlemde belli bir gün boyunca deklinasyonun değişimini ihmal edersek tek değişken h'dir. Dolayısı ile h üzerinden bu denklemin ortalamasını almak için aşağıdaki integralli ifadeyi hesaplamak gerekir:</div>
<br />
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%5Clangle%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Cright%20%5Crangle%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bh_0%7D%5Ccos%5Ctheta%20dh%7D%7Bh_0%7D" /> (2)<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
(2) nolu ifadede eşitliğin sol tarafındaki < > ifadesi ortalama anlamındadır. Eşitliğin sağ tarafında integral sınırında ve paydada geçen <img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?h_0" /> ifadesi ise güneşin battığı ana karşılık gelen ve zenit açısını 90 derece yapan h değeri anlamındadır. Bu değer (1) nolu denklemin soluna 0 koyarak aşağıdaki gibi kolayca hesaplanabilir. </div>
<br />
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%20h_0%3D-%5Ctan%5CPhi%5Ctan%5Cdelta" /> (3)<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
(2) nolu ifadeye geri dönecek olursak paydaki integraldeki kosinüs yerine (1) nolu denklem yazılarak kolayca hesaplanabilir ve sonuç olarak aşağıdaki ifade elde edilir. </div>
<br />
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%5Clangle%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Cright%20%5Crangle%20%3D%20%5Csin%5CPhi%5Csin%5Cdelta&plus;%5Cfrac%7B%5Ccos%5CPhi%5Ccos%5Cdelta%5Csin%20h_0%7D%7Bh_0%7D" /><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Şimdi bu formülü kullanarak istenilen enlemde istenilen tarihte zenit açısının ortalama kosinüs değeri bulunabilir. Aşağıda ülkemizin değişik enlemlerindeki şehirleri için bu ortalama değerler hesaplanmıştır. Tabloda verilen deklinasyon değerleri yanında yazan ayların 15'inci günü için verilmiştir.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgryOruZoe7jsPifKHV5X1j9AhWOwFmBWo_pzkkWF9Mt42tcVb7U1MPs5yiPJYovEnoc-A35y2CDeWutGV4jxxvq2CRzjJGz2AES0GFsYUeM8CIJRChFIMERTZtRcyS1Ku7BJR6XkqMs4dy/s1600/Picture1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="281" data-original-width="364" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgryOruZoe7jsPifKHV5X1j9AhWOwFmBWo_pzkkWF9Mt42tcVb7U1MPs5yiPJYovEnoc-A35y2CDeWutGV4jxxvq2CRzjJGz2AES0GFsYUeM8CIJRChFIMERTZtRcyS1Ku7BJR6XkqMs4dy/s1600/Picture1.png" /></a></div>
<br />
<span style="text-align: justify;">Bu tablo güneş panelleri bağlamında şöyle kullanılabilir. Mesela 100 Watt'lık bir güneş paneliniz olsun ve gökyüzüne tam dik olarak bakacak şekilde monte edilsin. Bu durumda Şubat ayında İzmir'de bu panelin ürettiği güç günlük ortalama olarak 40 Watt kadar olacaktır. </span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
(Unutulmamalıdır ki Şubat ayında günler de ciddi oranda kısadır. İsteyen gün uzunluğunu bu değerle çarparak aküye aktarılabilecek şarj miktarını da hesaplayabilir.)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Tablodan görüldüğü gibi ülkemizde bu katsayı %30 ile %60 arasında değişiklik göstermektedir. Uzun lafın kısası 200 Watt'lık bir paneli Türkiye'de kullanırken ortalamada %50 gibi düşünüp gerçekte 100 Watt veren bir üreteç gibi düşünmek lazımdır.</div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-88679677973646998722019-05-12T10:32:00.000-07:002019-05-15T02:17:52.201-07:00Güneş Saati (Hobi Projesi)<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Oldum
olası güneş saatlerine bir hayranlığım ve hatta “zaafım” var. Konu üzerinde ne
zaman düşünsem kendimi detaylara yoğunlaşmış buluyorum. Gölgelerin hareketinin
analitik ifadesinde insanı büyüleyen birşey var. Bir süredir aklımdaydı bir
güneş saati yapmak. Yapmak derken internetten bulabileceğiniz hazır
şablonlardan birini kullanmayı kastetmiyorum. Hesabını, kitabını yapıp
çizgilerini çizmeye kadar her aşamasını kendim yapabilirim diye düşünüyordum. Böyle
bir işlem için gerekli olan şeyler:<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -.25in;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">A)<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt; font-stretch: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Temel Astronomi ve Coğrafya Bilgisi<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Enlem
kavramı, kutup yıldızı, gök cisimlerinin gün içindeki hareketi, güneşin
deklinasyonu gibi konularda bilgi sahibi olmak.<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -.25in;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">B)<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt; font-stretch: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Analitik Geometri Bilgisi <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Konik
kesitler, koninin yüzey denklemi, düzlem denklemi, kartezyen koordinat sistemleri,
koordinat sistemi öteleme dönüşümü, koordinat sistemi döndürme dönüşümü,
kesiştirme gibi kavramlara hakim olmak gerekmekte. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span>
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Bunun
haricinde sadece denklemleri hesaplamayacağım aynı zamanda eğrileri çizmek ve
güneş saatini de yapmak istiyorum derseniz:<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -.25in;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">C)<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt; font-stretch: normal; line-height: normal;"> </span></span><!--[endif]--><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Kodlama Bilgisi<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Bir
grafik çizme programına hakim olmak gerekiyor. Ben GNUPLOT kullandım, bir de
görsellerin üzerinde oynamak için bir program kullanmak gerekiyor. Her pratik
işte olduğu gibi MS Powerpoint işimi fazlasıyla gördü.<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -.25in;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">D)<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt; font-stretch: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Diğer şeyler<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Son
olarak çizgilere tarih etiketi yazabilmek için güneşin deklinasyon tablosu, ve
saatleri global saat cinsinden düzeltmek için zaman düzeltme (equation of time)
grafiği bilgileri de lazım olacak. İnternetten kolayca bulunabilecek bir
deklinasyon tablosu ve düzeltme grafiği işimi gördü. <o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Geçen pazar günü havanın da güneşli olmasının getirdiği motivasyonla
hesap kitap işine giriştim. Çetrefilli olan kısım gölgenin gün içerisindeki
hareketinin çizdiği eğriyi hesaplamak. Bu eğri bizim enlemlerde bir hiperbole
karşılık geliyor. Sebebini anlamak için gök cisimlerinin hareketini ve konik
kesitleri anlamamız lazım.</span></div>
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://en.es-static.us/upl/2016/05/polaris-2-15-2013-Ken-Christison-NC-sq-e1495561020753.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://en.es-static.us/upl/2016/05/polaris-2-15-2013-Ken-Christison-NC-sq-e1495561020753.jpg" data-original-height="800" data-original-width="800" height="400" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Dünya
kendi ekseni etrafında dönerken dünyadan gökyüzüne bakan biri bütün gök
cisimlerini sanki kutup yıldızının etrafında dönüyormuş olarak görür.
Yukarıdaki fotoğraf bu olguyu çok iyi ifade etmektedir. Bulutsuz bir yaz gecesi
birkaç saatlik uzun bir pozlama süresi ile çekilen bu fotoğrafta tüm
yıldızların belli bir nokta etrafında döndükleri açıkca gözükmektedir.
Merkezdeki yıldız kutup yıldızı ismi ile bilinmekte olup dünya eksen
doğrultusunun üzerinde yer aldığı için bu hareketten hemen hemen hiç etkilenmez
ve daima aynı yerde durur. (Gündüz de oradadır ama elbette atmosfer ışımasından
onu göremeyiz.)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">İşte güneş de bir gün içerisinde böyle bir çember üzerinde gezmektedir.
Bu süre zarfında ondan bize gelen ışığın taradığı yüzey de elbette ki bir
koninin yan yüzeyini oluşturur. Aşağıdaki şekil tam kuzey kutbundan
bakan bir gözlemcinin güneşi ve güneş altındaki bir cismin gölgesinin hareketini
göstermektedir.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYGOAa3i5970LGtMTWeUS4u_0wXNZ8P4yHkPkFnsGxxUVaMCDAJRH_w5cnHrEYfUF5lmQRWv41RFB_mQW44gN8iyoltzML9QI5Uwbthm54VngN9UX9bg0TqSZPGJPNR2x0BMg6QfWUZy9z/s1600/pic1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="979" data-original-width="950" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYGOAa3i5970LGtMTWeUS4u_0wXNZ8P4yHkPkFnsGxxUVaMCDAJRH_w5cnHrEYfUF5lmQRWv41RFB_mQW44gN8iyoltzML9QI5Uwbthm54VngN9UX9bg0TqSZPGJPNR2x0BMg6QfWUZy9z/s320/pic1.png" width="310" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Bu özel durumda cismin gölgesi bir çember
çizmektedir çünkü gözlemcinin düşey ekseni ile dünyanın ekseni aynıdır ve gözlemcinin
üzerinde durduğu yatay düzlem ışık konisini dik bir şekilde kesmektedir. Farklı
enlemlerde ise durum böyle değildir, dünyanın ekseni ile gözlemcinin düşeyi
çakışmaz ve koniyi biraz açılı çizmek gerekir. Aşağıdaki şekil tipik bir durumu
göstermektedir.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0ycneCgmFE_pSnPk-IzBu4y4B5gwNMx7SVoNOP9JSSBLwNpAmqXyhPOSkWjtHEN3eZrKYxQVwyEtlHjR5fikMSK19RSmlGpkLk5RyrXqKrwNAuCY4wp77tiTomescv2WTl3d6pYARJSlQ/s1600/Pic2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="887" data-original-width="1600" height="353" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0ycneCgmFE_pSnPk-IzBu4y4B5gwNMx7SVoNOP9JSSBLwNpAmqXyhPOSkWjtHEN3eZrKYxQVwyEtlHjR5fikMSK19RSmlGpkLk5RyrXqKrwNAuCY4wp77tiTomescv2WTl3d6pYARJSlQ/s640/Pic2.png" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Görüldüğü gibi gözlemcinin düzlemi ışık konisini
belli bir açı ile kesmektedir. Bu durumda ortaya çıkacak eğrinin ne olacağını
bulmak istiyoruz. Bu eğriler genel olarak konik kesitler olarak
isimlendirilirler ve düzlemin koniyi hangi açıyla kestiğine bağlılık
gösterirler.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuyn4xC7TRmF-6i6htpdco_7_Kf4fUq40yAGbUEX3Gee6QkKsWWSivyxAQmgeuSMuEUeAcigDj9yyThyphenhyphen3ahtJxN8oTptS-SFAcaCBetuNeH8NS_L0yxBulx12Tto22tpLbvv7zn9stO-V5/s1600/Picture1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="450" data-original-width="842" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuyn4xC7TRmF-6i6htpdco_7_Kf4fUq40yAGbUEX3Gee6QkKsWWSivyxAQmgeuSMuEUeAcigDj9yyThyphenhyphen3ahtJxN8oTptS-SFAcaCBetuNeH8NS_L0yxBulx12Tto22tpLbvv7zn9stO-V5/s400/Picture1.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">İlk
örneğimize dönecek olursak kutuptan güneye doğru gittiğimizde koni de giderek
daha yatay hale gelir ve gölgelerin çizdiği eğriler sırası ile elipse, ondan
sonra parabole ve en sonunda da hiperbole dönerler. Bizim ülkemizin
enlemlerinde bu eğriler daima hiperbol şeklinde görülürler. (Parabol veya elips
görmek için yazın güneşin hiç batmadığı kuzey enlemlerine kadar çıkmak gerekir;
diğer her yerde gölgeler hiperbol çizer.) <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Peki
bu hiperbolü güneş saatimizin yüzüne çizmek istiyoruz o yüzden de denklemini
hesaplamaya ihtiyacımız var. Bu denklemi hesaplamak için üç tane büyüklüğü
bilmemiz gerekmektedir. Bunlardan birincisi elbette ki coğrafi konumumuzun
enlemidir. Bunu </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> </span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;">sembolü ile göstereceğiz. Bir diğer büyüklük
güneş saatimizde gölge yaratacak cismin yerden yüksekliğidir. Buna da <b>h</b></span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> diyeceğiz. Son olarak koninin tepe açısına
etkisi olacağından dolayı düneşin deklinasyonunu bilmemiz gerekecektir. Deklinasyon ile kastedilen şey güneşin dünyanın ekvator düzleminden açısal uzaklığıdır ve bu değer yıl içerisinde +23,5 ve -23,5 derece arasında değişir. Güneşin
deklinasyonunu da </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> ile gösterelim.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><br /></span></span></span>
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">
<span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;">İlk başta koninin denklemini yazmak
gerekecektir. Bu işi koninin tepe noktasını orijin kabul eden ve bir ekseni koninin
simetri ekseni ile çakışık bir koordinat sisteminde yapmak en kolayıdır.
Aşağıdaki şekilde böyle bir koordinat sisteminin eksenleri </span></span></span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%27%2Cy%27%27%2Cz%27%27%29" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> olarak gösterilmiştir.</span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><br /></span></span></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxr3eALFenqHqMSzL-VvuMuk3SxjTKDBZT5iVgAGHbYGu3mxUmdURrT1rY8sMJTSGWs3vM2vKlr5xaKhdvmKBetg5pqrUWb-Cove7cF8DxYH8bSBhP8anrnKJINa1DS4xoyipUPajAb9rm/s1600/Pic4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1242" data-original-width="1600" height="496" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxr3eALFenqHqMSzL-VvuMuk3SxjTKDBZT5iVgAGHbYGu3mxUmdURrT1rY8sMJTSGWs3vM2vKlr5xaKhdvmKBetg5pqrUWb-Cove7cF8DxYH8bSBhP8anrnKJINa1DS4xoyipUPajAb9rm/s640/Pic4.png" width="640" /></a></div>
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><br /></span></span></span>
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"></span></span></span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29" /> ile gösterilen koordiat sistemi ise güneş saatimizin koordinat sistemini ifade
etmektedir. Bu koordinat sisteminin orjini gölge yapacak cismin tam altında yer
almaktadır ve x ekseni kuzeyi y ekseni de batıyı göstermektedir. Ancak bu
koordinat sisteminde koninin denklemini yazmak kolay değildir. O yüzden koni
için en “doğal” koordinat sistemi olan </span></span></span></span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%27%2Cy%27%27%2Cz%27%27%29" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> koordinat sistemindeki
noktaları </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29" style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 16px;" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> değerlerine nasıl dönüştürebileceğimizi bulmamız lazımdır.
Bunu iki aşamada yapabiliriz. Önce </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29" style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 16px;" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> koordinat sistemini </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> yönünde </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?h" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> kadar öteleyip </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%2Cy%27%2Cz%27%29" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> koordinat sistemine geçeriz. Ondan sonra da bu koordinat
sistemini </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> ekseni etrafında </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?90-%5Cphi" style="font-family: "times new roman", serif; font-size: 12pt;" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> </span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;">derece kadar döndürürüz. Bu dönüşümler
aşağıdaki gibi yazılabilir.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"><br /></span></span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x%27%27%5C%5C%20y%27%27%5C%5C%20z%27%27%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20cos%2890-%5Cphi%20%29%20%26%200%20%26%20-sin%2890-%5Cphi%20%29%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%5C%5C%20sin%2890-%5Cphi%20%29%20%26%200%20%26%20cos%2890-%5Cphi%20%29%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x%27%5C%5C%20y%27%5C%5C%20z%27%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" /> (1)</span></span></span></div>
<br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"></span></span></span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Birbirini
90 dereceye tamamlayan açıların trigonometrik özelliklerini kullanıp matris
(1) denklemni 3 ayrı denklem şeklinde yazarsak:</span></span></span></span></div>
<br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%27%27%3Dsin%28%5Cphi%20%29x%27-cos%28%5Cphi%29z%27" /> (2)</span></span></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%27%3Dy%27" /> (3)</span></span></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z%27%27%3Dcos%28%5Cphi%29x%27&plus;sin%28%5Cphi%29z%27" /> (4)</span></span></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"></span></span></span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Ayrıca
öteleme dönüşümünden </span></span></span></span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29" style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 16px;" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> ile </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%2Cy%27%2Cz%27%29" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> arasındaki bağıntı aşağıdaki şekilde
yazılabilir.</span></div>
<br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%27%3Dx" /> (5)</span></span></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%3Dy" /> (6)</span></span></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z%27%3Dz-h" /> (7)</span></span></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"></span></span></span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">(2), (3), (4) ve (5), (6), (7) de verilen dönüşümler birleştirilirse </span></span></span></span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%27%2Cy%27%27%2Cz%27%27%29" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><span style="font-size: 12pt; line-height: 107%;"><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"> den </span></span></span></span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29" style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 16px;" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> ye geçebiliriz:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"><br /></span></div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%27%27%3Dsin%28%5Cphi%29x-cos%28%5Cphi%29%28z-h%29" /> (8)<br />
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%27%3Dy" /> (9)<br />
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z%27%27%3Dcos%28%5Cphi%29x&plus;sin%28%5Cphi%29%28z-h%29" /> (10)<br />
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Şimdi </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%27%2Cy%27%27%2Cz%27%27%29" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> sisteminde koninin denklemini basitçe yazalım:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%27%29%5E%7B2%7D&plus;%28y%27%27%29%5E%7B2%7D%3D%28z%27%27%29%5E2cot%5E2%28%5Ctheta%20%29" /> (11)</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Burada </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> güneşin deklinasyonunu ifade etmektedir. Şimdi
elde ettiğimiz (8), (9), (10) numaralı dönüşümleri</span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> (11) nolu denklemde yerine yazarak koninin denklemini </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29" style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 16px;" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> koordinatları
cinsinden yazabiliriz. Ayrıca bu koni ile kesiştireceğimiz düzlemin
denklemi </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z%3D0" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> olduğundan bu denklemde </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z%3D0" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> yazarak istediğimiz düzlem
ara kesitini de pratik bir biçimde bulmuş oluruz. İşlemden tasarruf etmek için
bu iki adımı aynı anda yapalım:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"><br /></span></div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28sin%28%5Cphi%29x&plus;h.cos%28%5Cphi%29%29%5E2&plus;y%5E2%3D%28cos%28%5Cphi%29x-h.sin%28%5Cphi%29%29%5E2.cot%5E2%28%5Ctheta%20%29" /> (12)</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Bu
ifade düzenlendiği zaman aradığımız denklem elde edilir:<o:p></o:p></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%5E2%3D%28%5Cfrac%7Bcos%5E2%28%5Cphi%29%7D%7Bsin%5E2%28%5Ctheta%29%7D-1%29x%5E2-%5Cfrac%7Bh.sin%282%5Cphi%29%7D%7Bsin%5E2%28%5Ctheta%29%7Dx&plus;%28%5Cfrac%7Bsin%5E2%28%5Cphi%29%7D%7Bsin%5E2%28%5Ctheta%29%7D-1%29h%5E2" /> (13)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">(13) nolu denklem yerden </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?h" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> kadar yukarıda bulunan noktasal bir cismin gölgesinin takip
edeceği eğrilerin genel denklemidir. Eğrilerin dememizin sebebi yılın farklı
zamanlarında güneşin deklinasyonu değişeceğinden dolayı farklı </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;"> değerleri için farklı eğriler söz konusudur. Burada ilginç olan
bir durum </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;">’nın
denklemde bulunduğu her yerde sinüsünün karesi alınmaktadır. Yani pozitif ve negatif
deklinasyon değerleri aynı eğrileri verir. İlk başta şaşırtıcı gelebilecek bu
durum esasında normaldir. </span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;">Çünkü hiperbol eğrisi her zaman çiftler halinde
ortaya çıkar. Bunlardan birisi pozitif deklinasyona karşılık gelen tarihteki
çizgiye diğeri ise negatif deklinasyon durumuna karşılık gelir.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">(13) nolu denkleme
bakıldığında görülebilecek bir diğer hususiyet ise </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" /><i><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">’</span></i><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%;">nın sıfır olması durumunda denklemde tanımsız terimlerin
olmasıdır. Böyle bir durumda zaten artık bir koniden bahsedilemez ve güneş
ekvator ile aynı düzlemdedir. 21 Mart ve 21 Eylül’de gerçekleşen ve ekinoks denen
bu durumda gölgeler bütün dünyada düz bir doğru üzerinde ilerlerler.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Hiperbol eğrileri güneş saatimize baktığımızda
tarihi bulmamızı sağlar ancak saati nasıl anlayacağız sorusuna henüz
değinmedik. Yine koninin doğal koordinat sistemi olan </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%27%2Cy%27%27%2Cz%27%27%29" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> sistemine
dönecek olursak </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%27%27" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> ve </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%27" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> bir çember üzerinde yer aldıkları için aşağıdaki gibi
zamanın fonksiyonu olarak ifade edilebilirler:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%27%27%3DR.cos%2815t%29" /> (14)</div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%27%3DR.sin%2815t%29" /> (15)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Burada </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?R" /> rastgele<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> bir çemberin yarıçapını göstermekte olup birazdan göstereceğimiz metoddan ötürü bir anlamı ve önemi yoktur. </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?t" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> ise saat cinsinden tam yerel öğle vaktinden
itibaren zamanı ifade eder. Güneş bir turunu 24 saatte tamamladığından dolayı
bir saatte 15 derece kadar dönmektedir; denklemdeki 15 buradan gelir. Şimdi daha
önce bulduğumuz (8), (9), (10) dönüşümlerini kullanarak (14) ve (15) nolu denklemleri </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29" style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 16px;" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> koordinat
sistemine göre aşağıdaki gibi yazabiliriz. </span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?sin%28%5Cphi%29x-cos%28%5Cphi%29%28z-h%29%3DR.cos%2815t%29" /> (16)</div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%3DR.sin%2815t%29" /> (17)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z%3D0" /> düzleminde
olduğumuzdan yine </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> yerine sıfır koyup iki denklemi birbirine bölersek </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?R" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;">’ler
sadeleşir ve aşağıdaki ifadeyi bulmuş oluruz.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?tan%2815t%29%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bsin%28%5Cphi%29x&plus;cos%28%5Cphi%29h%7D" /> (18)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Bu
ise aşağıdaki şekilde yazıldığında görüleceği gibi bir doğru denkleminden başka
bir şey değildir:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%3Dtan%2815t%29.sin%28%5Cphi%29.x&plus;tan%2815t%29.cos%28%5Cphi%29.h" /> (19)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Farklı
saatlerde </span><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?t" /><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"> değiştiği için gölgeler farklı doğrular üzerinde yer alacaklardır.
Öyle ise güneş saatimizde saati de ölçmek istiyorsak hiperboller haricinde bu
doğruları da çizmemiz gerekir.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Ben
bu çizim işlemlerini gerçekleştirmek için GNUPLOT isimli bir program kullandım.
Bu programda denklemleri istediğiniz gibi yazıp eğrilerinizi çizebiliyorsunuz.
Kullandığım betiki (scripti) yazının en sonunda bulabilirsiniz. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Sonuç
olarak İstanbul için (yani 41 derece kuzey enlemi için) 15 farklı deklinasyon
değerine karşılık gelen hiperbolleri (denklem (13)) ve 15 farklı saat değerine karşılık gelen doğruları
(denklem (19)) olan bir güneş saati yüzü çizdim. Çizimden sonra da oluşturduğum görseli
powerpoint’e kopyaladım ve bir deklinasyon tablosuna bakarak üzerine tarihleri ekledim.
Ayrıca bir de zaman düzeltme grafiği ekledim. Sonuç olarak aşağıdaki şey ortaya
çıktı. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOKVcCe3E_NIDTF8guJkrQBdmJ6-YFfu1cYHUesOC2_a24HGOerZH-dpWABsuQBEW1lQQCcExZsE-Iv33benOplWJ137w7tqhDS-rD-gojab3CHP4IDmcgclT0ChLP665wdtISD4969tCO/s1600/Picture2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1600" data-original-width="1193" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOKVcCe3E_NIDTF8guJkrQBdmJ6-YFfu1cYHUesOC2_a24HGOerZH-dpWABsuQBEW1lQQCcExZsE-Iv33benOplWJ137w7tqhDS-rD-gojab3CHP4IDmcgclT0ChLP665wdtISD4969tCO/s640/Picture2.png" width="477" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
(Resmin üzerine tıklayınca orjinal boyutunda görebilirsiniz, indirip çıktısını alabilirsiniz.)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Tarih çizgileri ve saat doğruları hemen gözümüze çarpan
özellikler. Belki ilk olarak göze çarpan şey saat doğrularının bir noktada
birleşiyor olması. O noktayı koordinat sistemimizin orjini zannedebilirsiniz
ama öyle değil. Burada koordinat sisteminin orjini o noktanın biraz sağında yer
alan küçük işaretli noktadır. Bu güneş saatini kullanmak için en sağdaki üçgeni
kesmeniz ve doğruların kesiştiği nokta ile işaretli nokta arasına dik olarak
yerleştirmeniz gereklidir. (Koordinat sisteminin 1 birimi üçgenin yüksekliği
kadardır.) Üçgeni dik tutabilmek için iki tane tavla zarının arasına
yapıştırdım. (Siz daha yaratıcı yöntemler bulabilirsiniz.)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPUUChDlSmZaL-ARy49Hbq0-qfm1GGcJzXJ-IUjzhhwHlMA7F8BifELzv5gu1XE2FBkapme6tP5c-qY22JVxDbGdzCu1fSKUoMcgMuGMF_YIFymnRrp6rME1_6QWqmhabfW57aZnnKGM9V/s1600/20190510_233538.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1600" data-original-width="1200" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPUUChDlSmZaL-ARy49Hbq0-qfm1GGcJzXJ-IUjzhhwHlMA7F8BifELzv5gu1XE2FBkapme6tP5c-qY22JVxDbGdzCu1fSKUoMcgMuGMF_YIFymnRrp6rME1_6QWqmhabfW57aZnnKGM9V/s640/20190510_233538.jpg" width="480" /></a></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt;">Zaman ve tarih okurken dikkat edilecek husus gölgenin EN
UCUNUN düştüğü hiperbol çizgisinden tarihi, üçgenin HİPOTENÜSÜNÜN gölgesinin DOĞRULTUSUNDAN
da saati okumanız gerekliliğidir. (Üçgenin dikey kenarının gölgesinin yönünün
bir anlamı yoktur. Bu kafa karıştırıcı olabilir.)</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfOm5ink7Tvaa-chg4Yw3shUowUc5Qq12b2E4Yk4ttv-A_9i0woWm6vWwbPUQD6lO5YTPQcx2PngxbDIMBD48oTGJwqEV3XaQPZO5BOMcJT6psO5AyKBYXVuTO7gdtOG1atoiR6THF5AzW/s1600/20190511_175516.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1600" data-original-width="1200" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfOm5ink7Tvaa-chg4Yw3shUowUc5Qq12b2E4Yk4ttv-A_9i0woWm6vWwbPUQD6lO5YTPQcx2PngxbDIMBD48oTGJwqEV3XaQPZO5BOMcJT6psO5AyKBYXVuTO7gdtOG1atoiR6THF5AzW/s640/20190511_175516.jpg" width="480" /></a></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Saati kullanma talimatları şöyledir:</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="line-height: 107%; text-indent: -0.25in;"><span style="font-stretch: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; line-height: normal;"><span style="font-family: "times new roman" , serif;">1. </span></span><span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt; font-stretch: normal; line-height: normal;"> </span></span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; line-height: 107%; text-indent: -0.25in;">Görselin
istediğiniz boyutta bir çıktısını alın. (A3 tavsiye ederim.)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;">2. Üçgeni
dikkatlice kesip çıkarın. (Üçgenin boyutları önemlidir, tam çizgilerinden
kesmek gereklidir.)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;">3. Saati
güneş alan bir yere yerleştirin. Zeminin tam yatay olması önemlidir.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;">4. Üçgeni
doğruların kesiştiği nokta ile onun biraz ilerisinde işaretli nokta arasına tam
dik bir şekilde yerleştirin. (Dik durması için tavla zarı gibi iki küçük cisim
arasına yapıştırılabilir.)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;">5. Şimdi üçgenin
konumunu bozmadan saatin simetri eksenini kuzeye döndürmemiz gerekmektedir.
Eğer kuzeyi bilmiyorsanız ama tarihi biliyorsanız bu çok kolay bir şekilde yapılabilir.
Üçgenin tam tepe noktasının gölgesi uygun tarih eğrisinin üzerine düşene kadar saat
bütünüyle döndürülür. (Benzer bir mantıkla bu saati kullanarak sadece saati
biliyorsanız kuzeyi ve tarihi, sadece kuzeyi biliyorsanız tarihi ve saati
bulabilirsiniz.)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;">6. Saat
kuzeye döndürüldüğünde hipotenüsün gölgesinin doğrultusu size saati gösterir. Yeşil
çizgilerle karşılaştırarak öğle zamanından kaç saat geride veya ileride
olduğunuzu bulabilirsiniz. (Eğer yaz saatinde değilseniz öğlen saat 12:00 eğer
yaz saatindeyseniz öğlen saat 13:00 civarındadır.) Yeşil çizgilerin her biri
bir saate karşılık gelir.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;">7. Üçgenin
tepe noktasının gölgesinin gün boyu üzerinde gezdiği eğri tarih bilgisine
karşılık gelir. (Aynı eğriye karşılık gelen iki farklı tarih olduğuna dikkat
ediniz. Deklinasyonun azaldığı tarihler saatin bir tarafına arttığı tarihler diğer tarafına işlenmiştir.)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-indent: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12pt; text-indent: -0.25in;">8. Saatin
üzerinde gördüğünüz grafik yıl içerisinde güneş saatinin ne kadar ileri veya
geri kalacağını gösterir. Örnek olarak Mayıs ayının ortasında güneş saatiniz
tam öğle vaktini gösterdiğinde grafik -3 civarını göstermektedir yani gerçek
saat 12:03 anlamına gelir. Bu düzeltmenin sebebi dünyanın ekseninin eğikliği ve
dünyanın güneş etrafında eliptik bir yörüngede dönmesidir.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">8. maddede bahsedilen grafik “Equation of time” ismiyle
bilinir ve güneş saatlerinde yaygın olarak kullanılır. </span><span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">Eğrileri
çizmek için kullandığım gnuplot scripti aşağıdadır:<o:p></o:p></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
</div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;"><br /><o:p></o:p></span>
<span style="font-family: "times new roman" , serif; font-size: 12.0pt; line-height: 107%;">set term postscript eps enhanced color font "Helvetica" 24<br />set output 'face.eps'<br />set nokey<br />#set grid # kontrol amacli<br />unset border<br />set xrange[-3:3]<br />set noxtics<br />set noytics<br />set yrange[-4:4]<br />set samples 1000000<br />lat = 41*pi/180<br />h = 1<br />set parametric<br />set trange [0:1]<br />p(t)= A + t*(B-A)<br />set arrow from -h/tan(lat),0 to 2,0 nohead lt 2 # Kuzey guney hatti<br />set arrow from -h/tan(lat),-3.6 to -h/tan(lat),3.6 nohead lt 2<br />set arrow from 0,-0.05 to 0,0.05 nohead lt 2 # Orijin isareti<br />set arrow from tan(lat),-4 to tan(lat),4 nohead lt 2 # Ekinoks cizgisi<br />set arrow from 2.1,0 to 2.1+(1/tan(lat)),0 nohead lt 2 # Ucgenin alt kenari<br />set arrow from 2.1+(1/tan(lat)),0 to 2.1+(1/tan(lat)),1 nohead lt 2 #Ucgenin dik kenari<br />set arrow from 2.1+(1/tan(lat)),1 to 2.1,0 nohead lt 2 # Ucgenin hipotenusu<br />set size ratio -1<br />plot A = -8, B = 8, p(t), ((cos(lat)**2/sin(-23.04*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-23.04*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-23.04*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 1,\<br />A = -8, B = 8, p(t), -((cos(lat)**2/sin(-23.04*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-23.04*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-23.04*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 1,\<br />A = -8, B = 8, p(t), ((cos(lat)**2/sin(-20.05*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-20.05*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-20.05*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 6,\<br />A = -8, B = 8, p(t), -((cos(lat)**2/sin(-20.05*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-20.05*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-20.05*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 6,\<br />A = -8, B = 8, p(t), ((cos(lat)**2/sin(-17.2*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-17.2*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-17.2*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 2,\<br />A = -8, B = 8, p(t), -((cos(lat)**2/sin(-17.2*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-17.2*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-17.2*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 2,\<br />A = -8, B = 8, p(t), ((cos(lat)**2/sin(-12.16*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-12.16*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-12.16*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 7,\<br />A = -8, B = 8, p(t), -((cos(lat)**2/sin(-12.16*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-12.16*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-12.16*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 7,\<br />A = -8, B = 8, p(t), ((cos(lat)**2/sin(-7.5*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-7.5*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-7.5*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 3,\<br />A = -8, B = 8, p(t), -((cos(lat)**2/sin(-7.5*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(-7.5*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(-7.5*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 3,\<br />A = -8, B = 8, p(t), ((cos(lat)**2/sin(4.18*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(4.18*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(4.18*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 4,\<br />A = -8, B = 8, p(t), -((cos(lat)**2/sin(4.18*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(4.18*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(4.18*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 4,\<br />A = -8, B = 8, p(t), ((cos(lat)**2/sin(14.54*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(14.54*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(14.54*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 5,\<br />A = -8, B = 8, p(t), -((cos(lat)**2/sin(14.54*pi/180)**2 -1)*p(t)**2 -(h*sin(2*lat)/sin(14.54*pi/180)**2)*p(t) + (sin(lat)**2/sin(14.54*pi/180)**2 -1*h**2))**0.5 w l lt 5,\<br />A = -h/tan(lat), B = 0.3, p(t), tan(15*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2, A = -h/tan(lat), B = 0.3, p(t), -tan(15*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2,\<br />A = -h/tan(lat), B = 0.27, p(t), tan(30*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2, A = -h/tan(lat), B = 0.27, p(t), -tan(30*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2,\<br />A = -h/tan(lat), B = 0.18, p(t), tan(45*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2, A = -h/tan(lat), B = 0.18, p(t), -tan(45*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2,\<br />A = -h/tan(lat), B = 0, p(t), tan(60*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2, A = -h/tan(lat), B = 0, p(t), -tan(60*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2,\<br />A = -h/tan(lat), B = -0.32, p(t), tan(75*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2, A = -h/tan(lat), B = -0.32, p(t), -tan(75*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2,\<br />A = -h/tan(lat), B = -5, p(t), tan(105*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2, A = -h/tan(lat), B = -5, p(t), -tan(105*pi/180)*(sin(lat)*p(t) + h*cos(lat)) lt 2<br /><br /><o:p></o:p></span></div>
</div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-78903014227938641512017-04-21T01:33:00.000-07:002017-04-21T01:36:10.751-07:00John Freely'nin ardından<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OfficeDocumentSettings>
<o:AllowPNG/>
</o:OfficeDocumentSettings>
</xml><![endif]--><br />
<!--[if gte mso 9]><xml>
<w:WordDocument>
<w:View>Normal</w:View>
<w:Zoom>0</w:Zoom>
<w:TrackMoves/>
<w:TrackFormatting/>
<w:HyphenationZone>21</w:HyphenationZone>
<w:PunctuationKerning/>
<w:ValidateAgainstSchemas/>
<w:SaveIfXMLInvalid>false</w:SaveIfXMLInvalid>
<w:IgnoreMixedContent>false</w:IgnoreMixedContent>
<w:AlwaysShowPlaceholderText>false</w:AlwaysShowPlaceholderText>
<w:DoNotPromoteQF/>
<w:LidThemeOther>TR</w:LidThemeOther>
<w:LidThemeAsian>X-NONE</w:LidThemeAsian>
<w:LidThemeComplexScript>X-NONE</w:LidThemeComplexScript>
<w:Compatibility>
<w:BreakWrappedTables/>
<w:SnapToGridInCell/>
<w:WrapTextWithPunct/>
<w:UseAsianBreakRules/>
<w:DontGrowAutofit/>
<w:SplitPgBreakAndParaMark/>
<w:EnableOpenTypeKerning/>
<w:DontFlipMirrorIndents/>
<w:OverrideTableStyleHps/>
</w:Compatibility>
<w:BrowserLevel>MicrosoftInternetExplorer4</w:BrowserLevel>
<m:mathPr>
<m:mathFont m:val="Cambria Math"/>
<m:brkBin m:val="before"/>
<m:brkBinSub m:val="--"/>
<m:smallFrac m:val="off"/>
<m:dispDef/>
<m:lMargin m:val="0"/>
<m:rMargin m:val="0"/>
<m:defJc m:val="centerGroup"/>
<m:wrapIndent m:val="1440"/>
<m:intLim m:val="subSup"/>
<m:naryLim m:val="undOvr"/>
</m:mathPr></w:WordDocument>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>
<w:LatentStyles DefLockedState="false" DefUnhideWhenUsed="false"
DefSemiHidden="false" DefQFormat="false" DefPriority="99"
LatentStyleCount="371">
<w:LsdException Locked="false" Priority="0" QFormat="true" Name="Normal"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 7"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 8"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="heading 9"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index 9"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 7"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 8"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="toc 9"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footnote text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="header"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footer"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="index heading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="35" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="caption"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="table of figures"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="envelope address"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="envelope return"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="footnote reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="line number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="page number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="endnote reference"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="endnote text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="table of authorities"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="macro"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="toa heading"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Bullet 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Number 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="10" QFormat="true" Name="Title"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Closing"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Signature"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="1" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="Default Paragraph Font"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="List Continue 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Message Header"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="11" QFormat="true" Name="Subtitle"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Salutation"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Date"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text First Indent"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text First Indent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Note Heading"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Body Text Indent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Block Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Hyperlink"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="FollowedHyperlink"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="22" QFormat="true" Name="Strong"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="20" QFormat="true" Name="Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Document Map"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Plain Text"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="E-mail Signature"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Top of Form"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Bottom of Form"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal (Web)"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Acronym"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Address"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Cite"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Code"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Definition"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Keyboard"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Preformatted"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Sample"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Typewriter"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="HTML Variable"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Normal Table"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="annotation subject"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="No List"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Outline List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Simple 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Classic 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Colorful 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Columns 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Grid 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 4"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 5"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 6"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 7"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table List 8"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table 3D effects 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Contemporary"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Elegant"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Professional"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Subtle 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Subtle 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 2"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Web 3"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Balloon Text"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="Table Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" UnhideWhenUsed="true"
Name="Table Theme"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" Name="Placeholder Text"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="1" QFormat="true" Name="No Spacing"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" SemiHidden="true" Name="Revision"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="34" QFormat="true"
Name="List Paragraph"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="29" QFormat="true" Name="Quote"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="30" QFormat="true"
Name="Intense Quote"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" Name="Light Shading Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" Name="Light List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" Name="Light Grid Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" Name="Medium Shading 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" Name="Medium Shading 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" Name="Medium List 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" Name="Medium List 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" Name="Medium Grid 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" Name="Medium Grid 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" Name="Medium Grid 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" Name="Dark List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" Name="Colorful Shading Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" Name="Colorful List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" Name="Colorful Grid Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="19" QFormat="true"
Name="Subtle Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="21" QFormat="true"
Name="Intense Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="31" QFormat="true"
Name="Subtle Reference"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="32" QFormat="true"
Name="Intense Reference"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="33" QFormat="true" Name="Book Title"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="37" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" Name="Bibliography"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" SemiHidden="true"
UnhideWhenUsed="true" QFormat="true" Name="TOC Heading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="41" Name="Plain Table 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="42" Name="Plain Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="43" Name="Plain Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="44" Name="Plain Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="45" Name="Plain Table 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="40" Name="Grid Table Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46" Name="Grid Table 1 Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51" Name="Grid Table 6 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52" Name="Grid Table 7 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="Grid Table 1 Light Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="Grid Table 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="Grid Table 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="Grid Table 4 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="Grid Table 5 Dark Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="Grid Table 6 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="Grid Table 7 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46" Name="List Table 1 Light"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51" Name="List Table 6 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52" Name="List Table 7 Colorful"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="46"
Name="List Table 1 Light Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="47" Name="List Table 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="48" Name="List Table 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="49" Name="List Table 4 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="50" Name="List Table 5 Dark Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="51"
Name="List Table 6 Colorful Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="52"
Name="List Table 7 Colorful Accent 6"/>
</w:LatentStyles>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 10]>
<style>
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:"Table Normal";
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-priority:99;
mso-style-parent:"";
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin:0cm;
mso-para-margin-bottom:.0001pt;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:10.0pt;
font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-font-family:Calibri;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;
mso-hansi-font-family:Calibri;
mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-fareast-language:EN-US;}
</style>
<![endif]-->
<br />
<div class="MsoNormal">
<img alt="" src="http://media-cdn.t24.com.tr/media/stories/2017/04/page_istanbulun-hafizasi-john-freely-hayatini-kaybetti_234282463.jpg" itemprop="thumbnailUrl" /> </div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Boğaziçi Üniversitesi Fizik Bölümü'nün efsane hocalarından Prof.
John Freely’nin vefatını dün teessürle öğrendim. </div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<a href="http://t24.com.tr/haber/istanbulun-hafizasi-john-freely-hayatini-kaybetti,400206">http://t24.com.tr/haber/istanbulun-hafizasi-john-freely-hayatini-kaybetti,400206</a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Kendisinden bilim tarihi ve astronomi ile ilgili iki ders
alma şansına sahip olduğum için kendimi şanslı hissediyorum. Ders haricinde de
sayısız hatıralarımız vardır. Şu dünyada gidenin ardından hatıralardan başka
birşey kalmadığı için bir iki tanesini yad etmek isterim.</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Öğrencilik zamanımda Beşiktaş’ta vapurdan indikten sonra
doğrudan okulun kapısına giden Hisarüstü otobüsleri yerine biraz aylaklıktan
ayak diretip Bebek’ten geçen otobüslere binerdim ve Bebek kapısından girip
korunun içinden yavaş yavaş yokuş yukarı Güney Kampüs’e yürürdüm. İşte aynı
saatlerde havuzun yanına park etmiş olan bordo renkli bir Renault dikkatimi
çekerdi zira bu arabanın direksiyonu sağ taraftaydı, nasıl olmuş, nereden
Türkiye’ye gelmiş merak ederdim. Bu arabayı kullanan pamuk sakallı ihtiyar ile
sık karşılaşırdık ve bazen yokuş yukarı yürürken beni gördüğünde durup yukarı
kadar atardı. </div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Bu kısa sohbetlerden 40 yılı aşkın süredir Arnavutköy’de
oturduğunu, İrlanda asıllı olduğunu, dedesinin bir savaşta Türklere esir
düştüğünü, İstanbul’a getirilip gördüğü iyi muameleden ve İstanbul’dan
etkilendiğini, geri döndüğünde bu güzel şehir ile alakalı bir sürü kitap
getirdiğini, kendisinin çocukluğunun bu kitapları okuyarak İstanbul’u merak
etmekle geçtiğini öğrenmiştim. </div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Astronomi’ye Giriş ve Bilim tarihi derslerinden birinde
Keppler’in ilk güneş sistemi modellerinden olan iç içe geçmiş 5 platonik katı
ve bunların küreleri modelini anlatmıştı ve işin ilginci bu modelin
gezegenlerin güneşe olan mesafeleri için hiç de kötü sonuç vermediğini
söylemişti. Merakımı celb eden bu konuyu biraz sorduğumda “oranları hesaplayıp
gerçek yörüngelerle kaşılaştır, bir dönem ödevi olarak getir, doğrudan AA vereyim”
dedi. Dediği gibi yaptım ve notu kaptım. Lisans’ta aldığım çok ender AA’lardan
biri olduğu içn unutmam bu hatırayı. </div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Bu güzel dersleri ruhsuz ve sevimsiz beton yığını kuzey
kampüsün basık bir binasında yapardık, o da elbette bunun farkında olduğundan
bir seferinde camdan dışarı bakıp bundan daha güzel hapishanelerde kamışlığım
vardır demişti. Muhtemelen İkinci Dünya Savaşı hatıralarından biri gözünde
canlanıyordu. Bir seferinde yine özel bir ders arası sohbette o günlerde
toplumun önemli bir mevzuya karşı kayıtsız kalması ve Galatasaray’ın bir maçı
kadar ilgi görmemesinden yakındığımda bu hiç değişmez dedi ve hatıralarından
birini paylaşmıştı benimle: "Çin’de ismini bilmediğim bir yerlerde bir kamyonun
arkasında uyuyordum, komutanlardan biri ayağıma bir tekme atıp: “Wake up
soldier, the f**ng war is over!” diyerek neşeyle bir gazetenin ilk sayfasını
gösterdi. Gazetenin birinci sayfasında kocaman atom bombası resmi ve
Japonya’nın teslim oluşu haberleştirilirken diğer yarısında aynı büyüklükte New
York Yankees’in beyzbol maçı ile alakalı bir haber vardı. <span style="font-family: "wingdings"; mso-ascii-font-family: Calibri; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Calibri; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">😊</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Galatasaray demişken semt olan Galatasaray’daki
“karıncaezmez” dolmuş şoföründen şehrin envai çeşit orjinal tipini, arka
sokaklarını her detayını bilirdi. 40’a yakın kitabından bir tanesi fizik ile
alakalıdır, diğerleri İstanbul tarihi, gezi rehberleri, vs... Kafamızda hayal
ettiğimiz, düşüncelerimize, inançlarımıza uydurmak istediğimiz, geçtiğimiz
onyıllar boyunca renklerini teker teker sildiğimiz İstanbul’u değil,
hayallerimizin ötesinde renkli, zengin ve GERÇEK İstanbul’un yazarıydı. Bu
bağlamda benden çok daha İstanbul’lu idi diyebilirim. Haberin başlığı çok güzel
seçilmiş: “İstanbul’un hafızası hayatını kaybetti”.</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Biraz mizahi bir son hatıra olarak bu onu ilk kaybedişim
değil esasında: Lisans öğrenciliğimin artık son yıllarında John Freely’yi belli
bir süredir görmüyordum ve merak da etmiştim. Sonra bir şekilde öldüğü haberi
yayıldı ve bu nasıl bir bölümdür, hiç haberimiz olmaz diye yaygarayı koparmaya
başlamıştım ki hocayı güney kampüste yürürken gördüm. Bir parça rahatsızdı
muhtemelen, baston kullanmaya başlamıştı. Koşarak yanına gittim, neşe ile elini
öptüm filan şaşırdı, iyisiniz inşallah filan espri ile karışık öldü dediler
hocam sizin için dedim. Yine zengin tarih bilgisi ile Ortaçağ’dan ismi “yarı-ölü”
anlamına gelen bir adamın hikayesini anlattı. Biraz ona benzedim sadece diye
bitirdi... </div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Bu seferki rivayetin de böyle neşeli bitmesini isterdim...</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Orjinal ve güzel bir adamdı vesselam. Benim ömrümden daha
uzun zamandır İstanbul’da olmasına rağmen Türkçe konuşup konuşmadığını hala benim için bir muammadır. Bilen varsa da öğrenmek istemem, bazı şeyler sır olarak kalsın...</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Güle güle hocam,</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Güle güle hemşehrim,</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Emekleriniz için müteşekkirim... </div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br />
<span style="font-family: "wingdings"; mso-ascii-font-family: Calibri; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Calibri; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;"></span></span></div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-88861084072629725742014-03-05T12:56:00.000-08:002014-03-05T13:01:18.877-08:00Kara Yarımküresi ve Jules Verne<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhElDThM7CBEOlG2N6bdK0af_wcEksSGA3Vn4X-EmtRBwniEkcWZHwLdeqi1CpTlpmdlOT539ABqw7kN7V8EOg25ZUbRXZOsPEDj8FbTxrSVvP6FoMJQKL-dBk3v2vHDizbgWxgfQ7r83eg/s1600/Picture1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhElDThM7CBEOlG2N6bdK0af_wcEksSGA3Vn4X-EmtRBwniEkcWZHwLdeqi1CpTlpmdlOT539ABqw7kN7V8EOg25ZUbRXZOsPEDj8FbTxrSVvP6FoMJQKL-dBk3v2vHDizbgWxgfQ7r83eg/s1600/Picture1.png" height="356" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Coğrafya derslerinde dünya küresi genelde ekvator büyük dairesi ile ikiye ayrılarak, kuzey ve güney yarım küreden müteşekkil olarak anlatılır. Esasında bir küreyi iki yarım küreye ayırma işlemi sonsuz farklı şekilde gerçekleştirilebilir. İşte dünya için olası yarım küre tercihleri içerisinde "yüzölçümü olarak içerdiği toplam kara miktarı en çok olacak şekilde" bir yarım küre seçerseniz bu yarım küreye "kara yarım küresi" adı verilir(miş). Miş'i ekledim zira ben de bu ne işe yarayabileceğini kestiremediğim bilgiyi yeni edindim. Nasıl mı? Şu anda doktora sonrası araştırmalarımı yürüttüğüm Fransa'nın Nantes şehri yukarıda gördüğünüz "kara yarımküresinin" tam ortasında (yani tepe noktasında) yer alıyor da ondan. Bu lüzumsuz bilginin wikipedia sayfasında yer aldığını düşünürseniz şehrin ne kadar "enteresan" bir yer olduğunu kestirebilirsiniz. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Oysa şimdiye kadar her şeyi ile standart bir Avrupa şehrinden bir farkını göremediğim Nantes hakkında malumat edinirken esas ilgimi çeken şey bilim kurgu türüne damgasını vurmuş (ve çocukluğumdan beri bilip sevdiğim) Jules Verne'in bu şehirde doğup yaşamış olması idi. "Denizler altında yirmi bin fersah", "dünyanın merkezine yolculuk", "seksen günde devr-i alem", "dünyadan aya seyahat" başta olmak üzere birçok eserinde insan hayal gücünün sınırlarını zorlamayı sevmiş ve sevdirmiş bu yazarın yaşadığı yerde olmak sevenini bir parça heyecanlandırabiliyor. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Dünyadaki her şehrin çok zorlanırsa meşhur olan bir özelliği bulunabileceğini düşündüğümden dolayı bu kendiliğinden gelen yazıyı buraya ait (özellikle bizde meşhur) iki gıda maddesini zikrederek bitireyim: 1. Pöti bör bisküvi, 2. Galete. Evet, ikisinin de kökü burasıymış. :-))<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXt4xwQ4q9pIXULUKi_qNd7mS2TSJe4YB2UfweYewMXhJjItBhCjupPuMEj6LTp-L_POGnfMhP1D9Q3Lu-UnyF5TsbIhkwGGFe3V29gEPEfZA9iNVUJIBmMeL1SEV07vKmDV9b-PZiQuFx/s1600/petit_beurre.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXt4xwQ4q9pIXULUKi_qNd7mS2TSJe4YB2UfweYewMXhJjItBhCjupPuMEj6LTp-L_POGnfMhP1D9Q3Lu-UnyF5TsbIhkwGGFe3V29gEPEfZA9iNVUJIBmMeL1SEV07vKmDV9b-PZiQuFx/s1600/petit_beurre.jpg" height="266" width="400" /></a></div>
</div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-68012561898941879392013-12-16T13:46:00.002-08:002013-12-24T03:39:57.071-08:00Astronomik seyir: Unutulmaya yüz tutan sanat<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_Uvl8XaDLySB1q0PFypkr07pPe4UCuS2yehdx2w9N0h-WVOVIiEegUYaqrE6XkR3hQ9f0kCwBA1_18nx6VcWmd2HZiO0HpEyirRciD6AcZhZX9tUy2K88S92Y0HQelYWIMDDS7C0FhFyo/s1600/Blue_Stars_Wallpaper_sgltx.jpeg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_Uvl8XaDLySB1q0PFypkr07pPe4UCuS2yehdx2w9N0h-WVOVIiEegUYaqrE6XkR3hQ9f0kCwBA1_18nx6VcWmd2HZiO0HpEyirRciD6AcZhZX9tUy2K88S92Y0HQelYWIMDDS7C0FhFyo/s400/Blue_Stars_Wallpaper_sgltx.jpeg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Kıyılardan uzaklara açılan gemiler her ne kadar gittikleri yönü pusuladan, gittikleri hızı ve aldıkları yolu da parakete denilen basit düzenek yardımı ile bilip hesaplayabilirlerse de akıntının ve rüzgarın sadece tahmin yoluyla bilinebilecek etkileri günler boyunca üst üste binerek geminin konumunu giderek daha az kestirilebilir bir hale getirir. İşte bu yüzden özellikle açık denizlerde ve okyanuslarda bağımsız bir kaynaktan geminin konumunun doğrulanması hayati derecede önem taşır.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Eğer 30 yıl kadar önce bu yazıyı yazıyor olsa idim muhtemelen bu giriş paragrafı ile ilgi çekmeyi başarırdım. Zira günümüzde artık uydu konumlama sistemleri (GPS, GLONASS) sayesinde konumunuzu elektronik bir ekrana bakmak haricinde hiçbir uğraş vermeden 20-30 metre kesinlikle bilmek mümkündür. Dolayısı ile bu yazı aşırı derecede eski moda bir metoddan bahsetmektedir ve bunlara artık ne gerek var diye düşündürebilir. Şunu söylemek ile yetinelim: Yukarıda bahsedilen konumlama sistemlerini kendi savunma (!) amaçları için geliştiren ABD ve Rusya bunları her ne kadar halkın kullanımına açmışlarsa da sonuç olarak kontrolü onların elindedir ve sinyalleri her an kesmeleri mümkündür. Bir diğer husus ise yine bu iki ülke neredeyse tüm dünya stratejisinin etrafında döndüğü korkunç silahlar olan ICBM'lerin (kıtadan kıtaya atılabilen nükleer başlıklı füzeler) seyr-ü sefer sistemlerini uydu navigasyonu ile değil burada bahsedeceğim klasik usül astro-navigasyon temelinde planlarlar çünkü bu yöntemin herhangi bir düşman aldatmasından etkilenme riski yok gibidir. (Yıldızları yok edebilecek teknoloji henüz geliştirilemedi çok şükür.) Dolayısı ile mevzu günümüzün lüks çılgınlığı dünyasında eskimiş ve kullanışsız gibi gözükse de özü itibarı ile en güvenilir metoddur. Bunun yanında üzerinde düşünmesi ve uygulaması kainatın işleyişini anlamak, 3 boyutlu hayalgücü, pratik zeka, el becerisi, konsantrasyon ve hesapsal yetilerin gelişmesine fevkalade yardımcı olur. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bu konuda yazılmış sayısız kitap ve kaynak bulmak mümkündür. Gayet kapsamlı, temiz anlatımlı ve çok da uzun olmayan bir kaynağa şu andresten bedava erişilebilir: (<a href="http://www.celnav.de/astro.zip">http://www.celnav.de/astro.zip</a>)</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu blogu takip edenler bilirler ki yazdığım yazıların tamamına yakını bilinen şeyleri papağan gibi tekrar etmekten, birilerinden kopyalamaktan veya tercüme yapmaktan uzak; orjinal fikirler taşıyan şeyler. Bunu herşeyden önce kendi gelişimim açısından yapıyor ve muhakkak kendime özgü bir katkı ve yöntemi konunun üzerine eklemeye çalışıyorum. Burada da mevzu ile alakalı kaynaklarda göremediğim ve kendimce pratik olduğunu düşündüğüm bir yöntemden de bahsedeceğim. Ancak daha önce mevzuyu ilk defa gören ve ilgisini çekenler için ise temel kavramlardan bahsetmek lazım.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0NBgVyaRlmoy5t1xGCjtmQDaVWSXLPJ8gcV_AipRl7fBFE1a59lhqJnRAGkFjTudBRlQJ9tw-DS1dNw6AHfWDI8DwxmTQWnveKpnI7Yvc8UEzY9U3XSE2iRZfa3DCup4qesjP0y53X6MR/s1600/in_4.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0NBgVyaRlmoy5t1xGCjtmQDaVWSXLPJ8gcV_AipRl7fBFE1a59lhqJnRAGkFjTudBRlQJ9tw-DS1dNw6AHfWDI8DwxmTQWnveKpnI7Yvc8UEzY9U3XSE2iRZfa3DCup4qesjP0y53X6MR/s1600/in_4.gif" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
"Bir gök cisminin coğrafi konumu" kavramı ile başlayalım: Dünya yüzeyi küreye çok yakın ve "kapalı" bir yüzey olduğundan
gökyüzündeki HER cisim için HER AN dünya üzerinde öyle bir nokta vardır
ki o gök cismi oradan bakan gözlemcinin TAM TEPESİNDE yer alır. Dünya
üzerindeki bu noktaya o cismin "coğrafi konumu" (geographical position)
ismi verilir. Elbette ki bir gök cisminin coğrafi konumu cismin uzayda
nerede olduğundan nasıl hareket ettiğine bağlı olduğu gibi dünyanın
kendi ekseni etrafındaki dönüşüne de bağlıdır. İşte astronomik seyir
hesapları için herşeyden önce cisimlerin her andaki coğrafi konumlarını
bilmemiz gerekmektedir. Güneş, ay, parlak gezegenler ve parlak yıldızlar
gibi cisimlerin her saat başındaki coğrafi konumları notik almanak
denilen kitaplarda yıllık olarak yayımlanır. Aşağıda notik almanaktan
örnek bir sayfa göstertilmiştir. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7AaS6BIy01Dv6Pzx-s993YMFBwdpQTubKW_xa-DrHSkCzFH1_PxeaMVLvBeFGsvVqz-zVX4qskUJIp-MYld5tKOFfflFXvsrF0QQc8WHWhYEcWJHDSMcyu-BdWntazQ8MfhC1lkBr3TrY/s1600/Almanac.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="481" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7AaS6BIy01Dv6Pzx-s993YMFBwdpQTubKW_xa-DrHSkCzFH1_PxeaMVLvBeFGsvVqz-zVX4qskUJIp-MYld5tKOFfflFXvsrF0QQc8WHWhYEcWJHDSMcyu-BdWntazQ8MfhC1lkBr3TrY/s640/Almanac.gif" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Görüldüğü gibi sayfa 19 Ekim 2008 gününe aittir. En soldaki GMT sütunu Greenwich saatini göstermektedir. Daha sonra sağdaki sütunlar çeşitli gök cisimleri için coğrafi konumlarının koordinatlarını göstermektedir. Bu koordinatlar alışılan enlem boylamdan biraz farklı olarak isimlendirilmiştir: GHA (Greenwich hour angle) 0 meridyeninden BATIYA doğru açıyı ifade etmekte, Dec (Declination) ise enlemi göstermektedir. Görüldüğü gibi konumlar her saat başı için gösterilmiştir. Gözlemcinin ölçüm yaptığı zaman tam saat başı değilse en yakın iki saat başı arasından lineer bir ekstrapolasyon ile hesaplanabilir. Bütün bunların ince detayları kaynaklarda açıklanmıştır biz burada sadece prensibi anlatıyoruz. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Böylece bir gök cisminin belli bir andaki coğrafi konumunu bilebildiğimize göre o cismin bizim bulunduğumuz konumdan ölçülen açısal yüksekliği bizim o cismin o andaki coğrafi konumuna uzaklığımız konusunda bir bilgi verir. Aşağıdaki şekil gayet açıklayıcıdır.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3JxwpYn6kCYYC-rjY8YWExOeFsD1SgYHQaRQE5sW0YY4ROMltQCqSE6suEvd8siKfQPEKv3-W4fw5CBu3DLIRgUDPgc8a_hIac4dEjjYjxZHrxdRZCYpRYgo_hPXlD4j7Rzp8Qu03Xn2E/s1600/skl.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3JxwpYn6kCYYC-rjY8YWExOeFsD1SgYHQaRQE5sW0YY4ROMltQCqSE6suEvd8siKfQPEKv3-W4fw5CBu3DLIRgUDPgc8a_hIac4dEjjYjxZHrxdRZCYpRYgo_hPXlD4j7Rzp8Qu03Xn2E/s640/skl.png" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Yukarıdaki şekilde gözlemci yıldızı ufuktan H açısı kadar yüksekte ölçmektedir. Bu da yıldızın coğrafi konumu olan GP noktasına z = 90-H kadar bir açısal uzaklıkta olduğumuz anlamına gelmektedir. Elbette ki dünya üzerinde bu gök cismini aynı açısal yükseklikte gören sonsuz sayıda nokta vardır. Bu noktalar bir çember üzerinde yer alır. Yukarıdaki şekilde bu çember kırmızı ile gösterilmiştir. İşte aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi iki veya daha fazla gök cisminden alınan gözlemlerle çizilen çemberlerin kesiştirilmesi ile dünya üzerindeki pozisyonumuzun bulunması mümkündür. İki gözlem genelde yeterlidir, zira aşağıdaki a şeklinde iki tane kesişim noktası görünmesine rağmen genelde noktalardan biri tahmini konumumuza çok uzak bir yerde çıkacağından dolayı kolayca elenebilir. Yüksek kesinlik gerktiren durumlarda b şeklinde olduğu gibi üç cisim ölçülebilir. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6_DChzgSB2nEpiBZHt9ueyzTnCBWlhMMZhiLmDdh7O5MI2x8k4yRmoIYeqV9nFWVAQCtJPAb7hpPexU7_0efOeFFvR7Ds0dHRDweXQeyZq2S6j_uBFepQN67Iw087j-eK9NGQuU1cPqA2/s1600/pos.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="191" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6_DChzgSB2nEpiBZHt9ueyzTnCBWlhMMZhiLmDdh7O5MI2x8k4yRmoIYeqV9nFWVAQCtJPAb7hpPexU7_0efOeFFvR7Ds0dHRDweXQeyZq2S6j_uBFepQN67Iw087j-eK9NGQuU1cPqA2/s400/pos.png" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Pratikte haritalar üzerine binlerce mile varan yarıçaplı daireler çizmek pek mümkün değildir ve dolayısı ile değişik hesaplama metodları geliştirilmiştir ancak hemen hemen bütün metodların temelinde yukarıdaki mantık yatar. Biz de bu prensibi göstermek açısından bu şekillere yer verdik. <br />
<br />
Peki bu açısal yükseklik ölçümleri nasıl yapılır? Bunun için sekstant isimli basit bir optik alet kullanılır. Zekice yerleştirilmiş iki adet ayna ile gayet sofistike hale getirilmiş bir açı ölçerden başka birşey olmayan bu basit alet açıları (derecenin 1/60'ı olan) dakika hassasiyetinde ölçebilmektedir. (İnsan gözü hassasiyeti de aşağı yukarı bu kadardır.) Benim kullandığım (eşimin doğum günü hediyesi) Davis Mark 15 model plastik sekstant verniye ölçeği sayesinde 0,2 dakika hassasiyetinde ölçüm yapabilmektedir. Bir dakikalık bir farkın 1 deniz mili mesafeye karşılık geldiğini hatırlarsak açı ölçümünde fevkalade hassas davranmak gerekmektedir. Sallanan bir teknenin güvertesinde bu işi yapabilmek işin "sanat" diye nitelediğimiz boyutuna dahildir. Sekstantın çalışma prensibi ve ölçüm metodu aşağıdaki animasyonda güzel bir biçimde anlatılmıştır. </div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh-G87H9pUsE7RjprbzgvCS9PaU5hZTURbmZ8211sUAYBqzHegezp7zorlrRlyxWhIQsHe3xUI0JaCcmpaUi7iQdQaY6vx9uUcFBSxtHeKEDe9eTVDlr8JmC6Y2JIEMF_VOgBaFDP4K9MX/s1600/Using_sextant_swing.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="315" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh-G87H9pUsE7RjprbzgvCS9PaU5hZTURbmZ8211sUAYBqzHegezp7zorlrRlyxWhIQsHe3xUI0JaCcmpaUi7iQdQaY6vx9uUcFBSxtHeKEDe9eTVDlr8JmC6Y2JIEMF_VOgBaFDP4K9MX/s640/Using_sextant_swing.gif" width="640" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Sekstant ölçümlerine ölçülen cisme ve koşula göre (alet hatası, ufuk düzeltmesi, kırılma düzeltmesi, yarıçap düzeltmesi, paralax düzeltmesi) gibi bir takım düzeltmeler yapmak lazımdır. Bu düzeltme miktarları genelde notik almanaklarda yazar ve bunların hangi koşullarda gerekli olup olmadığı ve nasıl yapılacağı için daha önce verdiğimiz kaynağa bakılabilir. Ölçümlerde nelere dikkat edilmesi gerektiği aşağıdaki videoda eski bir kaptan tarafından harika bir biçimde anlatılmıştır:</div>
<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="360" src="//www.youtube.com/embed/B_uEWNPnpiY?rel=0" width="640"></iframe><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ölçüm alındıktan sonra zaman saniyesine kadar not edilir (hatta önce saniyeyi sonra dakikayı, sonra saati okumak lazımdır) ve hesaplama işlemine başlanır. Denizcilerin kullandığı birçok hesap metodu vardır. Bunlardan en popüler olanı tahmini konumdan yola çıkılarak yapılan intersept metodudur. Bu metodda benim şahsen çok fazla ısınamadığım taraf bir harita veya grafikleme kağıdı üzerinde açıölçer ve cetvel ile çalışma gerekliliğidir. Bir diğer güzel metot güneşin (veya başka bir cismin) en yüksek olduğu anı bulma prensibine dayalı meridyen geçişi metodudur. Ancak bu metodda da en tepede olduğu konumdan önce ve sonra yaklaşık 10 dakikalık bir süre boyunca gözlemler almak gerekir ve bu hem hata olasılığını arttırır hem de uzun süreli bir gözlem olduğu (ve genelde güneş gözlendiği) için yorucu olabilir. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Benim burada prensibini göstereceğim metod "iki ölçüm ile doğrudan koordinatların hesaplanması" metodudur. (Daha afili bir isim bulamadım :-) Temel hatları aşağıdaki şekildedir:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
2 farklı gökcisminden alınan (veya 1 gök cisminden aralıklı iki farklı zamanda alınan) ölçümler gerekli sekstant düzeltmeleri yapıldıktan sonra bir kenara not edilir. Ondan sonra bir kağıt üzerine aşağıdaki küresel üçgen çizilir. Üçgenin tepe noktası kuzey kutbu, diğer iki köşesi de ölçülen cisimlerin coğrafi konumlarıdır. Bunlara GP1 ve GP2 diyelim. Bu üçgenin K-GP1 ve K-GP2 kenarı ile K açısı soldaki şeklin üzerinde gösterildiği gibi almanaktan okunan değerlerle kolayca hesaplanabilir. Dolayısı ile küresel trigonometri kurallarından GP1-GP2 kenarı ile GP1 köşesindeki açı bulunur. (<a href="http://fizikkaralamalari.blogspot.com/2013/12/kuresel-trigonometri-kble-bilimi.html" target="_blank">Bir önceki yazımda bu kurallardan bahsetmiştim.</a>)</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkP-z0a-T27L9-CKBcVd6XvHQYZC0D9u7pC_WAKqjBZokd2s3D_M3Uj6tGUaOHcaPmuygtnwmsvqeEvPvpuNOSwJPe92BJhXH8pT7RV-JdzO6dFbipoSP89TjP__03RwcNjVpjDJmgkz8S/s1600/Resim11.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="307" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkP-z0a-T27L9-CKBcVd6XvHQYZC0D9u7pC_WAKqjBZokd2s3D_M3Uj6tGUaOHcaPmuygtnwmsvqeEvPvpuNOSwJPe92BJhXH8pT7RV-JdzO6dFbipoSP89TjP__03RwcNjVpjDJmgkz8S/s640/Resim11.png" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Sağdaki şekilden takip edersek bulmak istediğimiz konumumuzu X noktası ile gösterelim. Sekstant ölçümlerimizi 90 dereceye tamamlayan açılar X-GP1 ve X-GP2 kenarlarını bize verecektir. Yani X-GP1-GP2 üçgenimizin bütün kenarları bellidir dolayısı ile yine küresel trigonometri kurallarından X-GP1-GP2 açısı bulunabilir. Bu açıyı ilk bulduğumuz K-GP1-GP2 açısından çıkarır isek K-GP1-X açısı bulunmuş olur ki K-X-GP1 üçgeninin K-GP1 ve X-GP1 kenarları bilindiğinden diğer kenarları ve açıları bezer şekilde çözülebilir. Bu üçgene ait K-X kenarını 90 dereceye tamamlayan açı hemen enlemimizi verir K köşesindeki açıdan da boylamımızı kolayca bulmak mümkündür. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Yani sırası ile 3 tane üçgenin 3 elemanından diğer elemanlarını bularak konumumuzu çözmemiz mümkündür. 4-5 tane bilinmeyenin bir miktar trigonometrik ve ters trigonometrik hesapla çözülebildiği bu doğrudan yönteme dair bir iki teknik mesele var onlara değinmek lazım:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
1. Herşeyden önce (sekstant mevzusundan önceki daireli şekilden anımsayacağınız üzere) iki tane X noktası vardır ve hangisinde olduğunuzu salt bu yöntem ile bilemezsiniz. Bu noktalar GP1-GP2 kenarına göre simetriktir. Ancak (şekilde kesikli çizgilerle gösterilen) noktalardan diğeri çoğu zaman tahmini konumunuzdan çok uzakta çıkacaktır dolayısı ile bu nokta elenebilir. Bunun haricinde noktaların birbirine yakın çıkacağı bir durum hayal edilebilir. (Mesela ekinoks zamanında güneşten iki ölçüm almışsanız ve ekvatora çok yakın biryerlerde iseniz noktalar ve yönleri muhtemelen yakın çıkacaktır.) Bu durumda başka bir gök cismi denenebilir. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
2. Örnek üzerinden gider isek yukarıdaki şekilde üstteki noktayı elemiş isek X-GP1-GP2'den K-X-GP1 açısına geçmek için elbette ki çıkarmak değil toplamak gerekecektir.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
3. X noktasının konumu şekilde temsilen gösterildiği gibi K-GP1 hattının sağında yer almayabilir. Böyle bir durumu kontrol etmek için başta hesapladığımız büyük üçgenin GP1 açısını kullanabiliriz. Eğer X-GP1-GP2 açısı daha büyükse elbette büyük açıyı küçükten çıkararak devam edebilir ve yine doğru sonuca ulaşabiliriz. Burada X'in konumuna göre oluşabilecek değişik geometrik durumları hayal etmeyi okuyucuya bırakıyorum. Her halükarda yine de gök cisimlerinin kerteriz yönleri muhakkak üçgenin neresinde kaldığımıza dair doğru fikirler verecektir. Dolayısı ile uygulamada bu metod hiç de zor değildir.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
4. Bir diğer teknik mesele üçgenlerin bilinmeyen elemanlarını (özellikle açıları) çözerken daha pratik gibi duran sinüs kuralı yerine kosinüs kuralını kullanmayı şiddetle tavsiye ederim zira sinüs kuralında birbirini 180'e tamamlayan açıların sinüsleri aynı olduğundan önemli yanlışlıklara sebebiyet verirler. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
5. Aynı gök cisminden farklı zamanlarda gözlem yapılmışsa (mesela güneşten sabah ve akşam) bu zaman aralığında kendimizin de ne kadar hareket ettiğinin hesaba katılması gerekmektedir. Bu da cismin erken ölçüm saatindeki coğrafi konumu modifiye ederek yapılır. Bu nokta ikinci ölçüme kadar gittiğimiz yön ve aldığımız mesafe kadar kaydırılır. (Elbette ki bu işlem için de küçük bir üçgen çözümü gereklidir.) Hesaba kaydırılan noktanın yeni konumu ve son ölçümümüz üzerinden yukarıda anlatıldığı gibi devam edilir. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Dediğimiz gibi insan gözünün hassasiyeti 1 dakika civarındadır ve dolayısı ile ölçümler düzgün yapılmışsa bu metodla bulunabilecek konumlardaki hata payının da 1-2 mil civarında olması beklenir. Bunu GPS'in hassasiyeti ile kıyaslayıp burun kıvıranlara birbirleri ile senkronize edilmiş 24 tane atom saatini yörüngeye oturtup yerden kumanda edilerek ve yüksek teknoloji bir alıcı gerektiren işi 2 tane ayna, 1 açıölçer, 1 trigonometrik hesap makinası ve sıradan bir saat ile yapabilme yetisine burun kıvırdıklarını bilmelidirler. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Çok uzun ve kapsamlı, bir o kadar zevkli, kendi kendine öğretici ve geliştirici bir mevzuyu nispeten kısa bir yazıda özetlemeye çalıştım. İlgisini çekenler için akıllara takılabilecek teknik meselelere yorumlar kısmında cevap verebilirim. </div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-887712262385721412013-12-10T10:49:00.000-08:002013-12-10T10:49:07.383-08:00Küresel Trigonometri (Kıble Bilimi :-)<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjq7h97AYcjQ3nhXPkNYFb2Zw6XqAn0XPdiZfZXGKl3-e5Ihb13Ay8Cc68-GsoQPmdQwMLthhOrAsA0KDgQ6yLaOViT06C14pmIf9jAET8tiQH9_YN4PvPpmWmU0HUp9UVXHTvaIzpa0iFH/s1600/spherical-triangle2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjq7h97AYcjQ3nhXPkNYFb2Zw6XqAn0XPdiZfZXGKl3-e5Ihb13Ay8Cc68-GsoQPmdQwMLthhOrAsA0KDgQ6yLaOViT06C14pmIf9jAET8tiQH9_YN4PvPpmWmU0HUp9UVXHTvaIzpa0iFH/s320/spherical-triangle2.gif" width="318" /></a></div>
<br />
Elinize bir çubuk alıp yerde kumun üzerine bir üçgen çizdiğinizi varsayalım. Biri size bu üçgenin iç açıları toplamı kaç derecedir diye sorduğunda hiç düşünmeden 180 diye cevap verirsiniz muhtemelen. Ne var ki bu cevap ancak kenarları nispeten küçük olan üçgenler için doğru sonuç verir. Eğer yine aynı çubuğu dünya üzerinde aynı istikamette yürürken kilometrelerce yerde sürükleyerek devasa boyutlarda bir üçgen çizerseniz sonucun 180 dereceden fark edilebilecek kadar sapmaya başladığını görürsünüz. Çünkü üçgeni üzerine çizdiğiniz dünya düz değil küreye yakın bir şekildir. İşte bir kürenin üzerine çizilen üçgene küresel üçgen ismi verilir. Kendine özgü geometri kuralları olan bu tip üçgenlerin açı kenar bağıntıları da küresel trigonometri başlığı altında incelenir. Küresel trigonometrinin temelleri antik Yunan medeniyetinde atılmış ve esas büyük gelişmeler ortaçağ İslam medeniyetinde kaydedilmiştir. Yerküre üzerinde büyük mesafeler söz konusu olduğunda mesafe ölçümünden yön tayinlerine, seyr-ü sefer (navigasyon) hesaplarından astronomik ölçümlere kadar birçok alanda sayısız ve DOĞRUDAN uygulaması olan önemli bir mevzu olmasına rağmen nedense değil liselerde üniversitelerde bile standart müfredat içerisinde yer almaz. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
(Geçenlerde yüksek düzeyde bir devlet yetkilisi bir müslümanın bilim ile uğraşması gerektiğini söyledi ve vizyonunun büyüklüğünü gösterecek şekilde bu lafını "kıbleyi bulması gerekliliği" sebebi ile destekledi. İşte kıbleyi bulmak için gerekli olan yegane dal küresel trigonometridir. Bu da bu önemli mevzunun liselerde ve üniversitelerde okutulması için benim gerekçem olsun bari. Her zaman anlaşılacak seviyeden konuşmak lazım :-))</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Konuya geri dönecek olur isek küresel trigonometrinin kuralları standart düzlem trigonometrisini bildikten sonra hiç de karışık ve zor değildir. Hatta eğlenceli ve fevkalade yararlı bir yan uygulaması olarak görülebilir. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Temel ve önemli bir tanım ile başlarsak küre üzerindeki iki nokta arası en kısa yol o iki noktadan geçen "büyük çember" üzerinde yer alır. "Büyük çember" (great circle) tabiri teknik bir tabirdir. Büyük çember bahsedilen iki nokta ile beraber kürenin merkezinin tanımladığı düzlemin küre ile kesişimi olan çemberdir. Yani bir büyük çemberin merkezi aynı zamanda kürenin merkezidir. Küre üzerinde verilen iki noktadan yalnızca bir büyük çember geçer. İşte bir küresel üçgenin kenarları büyük çemberler üzerinde yer alır. (Bu şart şeklin "küresel üçgen" olması için tanımın getirdiği bir GEREK şarttır. Önemli bir nokta bu.)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En üstteki şekilde görüldüğü gibi küresel üçgenin de düzlemsel üçgenler gibi 3 kenarı ve 3 açısı vardır. Şekilde kenarlar küçük harflerle açılar büyük harflerle gösterilmiştir. Buradaki açılar kenarların üzerinde yer aldığı büyük çember düzlemlerinin birbirleri ile yaptığı ikidüzlemli (dihedral) açılardır. Kafa karıştırmamak için bu açının küre üzerinde üçgenin köşesinde duran bir kişinin pratikte iki doğrultu arasında ölçtüğü açı ile aynı olduğunu söyleyelim. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Kenarlar ise büyük çemberler üzerindeki yay mesafeleridir. Ancak kürenin yarıçapının 1 birim olduğu bir durumda bu kenarlar da elbette ki içinde bulundukları büyük çemberin merkezinin gördüğü açılara eşittir (Radyan cinsinden). Küresel trigonometride aşağıda vereceğimiz bütün kenar-açı bağıntıları birim kürenin üzerine çizilmiş üçgenler için geçerlidir. Yani kısaca söyleyecek olursak kenarlar da açı cinsinden ölçülür. İlla mesafe bilinmek isteniyorsa bu değerlerin kürenin yarıçapı ile çarpılması lazımdır. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Üç elemanı (üç kenar; iki kenar bir açı; iki açı bir kenar veya üç açısı) belli olan bir küresel üçgenin diğer elemanları aşağıdaki bağıntılar yardımı ile bulunabilir. Bu kuraların ispatı günümüz matematiğinde vektörlerle kolayca yapılabileceği gibi klasik geometrik metotları ile de ispatları mümkündür. (<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_law_of_cosines">http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_law_of_cosines</a>)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
b,c kenarı ve A açısı bilinen üçgenin üçüncü kenarı aşağıdaki formülle bulunabilir. Buna küresel üçgen için kosinüs kuralı denir. (Her kenar için ayrı formül yazmaya gerek yok zira seçilen a kenarının diğerlerinden hiçbir farkı yok.)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ccos&space;a=%5Ccos&space;b%5Ccos&space;c&plus;%5Csin&space;b%5Csin&space;c%5Ccos&space;A" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos&space;a=%5Ccos&space;b%5Ccos&space;c&plus;%5Csin&space;b%5Csin&space;c%5Ccos&space;A" title="\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bu formülden cos A çekilirse üç kenarı bilinen üçgenin açılarını bulmak için de kullanılabilir. Bunun haricinde yararlı olan bir diğer pratik bağıntı da küresel üçgenin sinüs kuralıdır.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Csin&space;a%7D%7B%5Csin&space;A%7D=%5Cfrac%7B%5Csin&space;b%7D%7B%5Csin&space;B%7D=%5Cfrac%7B%5Csin&space;c%7D%7B%5Csin&space;C%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Csin&space;a%7D%7B%5Csin&space;A%7D=%5Cfrac%7B%5Csin&space;b%7D%7B%5Csin&space;B%7D=%5Cfrac%7B%5Csin&space;c%7D%7B%5Csin&space;C%7D" title="\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}" /></a>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Pratik hesapları yapmak için başka da pek birşey bilmek gerekli değildir. Şimdi bütün bunları bir örnek üzerinde görelim. Seçtiğimiz örnek devlet büyüğümüzü doğrulayacak şekilde elbette ki kıble istikametini bulmak. Kıblesini aradığımız konum İstanbul olsun: </div>
<br />
İstanbul: <br />
Boylam: 29 derece Doğu<br />
Enlem: 41 derece Kuzey<br />
<br />
Mekke: <br />
Boylam: 39 derece 49 dakika Doğu (39,82 derece ondalık olarak)<br />
Enlem: 21 derece 25 dakika Kuzey (21,42 derece)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7xzeoBUe6OSZqKvlv9W0oyvx0e4r4Av9JYsm8XlOSTFoBM2KtC7772lg_S8rkV4kR3ADWdpKTlzE6GB95aE2D31YTPp-7Mt1YAp61q9s0J3KKpE1dw0kFxNPNgghhj9WkH6bIiD489fK3/s1600/Resim3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7xzeoBUe6OSZqKvlv9W0oyvx0e4r4Av9JYsm8XlOSTFoBM2KtC7772lg_S8rkV4kR3ADWdpKTlzE6GB95aE2D31YTPp-7Mt1YAp61q9s0J3KKpE1dw0kFxNPNgghhj9WkH6bIiD489fK3/s320/Resim3.png" width="296" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Küresel üçgenimizin A köşesi İstanbul, B köşesi Mekke, K köşesi ise Kuzey Kutbu olsun. Mesafeleri birim küre üzerinde yaptığım gibi açısal olarak ifade edersek yukarıdaki formülleri rahatça kullanabiliriz. </div>
<br />
Üçgenin AK kenarı İstanbul'un enleminden bulunur: 90 - 41 = 49 derece<br />
Üçgenin BK kenarı Mekke'nin enleminden bulunur: 90 - 21,42 = 68,58 derece<br />
Tepe açısı AKB ise A ile B'nin boylamları arasındaki farktır: 39,82-29 = 10,82 derece<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Yani iki kenar bir açı biliyoruz. Bize lazım olan açı KAB açısı yani İstanbul'dan bakıldığında Mekke'nin kuzey istikameti ile yaptığı açı. Bunun için önce AB mesafesini bulmalıyız. Kosinüs formülünden:</div>
cos AB = cos(49).cos(68,58) + sin(49).sin(68,68).cos(10,82) = 0,92968<br />
AB kenarı = 21,614 derecedir. (İlla gerçek mesafeyi merak ediyorsanız pratik bir yöntem bunu 60 ile çarpmaktır zira dünya yarıçapında bir kürede bir derece 60 deniz miline tekabül eder. Deniz milinin tanımı zaten böyle yapılır: Enlemler arasındaki 1 dakikalık yay mesafesi)<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bütün bilim ihtiyacımızın temel motivasyonu ve bize esas lazım olan KAB açısı ise sinüs veya kosinüs kuralından bulunabilir. Birbirlerini 180 dereceye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğu için sinüs kuralı kullanılacaksa dikkatli olunmalıdır. Biz bu tartışmaya girmemek için az daha çetrefilli olan kosinüs kuralından gidelim:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\cos(KAB)=\frac{cos(68,58)-cos(49)cos(21,61)}{sin(49)sin(21,61)}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\cos(KAB)=\frac{cos(68,58)-cos(49)cos(21,61)}{sin(49)sin(21,61)}" title="\cos(KAB)=\frac{cos(68,58)-cos(49)cos(21,61)}{sin(49)sin(21,61)}" /> </a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
İşlem yapılıp sonucun ters kosinüsü alınırsa KAB açısı: 151,7 derece olarak bulunur. Yani Kuzeyden Doğuya doğru 151 derece dönmek veya Güneyden Doğuya doğru 28,3 derece dönmek gerekecektir.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
İlmin bu kadarı bize yeter diyen buyurup bu formülleri kullanabilir. İşin şakası bir yana esas üzerinde yazmak istediğim konu olan ve denizcilerin şimdilerde GPS sayesinde unutulmaya yüz tutmuş "sanatlarından" astronomik seyir ile alakalı bir yazı yazmak istiyorum. Bu yazı onun girizgahı idi...</div>
<br />Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-27255362872921982902013-12-07T13:39:00.000-08:002013-12-07T13:39:37.472-08:00Görüş mesafesi üzerine<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPd16wLQxJ8YNJ6gomGN7duwu1a6Yewii1d8D4oXy3ABI4BRFVinK-Q2VCjoBm2TgGkhB5NLX9wYI47b3MgGaBUJbIyX5OoqoFBrYCWt_BNV28IJD0DRiMLJbcMW1n8J_u13bnEdt0xvDi/s1600/Ads%C4%B1z.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="513" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPd16wLQxJ8YNJ6gomGN7duwu1a6Yewii1d8D4oXy3ABI4BRFVinK-Q2VCjoBm2TgGkhB5NLX9wYI47b3MgGaBUJbIyX5OoqoFBrYCWt_BNV28IJD0DRiMLJbcMW1n8J_u13bnEdt0xvDi/s640/Ads%C4%B1z.png" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Çocukluğumun ve gençliğimin geçtiği (ve hala da ikamet ettiğim) Moda'da belki 1000'lerce defa yürüdüğüm Şair Nefi Sokak'ın ucundaki yokuşun sonundan ileri doğru baktığınızda manzaranız genelde aynıdır. Bütün güzelliği ile Kalamış koyu, Fenerbahçe ve Kalamış Marinaları, tatlı tatlı seyreden birkaç yelkenli tekne ve arka planda soldan sağa Burgazada, Kınalıada daha uzakta (yukarıdaki şekilde çizginin aralarından geçtiği iki minik ada olan) Yassıada ve Sivriada ve daha da arka planda değişik tonları ile hep mavilik. Ama bazı günler bu manzarayı gayet dramatik şekilde değiştiren birşeye şahit oluyorum. En arka plandaki mavilik yerini kimi zaman silüet olarak kimi zaman ise "CAM GİBİ NET" dağlara ve yeryüzü şekillerine bırakıyor. İşte bugün öyle cam gibi günlerden biri idi... Görüşün seyir araçları için "iyi" olarak nitelendiği günlerin çoğunda bu hadise olmuyor. Dolayısı ile bu özel görüş koşuluna başka bir isim koysalar keşke: "Süper, harika, mucizevi, muhteşem!" gibi kelimeler mesela... Anlatmakla olmuyor çünkü göstermem lazım ama maalesef bugün bir yere yetişmem gerekiyordu ve fotoğraf makinem yanımda değildi. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Yukarıdaki harita parçasından görülebileceği üzere bahsettiğim; gayet güzel detaylarla görülebilen arka plan yeryüzü şekilleri Armutlu yarımadasına ait. Google Earth'ün şekildeki sarı çizgide ölçtüğü mesafe tam olarak 48 km! Bugün hazır hal böyle iken acaba 60 km'deki İmralı'yı da görebilirmiyim diye biraz daha sağa kaydırdım gözlerimi. Hayal meyal bir "bulut kümelenmesi" gibi birşey seçebildim ufuk üzerinde ama net birşey göremedim. (Sonradan baktım adanın en yüksek yeri 230 metre ve kırılmayı da hesaba katan "ufuk mesafesi" formülü deniz seviyesinden bakan biri için 58 km'yi sınır olarak söylüyor. Gerçi ben bi 20-30 metre yukardan bakıyorum ama yine de fazla iyimser gibi geldi ilk sezgi olarak, yine de bakmaya devam edeceğim :-)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bu fenomenin fiziği nedir diye insan merak ediyor tabii. Biraz araştırınca herşeyin gelip tek bir katsayı ile ifade edilebildiğini gördüm. "Sönüm katsayısı" (extinction coefficient) olarak isimlendirilen bu katsayı havadaki seyreden ışığın insan gözü için yeteli kontrastı oluşturabilmesi kriterinin altına düştüğü mesafeyi belirliyor. Bu katsayının türetildiği ana mekanizma çoklu saçılma. Bu da doğrudan havada asılı duran partiküllerle, nemle, basınçla, sıcaklıkla hemen hemen herşeyle ilişkili birşey. Uygun koşullar açısından "tertemiz" bir havanız olduğunu varsayarsak sadece ve sadece Rayleigh saçılması (o da olmazsa gökyüzü mavi olmaz zaten) altında "TEORİK" olarak 296 km gibi muazzam bir mesafeyi görmek mümkünmüş. (<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Visibility">http://en.wikipedia.org/wiki/Visibility</a>) Burada elbette optik olarak dümdüz bir hattan bahsediliyor. Cisimlerin ufkun arkasında kalması ise geometrik bir kısıtlama ve daha önceki bir yazıda değinmiştim onun hesabına.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sonuç olarak baktığım istikametin tam zıt istikametinde yer alanlar da bu işte bir etken gibi zira dev bir şehirde yaşıyorum ve hava kirliliği elbette sönüm katsayısını aşırı derecede etkileyen faktörlerden bir tanesi. Zaten genelde yağmur yağdıktan sonra hava toparlamaya başlarken ve genelde de soğuk günlerde bu güzel görüntüler ortaya çıkıyor. Yağmur olması havada asılı partikülleri indirmesi açısından soğuk olması ise moleküler seviyede saçılma merkezlerini "sakinleştirmesi" açısından bir anlam ifade edebilir. Sonuç olarak uygun rüzgar ve atmosfer koşulları birleştiğinde yokuştan inerken günüm bu şekilde güzelleşebiliyor aniden. Hiç formül kullanmadığım biraz da romantik bir yazı oldu... :-))</div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-79930168969688629452013-01-01T09:16:00.000-08:002013-01-01T09:16:14.823-08:00Piyango biletinin istatistiksel değeri<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZdDtpu9clEfB5Fdd4kyMWWX5n_94E6Dx-bkE0_oITE-S3skQdS9GLtVJhi40cxDNmElJ_UNkvK4PBEm7_cvRAxKOgFp3OESZC8vDvevV9woVX4eUukI7MKVN4U2YWE09RRo0QhTB1_NDE/s1600/milli-piyango--25.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="223" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZdDtpu9clEfB5Fdd4kyMWWX5n_94E6Dx-bkE0_oITE-S3skQdS9GLtVJhi40cxDNmElJ_UNkvK4PBEm7_cvRAxKOgFp3OESZC8vDvevV9woVX4eUukI7MKVN4U2YWE09RRo0QhTB1_NDE/s400/milli-piyango--25.jpg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Birkaç senedir her yılbaşı ertesi can sıkıntısından olsa gerek tam sonuç listesine bakarak bu hesabı yapıyorum. Bu senekinin detaylarını buraya yazıyorum: </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
[ Verilen ödül x ödülden kaç tane verildiği x ödülün çıkma ihtimali ] çarpımını her ödül için ayrı ayrı yapıp topladığımız zaman bir tam biletin istatisiksel değerini hesaplamış oluruz. </div>
<br />
45.000.000 x 1 x (1/10^7) = 4,5<br />
5.000.000 x 1 x (1/10^7) = 0,5<br />
2.000.000 x 1 x (1/10^7) = 0,2<br />
1.000.000 x 1 x (1/10^7) = 0,1<br />
500.000 x 5 x (1/10^7) = 0,25<br />
200.000 x 10 x (1/10^7) = 0,2<br />
100.000 x 20 x (1/10^7) = 0,2<br />
50.000 x 30 x (1/10^7) = 0,15<br />
10.000 x 50 x (1/10^7) = 0,05<br />
5.000 x 100 x (1/10^7) = 0,05<br />
2.000 x 200 x (1/10^7) = 0,04<br />
1.000 x 300 x (1/10^7) = 0,01<br />
500 x 400 x (1/10^7) = 0,02<br />
350 x 100 x (1/10^6) = 0,035 (SON ALTI RAKAMINA GÖRE)<br />
250 x 80 x (1/10^5) = 0,2 (SON BEŞ RAKAMINA GÖRE)<br />
150 x 40 x (1/10^4) = 0,6 (SON DÖRT RAKAMINA GÖRE)<br />
120 x 20 x (1/10^3) = 2,4 (SON ÜÇ RAKAMINA GÖRE)<br />
80 x 8 x (1/10^2) = 6,4 (SON İKİ RAKAMINA GÖRE)<br />
40 x 2 x (1/10^1) = 8 (AMORTİ)<br />
45000 x 63 x (1/10^7) = 0,2835 (TESELLİ :-)))<br />
<br />
+<br />
----------------------------------------<br />
24 lira 19 kuruş<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu tam biletin istatistiksel değeri idi. Bu sene tam biletler 40 liradan satıldı. Dolayısı ile tam bilet alanların ortalamada 16 lira civarı zarar ettiği düşünülebilir. Çeyrek için ise herşeyi dörde bölmek gerekiyor. Dolayısı ile biletin değeri 6 lira 5 kuruş civarı oluyor. 10 liradan satılan bu bileti alanlardan da Milli Piyango idaresi ortalama olarak 4'er lira toplamış oluyor. Karlı iş :-)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ne yalan söyleyeyim biletin istatistiksel değeri tahmin ettiğimden çok yüksek çıktı, sanki geçen seneki yılbaşı piyangosunda bunun yarısı kadar hesaplamıştım ama emin değilim. </div>
<br />
Herkese iyi seneler diliyorum. :-))Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-15500530478515890642012-12-31T04:07:00.000-08:002012-12-31T04:07:14.158-08:00Mermi hızını ölçmek için basit bir yöntem<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiIU3cFWE-ts2TPM7KEIVSVchV138L0jeK6FOQ2ZxNMPCAQ6IKODxwiwVdhxq8oX5epwaKKsGd8N48PNOY8wQO6jKLnEerm6tGuRqtCA-vuELZ9pO7uLYQHOHR-mpix-mW_faARsMI1myY/s1600/1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="291" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiIU3cFWE-ts2TPM7KEIVSVchV138L0jeK6FOQ2ZxNMPCAQ6IKODxwiwVdhxq8oX5epwaKKsGd8N48PNOY8wQO6jKLnEerm6tGuRqtCA-vuELZ9pO7uLYQHOHR-mpix-mW_faARsMI1myY/s400/1.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY7MPBRZ9eFra9G1yzCB7PhtO7_mETpS5CoGGzXftEqNtx-UycsGUHe2Nepp5pIog_17CO9uAI129-CP2DaPu-Afb3zs8jem2Ul4n2GMZXBKHP3LFFklYqKR_U3FQpMGuD45Gh9dwG96Vr/s1600/1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Bundan yaklaşık 4-5 ay önce okçuluk ile ilgilenmeye başladım. Çok uzun zamandır içimde olan bir şeydi; bir sabah uyandım ve gidip kendime bi yay aldım, bir süre kendi kendime okuyarak (!) uğraşmaya çalıştım sonra da bir kulüp buldum, neyse işte gayet severek yaptığım, stres atmak için çok güzel bir spor...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Okun yayı hangi hızla terk ettiği üzerine düşünürken aklıma ilk olarak en "teorik" yaklaşım geldi. Yayda depolanan enerjiyi hesaplamak. Çekme mesafesine karşı çekme kuvvetini ölçtüğümde arada neredeyse lineer bir bağıntı olduğunu gördüm. (Okuduğuma göre "recurve" denilen klasik yaylarda durum her zaman böyleymiş.) Kuvvet-çekme mesafesi grafiğinin altında kalan alan yayda depolanan enerjiyi vereceğinden dolayı bu enerjiyi okun kinetik enerjisi ile eşitlemek ve buradan okun hızını çekmek mümkündür. Ancak burada depolanan enerjinin tamamının oka transfer edildiğini varsayıyoruz ki çok da gerçekçi bir varsayım değil. Yine okuduğuma göre enerjinin %80'i oka transfer edilebiliyormuş. Çok büyük ihtimalle ölçerek elde edilmiş bu rakamı teorik olarak doğrulamak için aklıma bir metot gelmediğinden bu yaklaşımı bir kenara bırakıyorum. Ayrıca çekme mesafesini ve kuvvetini ölçmek için en az iki kişi ve ekstra aparatlar gerekiyor. Çok daha basit bir yol geldi aklıma. Aşağıda anlatacağım bu metot elbette ki tüfek, sapan veya herhangi bir fırlatıcı için de kullanılabilir.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Öncelikle az çok tecrübeli bir okçu gereklidir. Bununla kastettiğim şey herhangi bir mesafeden 3-4 kere aynı noktaya (veya birbirine çok yakın noktalara) tutarlı atış yapabilen bir okçudur. (Başlangıç seviyesinde isabetli atmaktan çok aynı noktaya atabilmek önemlidir.) </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Yöntem kısaca şöyle: 10 metre gibi kısa bir mesafeden hedefinize nişan alıyorsunuz ve 3-4 atış yapıyorsunuz. Hedefe gidip bu atışların vurduğu ortalama "bölgeyi" işaretliyorsunuz ve oklarınızı topluyorsunuz. Sonra daha uzak bir mesafeye gidiyorsunuz, mesela 20 metre! Normalde geri gittiğiniz için nişangahınızı birazcık aşağı çekmeniz gerekir. (Bu sayede daha yukarı nişan almış olur ve aynı noktaya atabilirsiniz.) AMA BUNU YAPMIYORUZ. Nişangahı hiç DEĞİŞTİRMEDEN yine 10 metreden nişan aldığınız yere nişan alıyorsunuz ve 3-4 atış daha yapıyorsunuz. Elbette ki oklarınız 10 metreden attıklarınızın daha aşağısına isabet ediyor. Bu atışların da vurduğu ortalama bölgeyi işaretliyorsunuz. Bir cetvel yardımı ile iki bölgenin orta noktası arasındaki farkı ölçüyorsunuz. Bu kadar!</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAPxE0zQBzLkpDlguz5X5SxvwvNEN7jo4gqhSxYl9fltG_irp5I83BvtuxtNxRTYSv_yiSNcdIcH9mtr5tzbb3p2e8eXdXaRlwsfNiIj2UBhkfiDPyYaZyAQ05YYAC-osE6N63sCTylER_/s1600/ok1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="219" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAPxE0zQBzLkpDlguz5X5SxvwvNEN7jo4gqhSxYl9fltG_irp5I83BvtuxtNxRTYSv_yiSNcdIcH9mtr5tzbb3p2e8eXdXaRlwsfNiIj2UBhkfiDPyYaZyAQ05YYAC-osE6N63sCTylER_/s640/ok1.png" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Şimdi hesap zamanı: Tartışmayı genel tutmak için ilk attığımız mesafeye <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_1" title="x_1" /></a> ikinci mesafeye <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_2" title="x_2" /></a> diyelim. Ok ilk mesafeden atıldığında dikeyde <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=h_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?h_1" title="h_1" /></a> kadar irtifa kaybederken ikinci mesafeden atıldığında <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=h_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?h_2" title="h_2" /></a> kadar irtifa kaybeder. Bizim metodumuzda ölçtüğümüz mesafe <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=h_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?h_2" title="h_2" /></a> ve <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=h_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?h_1" title="h_1" /></a>'in farkı olan <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=h" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?h" title="h" /></a>'dir.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpyDmD8nr_JdfolkSVBmxwiQ96DdOkBYbFZxQwUX8mHfWLuU0NAy38z0kSEonmowDYOFPiMKnibbPvtGkNqWZJHj83FyIgsi3cYL5s_ozP3bgVKIUIYPRWiM4wxPj9PqFmBbq0FQjxVPqU/s1600/ok2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="252" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpyDmD8nr_JdfolkSVBmxwiQ96DdOkBYbFZxQwUX8mHfWLuU0NAy38z0kSEonmowDYOFPiMKnibbPvtGkNqWZJHj83FyIgsi3cYL5s_ozP3bgVKIUIYPRWiM4wxPj9PqFmBbq0FQjxVPqU/s640/ok2.png" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Eğer okun yatay olarak atıldığını varsayarsak h1 ve h2 okun uçuş zamanı cinsinden kolayca hesaplayabiliriz.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=h_1%20=%20gt_1%5E2/2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?h_1%20=%20gt_1%5E2/2" title="h_1 = gt_1^2/2" /></a> <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=h_2%20=%20gt_2%5E2/2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?h_2%20=%20gt_2%5E2/2" title="h_2 = gt_2^2/2" /></a> <br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Uçuş zamanları ise okun bulmak istediğimiz hızı olan v ve attığımız mesafeler cinsinden hesaplanabilir.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=t_1%20=%20x_1/v" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?t_1%20=%20x_1/v" title="t_1 = x_1/v" /></a> <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=t_2%20=%20x_2/v" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?t_2%20=%20x_2/v" title="t_2 = x_2/v" /></a> <br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu zamanları h1 ve h2 denklemlerinde yerine koyar ve taraf tarafa çıkarırsak ölçtüğümüz h mesafesi, bildiğimiz x1 ve x2 mesafesi ve yerçekimi ivmesi cinsinden hız için aşağıdaki ifadeyi türetmiş oluruz.</div>
<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=v%20=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bg%5Cleft%20%28%20x_2%5E2-x_1%5E2%20%5Cright%20%29%7D%7B2h%7D%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?v%20=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bg%5Cleft%20%28%20x_2%5E2-x_1%5E2%20%5Cright%20%29%7D%7B2h%7D%7D" title="v = \sqrt{\frac{g\left ( x_2^2-x_1^2 \right )}{2h}}" /></a>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Yazıyı dikkatli olarak okuyanlar bir takım varsayımlar yaptığımızı farkedebilirler. Şimdi bunları tarışalım:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
1. Okçunun "hatasız" atışlar yaptığını dolayısı ile atışların hep aynı hızda olduğunu ve çok yakın noktalara düştüğünü varsaydık. Bundan emin olabilmek için tek atış değil bir grup atış kullanıp ortalamasını alıyoruz zaten. Burada teorik açıdan tartışacak fazla birşey yok, kontrollü deneyin ön şartı bu ve deneyi yapanı ilgilendiren bir problem... :-)) Ateşli silahlarda bu şartı sağlamak okçuluktan çok daha kolay. Profesyonel okçular kirişin her zaman aynı miktarda çekildiğinden emin olmak için "clicker" diye bi metal parçası kullanırlar ve ancak onun sesini duyduklarında kirişi (ipi) bırakırlar. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
2. Okun yatay olarak fırlatıldığını varsaydık: Ok ilk başta yatay ile açılı duruyorsa (ki genelde öyledir) zaman için kullandığımız denklemlerin sonuçları bir miktar değişecektir. Hızı gerçek değerinden daha DÜŞÜK ölçmüş oluruz. Ancak çok uzak mesafeler yerine nispeten yakındaki mesafeler ile çalışmak bu problemi hafifletir. Ayrıca hedef olarak seçtiğimiz noktanın yeri de yukarı veya aşağı ayarlanarak bu bir problem olmaktan çıkarılabilir. Bu şekilde yakın atışımızda yere paralellik şartını sağladığımızı varsayalım ancak herşey yine de çözülmüş olmaz. Çünkü:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
3. Nişan aldığımız noktanın okun atış anında baktığı nokta olduğunu varsaydık. Okun yönü ile göz-nişangah yönü arasında belli bir açı vardır. Bu ne gibi bir problem yaratabilir diye düşünürsek geri gittiğinizde aynı noktaya "nişan alırken" okun baktığı yönü değiştirmiş olursunuz. Eğer 2. maddeye göre oku paralel tutmak için ayarlamışsanız bu değişim yukarı yönde olur yani h olması gerektiğinden daha düşük ölçülmüş olur ve bu da formülümüze göre hızın olması gerektiğinden YÜKSEK hesaplanmasına yol açar. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
4. Hava sürtünmesinin oku yavaşlatacağını hesaba katmadık. Sürtünmenin uzaktan yapılan atışa etkisi daha büyüktür ve h'nin artmasına dolayısı ile ortalama hızı merak etseniz bile olduğundan daha DÜŞÜK ölçülmesine sebebiyet verir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Daha düşük ve daha yüksek olabilen bu hataların bir kısmının birbirini götüreceği açıktır ve bu durum modelimizin lehinedir. Daha detaylı bir analize girmeden son durumun çok da fena olmadığını kendi tecrübeme dayanarak söyleyip bitirebilirim:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
10 metreden yaptığım atışlardan sonra 18 metreye gittiğimde nişangahı ayarlamazsam yaklaşık olarak 30 - 40 cm kadar aşağı düştüğünü görüyorum. Bu durumda bu 3 rakamı formülümüzde yerine koyarsak okun hızı için 200 km/saat gibi bir değer çıkıyor ki yüksek hassasiyetli metotlarla ölçülmüş değerlerle karşılaştırıldığında en azından beni tatmin ediyor. :-))</div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-90514947542339074182012-11-22T12:12:00.000-08:002012-11-25T11:01:20.056-08:00Fizik Teorilerine Aksiyomatik Yaklaşım<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifZlSrFMhOmd6xB7Rcoa_xzH1JlAR3fDm1fKjtrRgpZo57pIhdVpHUrxpEZHX1ZfHuiA-bSJP9cpANw7SZps-baG_cH_xkjjzN8DffBwmkXeRnIZ84Yl2ZrPa_3TftSeLbn2CeN8ttbRlF/s1600/hilbert_weyl_neumann.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="165" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifZlSrFMhOmd6xB7Rcoa_xzH1JlAR3fDm1fKjtrRgpZo57pIhdVpHUrxpEZHX1ZfHuiA-bSJP9cpANw7SZps-baG_cH_xkjjzN8DffBwmkXeRnIZ84Yl2ZrPa_3TftSeLbn2CeN8ttbRlF/s400/hilbert_weyl_neumann.png" width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Fiziği anlamak, öğretmek ve (özellikle) öğrenmekle ilgili olarak fevkalade önemli gördüğüm bu mesele hakkında uzun zamandır bir yazı yazmak istiyordum. Ancak mevzuya verdiğim önemden dolayı daha iyi nasıl yazılır diye düşüne düşüne yazmanın zorlaştığını hissettiğimden iyi-kötü bir şekilde başlayayım dedim; eksikleri kusurları yolda düzeltiriz umarım.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Pozitif bilimler çerçevesi içerisinde düşünüldüğünde fizik teorileri tabiatın en TEMEL tasvirlerini temsil etmektedirler. Bu cümleyi açmak gerekirse günümüz bilimsel metodunun neredeyse değişmez bir ilkesi haline gelen ve "<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Reductionism" target="_blank">indirgemecilik</a>" diye isimlendirilen yaklaşım, bir bütünü anlamak için parçaları anlamanın gerekli ve yeterli olduğunu söylemektedir. İşte bu bağlamda maddenin ve enerjinin en küçük, en hafif, en temel yapı taşlarını inceleyen; dahası yine maddenin ve enerjinin -atomdan galaksiye- her ölçekte etkileşiminin en TEMEL kaidelerini konu edinmiş olan fiziğin indirgemecilik çerçevesinden diğer dallarla ilişkisi aşağıdaki şema ile gösterilir.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMUcMWWQimKRv2ln_pWmPTmPjXxR_kSFNKXBLZ4I2mo9v11B99yKVCNZNheX9wJ41hYjshrATrEaFTs-_VlNdZhOGYlcJmKqESG4fXFVdW-wZW1TdMofCrbJyV7ybs5C0sE0jUpMYfEaDh/s1600/teoriler.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMUcMWWQimKRv2ln_pWmPTmPjXxR_kSFNKXBLZ4I2mo9v11B99yKVCNZNheX9wJ41hYjshrATrEaFTs-_VlNdZhOGYlcJmKqESG4fXFVdW-wZW1TdMofCrbJyV7ybs5C0sE0jUpMYfEaDh/s640/teoriler.png" width="504" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Böyle bir gösterim her ne kadar fizikçilerin hoşuna gitse de her bir kutu arasındaki okların (ters yönde) ifade ettiği indirgemeyi pratikte gerçekleştirmek (eğer imkansız değilse bile) hiç kolay değildir ve dolayısı ile her bilim dalının kendine ait bir metodolojisi gelişmiştir. Bu noktayı bir kenara bırakıp olaya vurgulamak istediğimiz çerçeveden bakacak olursak şemayı alttan yukarı doğru okumaya başladığımızda sosyal bilimlerin fen bilimlerinin değişik dallarına, fen bilimlerinin bu dallarının da eninde sonunda fiziğin ilgili bir dalına "prensipte" indirgenebileceği anlatılmaktadır. Şemada daha da yukarı gidildiğinde ise fizik "dallarının" yerini fizik teorilerine bıraktığını görürüz. Dolayısı ile "Fizik teorileri tabiatın en temel tasviridir" cümlesinde kast edilen şey açıklığa kavuşmuş olur. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Peki, en temel seviyedeki bir fizik teorisi NEDİR? Nasıl oluşur? Kendi içerisindeki yapısı nasıldır? İşte bu yazının konusu bu sorularla alakalı. Bu yazıda esas vurgulamak istediğim şey şemanın en yukarılarında yer alan izafiyet teorisi, kuantum teorisi gibi temel fizik teorilerinin kendilerinin de esasında bir elin parmağını geçmeyecek VARSAYIMLAR (postülatlar) üzerine kurulmuş olduğudur. (Bu önemli noktaya hemen döneceğiz.)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
İzafiyet teorisine veya kuantum teorisine sadece kulak dolgunluğu olanlara (ki üzülerek birtakım "uzmanları" da buna dahil etmek zorundayım) izafiyet teorisinden bahset denildiğinde ışık hızının aşılamazlığı, madde-enerji denkliği, zamanın izafi oluşu (hatta zaman yolculuğu), vs. gibi kafalarda uçuşan fakat ayağı yere basmamış bilgi öbeklerini görürsünüz. Kuantum teorisine gelince iş daha traji-komik bir hal almaktadır. Bu teorinin doğayı kendine özgü "sıradışı" tasvirinden kaynaklanan özellikleri burada saymanın abesle iştigal olacağı kadar farklı şekillerde yorumlanmakta ve bir takım tuhaf mistik öğretilere bile temel teşkil edilmeye çalışılmaktadır. (Kuantum bilgi kuramında önemli uzmanlardan biri olan Vlatko Vedral'ın bir kitabını kitapçıda "sıradışı öğretiler" kısmında bir çok "kuantumlu" emsallerinin(!) yanında bulabilmiştim!)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Fizikçi olsun veya olmasın bu mevzuları ciddi olarak öğrenmek isteyen birinin herşeyden önce aşması gereken bu bilgi kirliliği ve "popülizm" duvarı zaman zaman mevzunun kendisinden çok daha büyük bir zorluk teşkil etmektedir. İtiraf etmeliyim ki bu duvarın örülmesinde fizikçilerin ve ciddi ders kitaplarının da sorumluluğu vardır. İzafiyet, kuantum gibi temel fizik teorilerinin anlatıldığı ders kitaplarında yazarlar benim tespit edebildiğim kadarı ile genel olarak 4 farklı metod ile konuya yaklaşır, bunlara kısaca değinip benim fikrimce en iyisi olan 4. metot üzerinden devam etmek istiyorum.(ANA FİKİRDEN KOPMAMAK İÇİN DOĞRUDAN DÖRDÜNCÜ MADDEYE ATLAYABİLİRSİNİZ)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
1. TARİHSEL METOT: Bu metot ilk bakışta en pedagojik ve akla yatkın gibi görünen metottur. Anlatılan fiziksel teorinin tarih içerisinde kimler tarafından hangi yollardan hangi fikirsel süreçlerden geçerek, nasıl geliştiği, hangi deneyler ve karşıt fikirlerce sınandığı ve ne gibi sonuçlar doğurduğu öğretilmekle işe başlanır. Dediğim gibi başta gayet akla yatkın ve tutarlı gelse de insanların ömürlerini harcadıkları çalışmaların her detayı bir derste veya birkaç sayfada yeterince anlatılamamakta, arada ciddi fikir boşlukları oluşmakta, karşıt fikirler yeterince söylenmemekte, gerçek bir sorgulamadan ziyade kuru bir bilgi yığını olarak kalmakta ve dolayısı ile tesiri kağıt üzerinde göründüğü kadar iyi olmamaktadır. Zaten bütün bu detayları anlatırsanız ders fizik değil tarih dersine döner. Maksat teorinin kendisini öğrenmektir, nasıl geliştiği elbette çok güzel ancak ikincil bir sorudur.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
2. FORMAL METOT: Richard Feynman'ın deyimi ile fiziğin EN KOLAY dili "maalesef" matematiktir. Bu metotta önce fiziksel teoride kullanılacak matematiksel yöntemler anlatılmaya başlanır. Bu yöntemleri anlamak ve uzmanlaşmak zaman gerektirir. Ondan sonra teorinin kolay bir şekilde akacağı ümit edilir. Ne var ki bilim adamları da dahil olmak üzere salt soyut matematikten zevk alan çok az sayıda kişi vardır ve bu metotun sıkıcı ve donuk kalma tehlikesi her zaman mevcuttur (ve çoğunlukla da öyle olur). Benim şahsi düşüncem gerekli matematiğin ancak "yeri geldiğinde ve yerinde" (evet gerekirse birkaç derslik kocaman bir parantez açılarak ve her aşamada ana konuya atıfta bulunularak ve fizikten asla kopmayarak) anlatılması gerektiğidir. Kendi derslerimde her zaman bu yöntemi kullandım ve en azından formal metot kadar sıkıcı olmadığını söyleyebilirim. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
3. KAVRAMSAL METOT: Bu harika bir metottur! Feynman, Sakurai gibi büyük ustalar genelde bu metotla öğretmişlerdir. Mevzuya seçilen bir örnek (bu genellikle bir deney/düşünce deneyidir) üzerinden doğrudan, dolaysız bir biçimde girilir. Ana fikirler bu örnek sistem üzerinden öğretilmeye çalışılır. Feynman'ın 3. cildinde kuantum mekaniğine başlarken anlattığı ve birkaç ünite boyunca onun üzerinden devam ettiği çift yarık deneyi veya Sakurai'nin kitabının başındaki Stern-Gerlach deneyi ve spin kavramı bu metodun güzel örneklerindendir. Kavramlar bütünlük açısından hep bu örnek üzerinden anlatılır. Konuyu bilenler için çok güzel bir zihin egzersizi olabilen bu metodun zayıf kaldığı nokta ise sıfırdan başlayan öğrencilerde teorinin ana fikrinin tamamiyle deneye ait hususiyetler arasına sıkışabilmesi ve bazen de geri plana düşebilmesidir. Bu da birebir kendi derslerimde gözlemlediğim bir durumdur. Çift yarık deneyi üzerinden kuantum mekaniği anlatırken öğrenciler çoğu zaman deney düzeneğinin teknik detayları ile uğraşmakta ve zaten kırılgan olan dikkatleri ANA FİKİR'den çok rahat uzaklaşabilmektedir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
4. AKSİYOMATİK METOT: Bu yazının esas konusu bu metoddur! Hem kendi öğrenme sürecimde hem de öğretme sürecinde en çok bunu seviyor, destekliyor ve muhakkak yaymaya çalışıyorum. Bir teoriyi öğrenmenin ve öğretmenin en kolay, kestirme ve elbette ki DOĞRU yolu herşeyden önce TEORİ ne demek onu bilmek ve anlamaktır: Teori belli VARSAYIMLAR üzerine inşa edilmiş bir fikirsel yapıdır. Daha özel olarak bir fizik teorisi ise tabiatın belli kurallara göre davrandığı veya temsil edilebildiği VARSAYILARAK bu varsayımlar (aksiyomlar-postülatlar) üzerinden bir tabiat tasviri ortaya koymaktır. Dolayısı ile bir fizik teorisini de öğretmenin ve öğrenmenin en OLMAZSA OLMAZI o teorinin aksiyomlarından (postülatlarından) başlamaktır.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu metot başta soğuk ve didaktik gibi görünebilir ancak elbette ki ilk varsayımların çeşitli örnek sistemler üzerinden nasıl anlatılacağı ve sunulacağı pedagojik ve teknik bir meseledir. Önemli olan bu sürecin her parçasında POSTÜLATLARI vurgulamak teorinin bunların üzerinde inşa edildiğini unutmamak ve unutturmamak gerektir. Bu şekilde zihinlere yerleşmiş bir teori sıfırdan bir probleme yaklaşırken muazzam bir plan, kavrayış ve kuşatıcılık sağlar ve çoğu zaman yıkıcı olabilen "acaba birşey mi atlıyorum" tereddüdüne saplanmadan rahat, kendinden emin ve doğal bir şekilde çıkarımlara götürür. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu bağlamda en "popüler" iki teorinin postülatlarını vererek hem fizikçiler hem olmayanlar için durumu biraz "kolaylaştırmaya" çalışalım. Kendim fevkalade sevdiğim ve yegane doğru yol kabul ettiğim ve sonuna kadar savunduğum bu yaklaşımın başkaları üzerinde de işe yarayıp yaramadığını merak ediyorum. Dolayısı ile bu yazıya alacağım geri bildirimler benim için önemli, paylaşırsanız çok sevinirim...</div>
<br />
Özel izafiyet teorisi ile başlayacak olursak bu teori sadece iki postülat üzerine kurulmuştur:<br />
<br />
<i>1. Fizik yasaları eylemsiz referans sistemlerinde aynıdır. (Bütün eylemsiz referans sistemleri birbirine eşdeğerdir de denilebilir.)</i><br />
<i>2. Işık'ın hızı bir tabiat sabitidir (fizik yasasıdır) dolayısı ile her eylemsiz referans sisteminde aynı ölçülür. </i><br />
<br />
Bu kadar! Özel izafiyete dair başka ne duyduysanız bu postülatları DOĞRU KABUL EDEREK yürütülmüş düz mantık sonucunda elde edilmiştir.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Mesela birbirlerine göre sabit hızlı haraket halinde olan iki referans sisteminde saatlerin farklı hızlarda işlemesi öngörüsü tamamı ile bu iki postülatdan türetilebilir. Zaman farklı işliyorsa ışığın hızının aynı olması gerektiğinden dolayı mesafelerde farklı ölçülmek zorundadır; momentum ve enerjinin korunumu gibi yasaları 1. postülata göre korumak istiyorsanız momentum ve enerji tanımını değiştirmek zorunda olursunuz, derken enerjinin ifadesinin içerisine kütle de girer... vs. gibi sonuçlar detayları her ders kitabında bulunabilecek matematiksel akıl yürütmeler sonucunda çıkar. Ama işin temelinde dediğimiz gibi isabetli postülatlar yatar. Teorinin başarısı onların doğruluğuna bağlıdır. Deneyle en ufak bir uyuşmazlıkta postülatlardan birini veya birkaçını değiştirmek lazım gelir ve akıl yürütmeler tekrar devreye girer. Fiziksel bir teorinin yapısı ve oluşumu budur.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
[Burada söylenmesi gereken çok önemli birşey varsa postülatlarıın sizi "felsefi" olarak rahatsız edip etmemesinin apayrı bir konu olduğudur. Hepimiz insan olduğumuz için inançlarımızın, kendimize has fikirlerimizin ve hatta takıntılarımızın olması normaldir ve büyük bilim adamları dahi bu tip önyargılar gereği zaman zaman teorilerinde bazı postülatları eklemiş veya çıkarmışlardır. Ancak tarih çoğu zaman bu tip yaklaşımların tehlikeli olduğunu göstermiştir. Einstein'ın sonradan "en büyük MESLEKİ hatam" dediği (mesleki lafını tekrar tekrar vurgulamak isterim) meşhur "kozmolojik sabit"i bunun en güzel örneklerinden biridir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bunun yanında bir teoride ne kadar az sayıda postülat kullanılmışsa teorinin o kadar "estetik" olduğunu söyleyenler de vardır (ki bu da felsefi bir yaklaşım olsa bile tuhaf bir şekilde her zaman salt matematikten zevk alanların gözüne güzel gözükmüştür). Ancak bir teorinin başarısında son ve MUTLAK karar mercii her zaman ve muhakkak deneysel sonuçlardır.] </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Bir diğer örnek olarak üniversitede öğretilen standart relativistik olmayan kuantum mekaniği teorisi postülatlarına her birine küçük açıklamalarda bulunarak bakalım: </div>
<br />
<br />
<i>1. F</i><i>iziksel bir sistem konum ve zamana bağlı olan bir fonksiyon ile tasvir edilir. </i><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Kuantum mekaniğinin en önemli postülatıdır ve bu teorinin tabiatı nasıl tasvir ettiğini ortaya koyar. Bu önceki tabiat tasvirlerinden o kadar radikal bir farklılık göstermektedir ki bu fonksiyonun KENDİSİNİN fiziksel olarak ne anlama geldiği hala dahi felsefi olarak tartışılan bir konudur ANCAK bu tartışmalar kunatum mekaniği teorisinin içinde yer almaz. Söylediğimiz gibi bu sadece bir ön kabuldür ve teorinin gerisi de zaten matematiksel bir yapıdan başka birşey değildir. Bunu ne daha fazla ne daha eksik olarak anlamamak ve fazla anlam yüklememek gerekir. İyi fizik yapmak istiyorsanız sağlıklı düşünce şekli budur. Bu postülatta "sistem" ile kastedilen şey tek bir parçacık veya parçacıklar bütünü olabileceği gibi kuantum bilgi teorisinde geçen şekli ile incelenen bir "bilgi birimi" dahi olabilir. Dolayısı ile bu alabildiğince genel bir tanımlamadır ve zaten gücü de buradan gelmektedir. </div>
<br />
<i>2. </i><i>Fiziksel olarak her GÖZLEMLENEBİLİR nitelik kuantum mekaniğinde (belli özelliklere sahip) bir İŞLEMCİ ile temsil edilir.</i><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Gözlemlenebilir ile kasıt konum, enerji, momentum, açısal momentum vs. gibi niteliklerdir. İşlemci ile kast edilen bir önceki postülatta tanımlanan dalga fonksiyonu üzerine etki eden matematiksel bir işlemdir. Burada "belli özelliklere sahip" parantezini koymamın sebebi matematik alt yapısı olmayan okuyuculara "Hermityen bir işlemci olmak zorundadır" demek istemememden kaynaklanmaktadır.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
[Hermityen bir işlemci özdeğerleri reel sayılar olan ve öz fonksiyonları birbirleri ile örtüşmeyen, dik, normalize olmuş (ortonormal), fonksiyon uzayını "geren" (span) bir küme oluşturan bir işlemci demektir. Dolayısı ile 1. postülatta bahsedilen dalga fonksiyonu her zaman bu özfonksiyonların bileşimi olarak yazılabilir.]</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Köşeli parantez içine yazdığım kısım tasvirin mantıken tutarlı olabilmesi için bu işlemcinin sahip olması gereken matematiksel özelliklerden başka birşey değildir. </div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<i>3. Fiz</i><i>iksel bir sistemde bir nitelikin niceliği ölçüldüğünde sonuç olarak ölçülen niteliği temsil eden işlemcinin özdeğerlerinden bir tanesi bulunur. Bununla beraber sistemin dalga fonksiyonu da o özdeğere karşılık gelen özfonksiyona İNDİRGENMİŞ (veya göçmüş - "collapse"</i><i>) olur. Sistemin hangi özfonksiyona indirgeneceğinin (dolayısı ile ölçüm sonucunda hangi özdeğerin çıkacağının) sadece İHTİMALİ hesaplanabilir. Bu ihtimal, sistemin dalga fonksiyonu söz konusu olan işlemcinin öz fonksiyonları cinsinden yazıldığında hangi özfonksiyonun ne kadar katkı yaptığının (mutlak) karesi ile orantılıdır.</i> </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Fevkalade matematiksel bir dille yazılan bu postülat (inanın bana en basit ifadesi bu) ÖLÇÜM POSTÜLATI olarak da bilinir ve 1. ve 2. postülatta ortaya konan soyut yapıyı fiziksel gerçeklik olan ölçüme bağlar. Bu postülatın söylediği en çarpıcı şey şüphesiz ölçüm sonucunu önceden "deterministik" olarak kestirmenin kuantum teorisi çerçevesinde İMKANSIZ olduğudur. Hesaplanabilen şeyin sadece ihtimaller olabileceğini söyler ve bu ihtimallerin nasıl hesaplanacağının yolunu gösterir. (Bazı özel durumlarda ihtimalin %100 olduğu bilinebilir ki bu genel çerçeve ile hiç çelişmez.) Bir diğer çarpıcı olan şey ise ölçüm işlemi sonucundaki göçmenin nasıl olduğunu söylememesidir. Bu nokta da felsefi olarak en çok tartışma yaratan noktalardan bir tanesidir ve fizikçiler arasında bile teorinin farklı yorumlanmasına yol açmaktadır.</div>
<i><br /></i>
<i>4. Dalga fonksiyonunun zaman içerisindeki evrimi Schrodinger denklemine uyacak şekilde gerçekleşir.</i><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Elbette ki dinamik bir teori olabilmesi için dalga fonksiyonunun zaman içerisinde değişimini de dahil etmesi lazımdır ve bu da Schrodinger tarafından ortaya atılan; konuma göre ikinci, zamana göre birinci mertebeden olan bir diferansiyel denklemle verilmiştir.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
(Bu son postülat relativistik olmayan kuantum mekaniği teorisinde vardır. Relativite etkileri dahil edilmek istendiğinde bunun yerine Dirac denklemi kullanılır. Yine relativistik olmayan kuantum mekaniğinde spin gibi bazı kavramlar için ek postülatlar bulunabilir. Ancak işin özü genel olarak ilk 3 postülatta yatar diyebiliriz.) </div>
<i> </i><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
[Yukarıda örnek olarak özel izafiyet ve kuantum mekaniği teorileri için verdiğim postülatların birçok alternatif biçimleri de mevcuttur. Bu, temelde ifade için kullanılan (ve dönemden döneme farklı tercihlere göre değişebilen) matematiksel dil ile ilişkili olup bütün biçimler MANTIKSAL ve MATEMATİKSEL olarak birbirine DENKTİR. Daha ilk yıllarda Schrödinger ile Heisenberg'in kunatum mekaniği formülasyonu farklı olduğu gibi yıllar içinde de birçok bilim adamı teoriyi farklı biçimlerde ifade etmişlerdir. Bunların tamamı (kendileri dahi her zaman bu kadar açıkca ifade etmeseler de) elbette ki anlattığımız aksiyomatik yapı içerisinde bir tasvir ortaya koymuşlardır ve tekrar etmek gerekirse bunlar birbirine denktir.]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sonuç olarak fizikin ve onun temelini oluşturan fiziksel teorilerin yapısının iyi anlaşılması için bu teorilerin aksiyomatik bir yapı üzerine kurulmuş olduğunun anlaşılması gerektiğini düşünüyoruz. Bu zaten bilinmedik birşey değil ancak bu kadar "basit" bir yol varken işin neden zorlaştırıldığı bana fevkalade hayret veriyor! (Bu yazının başlığı aksiyomatik yaklaşım yerine pekala "bir fizik teorisi nedir unuttuk mu?" da olabilirdi, ne diyeyim bilinen şeyleri bilinmez hale getirenler utansın...:-)</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Fiziğin tabiatı en temel seviyede tasvir etmesinden dolayı diğer bilimler arasında bu şekilde aksiyomatik tabanda incelenmeye en yatkın bilim olduğu pekala söylenebilir. Yüzyılımızın en büyük dehalarından ve hezarfenlerinden olan John von Neumann'ın en büyük başarılarından birisi de tam olarak bu yaklaşımla kuantum mekaniğini aksiyomatik yapıya oturtmuş olmasıdır. Yukarıda verdiğimiz kuantum mekaniği aksiyomları genel olarak onun <a href="http://www.amazon.com/Mathematical-Foundations-Quantum-Mechanics-Neumann/dp/0691028931" target="_blank">"Mathematical Foundations of Quantum Mechanics"</a> isimli şaheserinde şekillendirdiği yapıdadır. Bu kitap kuantum mekaniği tarihi açısından bir milat kabul edilir. (Neden acaba!?) İşte bunun nedenini arz etmeye çalıştığımız bu yazıda resimleri ile başladığımız büyük ustaların isimleri ile bitirelim: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert" target="_blank">David Hilbert</a>, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Weyl" target="_blank">Hermann Weyl</a>, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann" target="_blank">John von Neumann</a></div>
<br />
NOT:<br />
<div style="text-align: justify;">
Normalde yazının içinde yer almayacak bu notu nedense eklemek gerektiğini düşündüm: Aksiyomatik yaklaşımın getirdiği tertibe dair son bir misal olarak mesela kuantum teorisinin ilk kurucularından olan Heisenberg'in belirsizlik ilkesi hala dahi kuantum mekaniği kitaplarında ve derslerinde ilk anlatılan şeylerden birisidir. Oysa bu ilke yukarıda verdiğimiz postülatlardan yola çıkılarak, işlemcilerin özelliklerinden matamatiksel olarak İSPATLANABİLECEK birşeydir. Dolayısı ile en temel tasvirde yer alması gerekmez.</div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-19673062046949864012012-07-19T13:06:00.000-07:002012-12-11T13:01:14.113-08:00Hilal Meselesine Dair<!--[if gte mso 9]><xml>
<w:WordDocument>
<w:View>Normal</w:View>
<w:Zoom>0</w:Zoom>
<w:TrackMoves/>
<w:TrackFormatting/>
<w:HyphenationZone>21</w:HyphenationZone>
<w:PunctuationKerning/>
<w:ValidateAgainstSchemas/>
<w:SaveIfXMLInvalid>false</w:SaveIfXMLInvalid>
<w:IgnoreMixedContent>false</w:IgnoreMixedContent>
<w:AlwaysShowPlaceholderText>false</w:AlwaysShowPlaceholderText>
<w:DoNotPromoteQF/>
<w:LidThemeOther>TR</w:LidThemeOther>
<w:LidThemeAsian>X-NONE</w:LidThemeAsian>
<w:LidThemeComplexScript>X-NONE</w:LidThemeComplexScript>
<w:Compatibility>
<w:BreakWrappedTables/>
<w:SnapToGridInCell/>
<w:WrapTextWithPunct/>
<w:UseAsianBreakRules/>
<w:DontGrowAutofit/>
<w:SplitPgBreakAndParaMark/>
<w:DontVertAlignCellWithSp/>
<w:DontBreakConstrainedForcedTables/>
<w:DontVertAlignInTxbx/>
<w:Word11KerningPairs/>
<w:CachedColBalance/>
</w:Compatibility>
<w:BrowserLevel>MicrosoftInternetExplorer4</w:BrowserLevel>
<m:mathPr>
<m:mathFont m:val="Cambria Math"/>
<m:brkBin m:val="before"/>
<m:brkBinSub m:val="--"/>
<m:smallFrac m:val="off"/>
<m:dispDef/>
<m:lMargin m:val="0"/>
<m:rMargin m:val="0"/>
<m:defJc m:val="centerGroup"/>
<m:wrapIndent m:val="1440"/>
<m:intLim m:val="subSup"/>
<m:naryLim m:val="undOvr"/>
</m:mathPr></w:WordDocument>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>
<w:LatentStyles DefLockedState="false" DefUnhideWhenUsed="true"
DefSemiHidden="true" DefQFormat="false" DefPriority="99"
LatentStyleCount="267">
<w:LsdException Locked="false" Priority="0" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Normal"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="heading 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 7"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 8"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="9" QFormat="true" Name="heading 9"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 7"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 8"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" Name="toc 9"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="35" QFormat="true" Name="caption"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="10" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Title"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="1" Name="Default Paragraph Font"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="11" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Subtitle"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="22" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Strong"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="20" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="59" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Table Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" UnhideWhenUsed="false" Name="Placeholder Text"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="1" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="No Spacing"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Shading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Dark List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Shading"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful List"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Grid"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Shading Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Grid Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" UnhideWhenUsed="false" Name="Revision"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="34" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="List Paragraph"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="29" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Quote"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="30" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Intense Quote"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 1 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 2 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 3 Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Dark List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Shading Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful List Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Grid Accent 1"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Shading Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Grid Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 1 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 2 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 3 Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Dark List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Shading Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful List Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Grid Accent 2"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Shading Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Grid Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 1 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 2 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 3 Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Dark List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Shading Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful List Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Grid Accent 3"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Shading Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Grid Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 1 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 2 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 3 Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Dark List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Shading Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful List Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Grid Accent 4"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Shading Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Grid Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 1 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 2 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 3 Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Dark List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Shading Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful List Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Grid Accent 5"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="60" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Shading Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="61" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="62" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Light Grid Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="63" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="64" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Shading 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="65" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="66" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium List 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="67" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 1 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="68" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 2 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="69" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Medium Grid 3 Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="70" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Dark List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="71" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Shading Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="72" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful List Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="73" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" Name="Colorful Grid Accent 6"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="19" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Subtle Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="21" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Intense Emphasis"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="31" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Subtle Reference"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="32" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Intense Reference"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="33" SemiHidden="false"
UnhideWhenUsed="false" QFormat="true" Name="Book Title"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="37" Name="Bibliography"/>
<w:LsdException Locked="false" Priority="39" QFormat="true" Name="TOC Heading"/>
</w:LatentStyles>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 10]>
<style>
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:"Table Normal";
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-priority:99;
mso-style-qformat:yes;
mso-style-parent:"";
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin-top:0cm;
mso-para-margin-right:0cm;
mso-para-margin-bottom:10.0pt;
mso-para-margin-left:0cm;
line-height:115%;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:11.0pt;
font-family:"Calibri","sans-serif";
mso-ascii-font-family:Calibri;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;
mso-hansi-font-family:Calibri;
mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;}
</style>
<![endif]-->
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvcA5p5SPiyk6riYfSsAz0FU69NpMkzAGJZnz6qDidVf8CwYcK0PbyVZrCZBnwtJI1_CLO6Mt7sngwdfh4Q03yfcJCjIuyJeaJC_TyJZVNC7rE8K6u6kqKu7-eeWSzHWMVQ0upV0KVuMct/s1600/MoonCresent2_b.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvcA5p5SPiyk6riYfSsAz0FU69NpMkzAGJZnz6qDidVf8CwYcK0PbyVZrCZBnwtJI1_CLO6Mt7sngwdfh4Q03yfcJCjIuyJeaJC_TyJZVNC7rE8K6u6kqKu7-eeWSzHWMVQ0upV0KVuMct/s400/MoonCresent2_b.JPG" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Bu sene Ramazan'ın başlaması ile yine hilali görmek meselesi gündeme geldi. Ramazan hakkında bir müslüman için can sıkıcı bir mesele varsa o da bu ihtilaftır diye düşünüyorum. Bu mesele hakkında 2005 yılında tutulum@yahogroups.com isimli e-posta grubuna bir mesaj yollamıştım, profesyonel ve amatör gözlemcilerden şahane cevaplar almıştım. Beni bu mesele hakkında mutmain eden birşey varsa o da bu gözlemcilerden aldığım cevaplardır, bu vesile ile bu mailleri yayımlıyorum. </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">-----------------------------</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Bu mesajın konusunu bir astronomi grubuna cok da uygun
olmadigini dusunebilirsiniz ancak soyle veya boyle 1,5 milyar insani
ilgilendiren ve buyuk tartismalara yol acan, en onemlisi de insanlarin inanclarini
zedeleyen ve bastan asagi can sikici bir mesele uzerinde aramizda bulunan cok
degerli bazi usta gozlemcilerin goruslerini almak istiyorum eger musaade ederseniz.</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"><br /></span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">
Soyle ki:</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoNormal">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Islam dininin bazi ibadetleri ay takvimine gore duzenlendiginden bu sene de
Ramazan'in baslangici ile ilgili ihtilaf yasandi. (Muhtemelen yine Arabistan kokenli
olmak uzere) 3 Eylul aksami hilalin "gorundugu" ve Sali gunu
Ramazan'in baslandigina dair haberler bu konuda hassas insanlar arasinda
yayilmaya basladi. (Esasinda ayin basladigi tarih cok da kritik oneme sahip
degil, isteyen ihtiyaten bir gun erken baslayabilir sonucta; esas problem
Sevval (Ramazandan sonraki ay) hilalinin gorunmesine dair cunku bayramda oruc
tutmak haram biliyorsunuz ve muhtemelen bu sene de bu ihtilaf yasanacak) Benim
derdim bu ihtilafin ortadan kaldirilmasi filan degil cunku bunun sebebi 3 maddede
belirlenebilecek kadar acik:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"></span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">
</span></div>
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">
1- Hilâlin ilk görünüşünü belirleyecek uluslararası standart bir ölçüm aletinin
olmaması.</span><br /><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">
2- Hilâlin ilk görünüşünü belirlemede farklı ölçüm aletlerinin ve farklı
yolların kullanımı.<br />
3- Hilâlin gözetlendiği yerdeki hava durumu.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"><br /></span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">
Ancak yine de aramizdaki bazi usta gozlemcilerin (eger degerli tecrubelerine
dayanarak ornek verirlerse cok mutlu olurum) ortalama insan gozunun aksam
hilalini "ciplak gozle" gormesi icin ayin gunesten ortalama kac derece
uzaklasmis olmasi gerektigi (ve/veya bunun cografyaya gore degisebilip
degisemeyecegi) ve de OZELLIKLE gunes tutulmasi olan bir gunun aksami hilali gormenin
mumkun olup olmadigi konusunda goruslerini merak ediyorum. Bunu (bilimsel
seviyede) tartismanin kimseye bir zarar vermeyecegini tam tersine ileride bu onemli meselenin tam bir
cozume kavusturulmasina onayak olabilecegini dusunuyorum...</span><br /><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">
<br />
Saygilarimla,<br />
Dogan Erbahar<br />
GYTE Fizik Bolumu Arş. Gor. </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">5 Ekim 2005</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">----------------------------------------------------------- </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Merhaba,<br />
</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">
Su gunlerde aksam saatlerinde tutulum cemberi ile ufuk cizgisi arasindaki aci cok
az. Bu nedenle Venus'un uzanimi yuksek olmasina ragmen ufuktan fazla
uzaklasamiyor. Benzer sekilde cok genc bir ayca (hilal) da ufka cok yakin
olacaktir ve benim bildigim kadariyla 12-13 saatten daha genc bir ayca goren
yoktur (ben hic 24 saatten genc bir ayca goremedim) ve bu kadar genc ayca
gorenler de mart-nisan aylarinda yani tutulumun ufukla en fazla aci yaptigi
zamanlarda gorebilmislerdir. Bu yil icin sorun yok. 3 Ekim aksami ayca gormek
pek mumkun gibi gorunmuyor ve bu nedenle Ramazan henuz baslamis olmuyor.</span><br /><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">
<br />
Islam dini cok ilkel bir topluluga gelmis oldugu icin tum zaman tanimlari
oznel. Ornegin, ikindi namazini Gunes'e ciplak gozle bakabildiginiz zamana
kadar kilabilirsiniz. Peki bu gunbatimindan ne kadar oncesine denk geliyor?<br />
<br />
Bu tur konularda belirsizlik var. Atmosfer etkilerini hic soylemiyorum bile; o kadar
onemli ve ongorulemeyen bir etmen ki butun kaynaklar Gunes'in dogus ve batis
vaktini ancak dakika seviyesinde verebiliyor.<br />
<br />
Erhan Ozturk</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">5 Ekim 2005</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">--------------------------------------------------- </span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Merhaba,<br />
<br />
Konu inanç olunca tartışmaya çok açık doğal olarak. Bilimsel olarak tartışmak
için sanırım "hilal" (veya "ayça") nedir sorusunu yanıtlamak
gerek. Bana sorarsanız Ay karşıkonumdan çıktığı an Hilal başlamış olur. Ama
önemli olan, o inanca sahip toplumların kabulleri. İnanç konusundaki bir
kabulün bilimselliğini tartışmaksa ayrı bir konu.<br />
<br />
"T.C. Diyanet İşleri Başkanlığı"nın kabul ettiği tanım ise, Ay'ın karşıkonumdam(Diyanet
"içtima" diyor) en az 8 derece uzaklaşmış olması gerektiği. Ayça
tanımı 1978 yılında İstanbul'da yapılan bir toplantıda belirlenmiş ve pek çok
ülke tarafından uyuluyor.<br />
<br />
Saygılar.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Turgut Bayrak </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">5 Ekim 2005</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">---------------------------------------------</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Merhaba,</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br />
Erhan beye katılıyorum. S.Arabistan bize göre yaklaşık 20 derece daha güneyde olmasına
rağmen - ki bu bizden daha fazla güneyi görüyorlar demek, gene de 3 Ekim akşamı
hilali görebilmiş olamazlar. O akşam Güneş batarken Ay Güneş'e yalnızca 2
derece uzaklıkta idi ve bize yansıttığı ışık, dolunay evresinde yansıttığı
ışığın 1000 de 5 i kadardı. Ayrıca Ay, o sırada Güneşe göre daha güneyde
olduğundan neredeyse Güneşle aynı zamanda batıyordu. Bu nedenle 3 Ekim akşamı
çıplak gözle hilali görebilmek mümkün değil gibi geliyor bana.</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br />
Selam ve sevgiler. Uğur İkizler</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">5 Ekim 2005</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">--------------------------------------------------- </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">8 derece fena bir değer değil, yine de bence az.
Teleskopla görülebilen en "yeni" Ay rekoru yaklaşık (alttaki mesajda
yazdığı gibi karşı konum değil) "kavuşum"dan 12 saat 8 dakika sonra
görülebilmiş ve birkaç dakika sonra, resmi çekildikten hemen sonra batmış.
Çıplak göz rekoru da 14 saat civarında.<br />
<br />
Şimdi Ay batarken, en uygun koşullarda (yani yerberideyken / yere en yakın
konumunda) saatte 0.6 derece gittiğini kabul edersek, teleskoplu rekor
sırasında 7.2 derece, normal rekor sırasında da 8.4 derece Güneş'ten uzaklaşmış
olabiliyor.<br />
<br />
Ama bu koşullarda Ay'ı görmek için, Ay'ın gözlem sırasında (ki bu da günbatımından
20-30, en çok 40 dakika sonra) Güneş'in tam üzerinde bulunması ve tabii ki
havanın temiz olması gerekiyor. Güneş'in tam üzerinde bulunacak Ay ise Türkiye
enleminde Aralık-Haziran arası denk gelebilir, ki bu durumda da Ay'ın
ekliptiğin oldukça kuzeyinde bulunması gerekli.<br />
<br />
Yani Ekim ayında, hem de Ay Güneş'in ve ekliptiğin güneyine inerken 1 gün bile
yeterli olmaz; Arabistan'dan bile gördüğünü iddia eden birisi, en iyi ihtimalle
yanılıyordur, ya da yalan söylüyordür.<br />
<br />
Uygün koşullarda bir "çok yeni" Ay gözlemi, Türkiye'den önümüzdeki ilkbaharda
iki kez mümkün olacak ve Ay bu sırada (eğer görünebilirse) 15-18 saatlik
olacak.<br />
<br />
Sky&Telescope dergisinin internet adresinde, yeni Ay'ı en erken görme şansı
olan yerleri bir haritaya işlenmiş şekilde gösteren bir yazı da bulunuyor.<br />
<br />
Not: Ama bu Güneş tutulmasında, halkalı evreden hemen sonra görünen hilal
Güneş, Ramazan'ı başlatmış olabilir mi? :)<br />
<br />
Tunç Tezel </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">7 Ekim 2005</span></div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-18750954603533041982012-05-26T03:12:00.002-07:002012-05-26T03:13:09.889-07:00Gece Olduğunda<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXqFzENHL04wPzgFu47FXvF0pB7SRyCvoQ_JswBlo__MAoJyCs82LwIiI-rP2i8JuWltgwSAexZ7-LLIBJQbnKwT9SWuh4Z7jY7uaJFcDrFYQ1eAsmkPzhpPvUoenX9XrfcUivC4Vxs8I2/s1600/Nightfall_cover.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXqFzENHL04wPzgFu47FXvF0pB7SRyCvoQ_JswBlo__MAoJyCs82LwIiI-rP2i8JuWltgwSAexZ7-LLIBJQbnKwT9SWuh4Z7jY7uaJFcDrFYQ1eAsmkPzhpPvUoenX9XrfcUivC4Vxs8I2/s320/Nightfall_cover.jpg" width="197" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Yıllar önce Boğaziçi'nde Ömür Akyüz'den (yanlış hatırlamıyorsam) bilim tarihi hakkında bir ders alıyordum. Dersten aklımda kalan fazla birşey yok ancak bir bilimkurgu hikayesinden bahsettiği hatırımda kalmış hocanın. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Konusu çok ilgimi çekmişti: Birden çok güneşe sahip bir sistemdeki bir gezegende hiç gece olmuyor zira her taraftan daima en az bir yıldızı görüyor. Dolayısı ile burada yaşayan insanlar gece nedir bilmiyorlar. Ancak her 2000 yılda bir çok kısa zaman için de olsa gezegenin kendine özgü karma karışık hareketinden dolayı gece oluyor ve elbette buna şahit olan nesilde çok büyük sosyal değişimler yaşanıyor, insanlar çıldırıyor, medeniyet neredeyse sıfırlanıyor ve baştan başlıyor. Bilim adamları arkeolojik verilerden bu periyotu anlayabiliyorlar, aynı zamanda gezegenin kestirilemeyecek derecede karışık hareketini çözmeye çalışıyorlar ve gecenin ne zaman olacağını kestireiliyorlar. Devamını anlatmayayım...</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Uzun zamandır (abartmıyorum yıllardır) ara ara aklıma gelirdi bu kitabın adı neydi nereden bulunabilir diye, zira hakkında tek aklımda kalan şey yukarıdaki paragraftaki bilgiler ve "When the night falls" gibi bir isimdi. Yazarını filan bilmiyordum ve google aramaları sonuç vermiyordu. Yarım saat kadar önce kendiliğinden karşıma çıktı <a href="http://www.openculture.com/freeaudiobooks" target="_blank">bu sitede!</a> 2 numaradaki sesli kitap ilgimi çekti açtım wikipediadan filan aradım EVET O! Konusu filan aynı. İsmi de tahmin ettiğimden daha basitmiş. :-)) Şimdi bulup okumak için sabırsızlanıyorum.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Neyse gelelim işin fizik kısmına. Birbirini belli bir kuvvet kanununa göre iten veya çeken iki cisimin hareketine 2-cisim problemi denir. Klasik mekanik kitaplarında bir ünitede işlenen ve çözümü analitik olarak yapılabilen iyi incelenmiş bir problemdir. Rutherford saçılmasından Dünya-Güneş sisteminin basitleştirilmiş çözümlerine kadar birçok yerde uygulamaları vardır. Ancak sistemin içerisine etkisi ihmal edilemeyecek kadar büyük olan bir diğer cisim katarsanız o zaman 3-cisim problemi ile karşılaşırsınız ki problem bir anda analitik olarak ÇÖZÜMSÜZ bir hal alır. Denklemlerin karşılıklı çiftlenimli tabiatı ayrıştırıp çözülmelerine izin vermez. Yapılabilecek yegane şey nümerik olarak çözmeye çalışmaktır. Bilim adamları 200 yıldan fazla süredir 3-cisim problemi ile uğraşmışlar ve sadece bazı özel durumlar için çözümler bulabilmişlerdir. Genel durumun çözümü yoktur. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
3'den fazla cisime genelleştirirsek n-cisim probleminden bahsdebiliriz ve elbette ki bu da çözümsüz olan ve sisteme özgü parametreler ile nümerik olarak incelenmesi gereken kaotik bir sistemdir. İşte Asimov bilim kurgu öğesini bu kaotiklik ve kestirilemezlik üzerine kurmuştur. Hikayedeki sistemde 6 tane güneş vardır dolayısı ile "en iyi" ihtimalle 7-cisim problemi söz konusudur ve evet (neden olmasın) böyle bir sistemde 2000 yılda sadece bir gün gece olabilir. Başka neler olabilir kim bilir... </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
İşte bu ihtimal dahilinde yazılmış kurgu o kadar ilgimi çekmişti ki yıllardır unutmamışım. Bulunca çok sevindim... :-))</div>Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-42741974473682520652012-05-21T02:19:00.000-07:002014-12-04T07:41:01.691-08:00Sonlu Potansiyel Kuyusu<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKByLrgxDd_JQ5q5SQ3v65elEhwUZVvAmu3h_G8IfaOX-Ms8CCJBkk4u-khidCiAS1O13dzjY-vVP4oG2dLEGsyY6SLCpb2RKUyufLypb4y8iACdwCjTZIgSznAwf2pH5V-UHGzFYQZG00/s1600/Resim1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKByLrgxDd_JQ5q5SQ3v65elEhwUZVvAmu3h_G8IfaOX-Ms8CCJBkk4u-khidCiAS1O13dzjY-vVP4oG2dLEGsyY6SLCpb2RKUyufLypb4y8iACdwCjTZIgSznAwf2pH5V-UHGzFYQZG00/s400/Resim1.png" height="201" width="400" /></a></div>
<br />
Bitirme çalışması yaptırdığım bir öğrencimin projesinde model bir sistem olarak sonlu potansiyel kuyusunu inceliyorduk. Bunun için de nümerik çözümlerden emin olmak lazımdı. İnternette bu işi yaptığını söyleyen birkaç program ve site var onları kullanalım dedik hepsi birbirinden kafa karıştırıcı idi, emin olamadım. Mecburen bu işi yapan bir kodu kendim yazmam gerekti. Ancak olması gerektiğinden çok uzun sürdü bir şekilde bu iş ve nihayet bitti hemen burada yayımlayıp ensemden atmak istiyorum. Açık kod...<br />
<br />
Kuantum mekaniğinin standart alıştırmalarından olan bu problemin "çözümü" birçok kaynakta mevcut. Çözümünü tırnak içinde yazdık zira problem analitik olarak çözülemez. Sınır şartlarının eşitlenmesi sonucunda enerji için çıkan ve "ağır şekilde non-lineer" olan bir bilinmeyenli denklem en sade hale getirilip bundan sonra denklemin nümerik olarak çözülmesi gerektiği söylenir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu yazıda denklemin türetilmesini tekrarlayıp nümerik çözüm için bir algoritma vereceğim. Esas nümerik metod üzerinde durmak istediğimden dolayı teori kısmını sadece önemli noktalara değinerek biraz hızlıca geçeceğim. Dediğim gibi birçok kaynaktan detaylara bakılabilir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Problemi hatırlayalım: -L ile +L koordinatları arasında -V<span style="font-size: xx-small;">0</span>'a eşit olan ve diğer her yerde 0 olan bir potansiyelde zamandan bağımsız Schrodinger denklemi çözmeye çalışıyoruz. Potansiyeli yukarıda gösterildiği gibi I. bölge, II. bölge ve III. bölge diye işaretleyelim. Kuyunun içerisinde "bağlı" durumlar (bounded states) arıyoruz dolayısı ile enerjimizin -V<span style="font-size: xx-small;">0</span> < E < 0 koşullarına uyması gerekir. </div>
<br />
I. ve III. bölgedeki çözümün genel hali aşağıdaki gibidir.<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CPsi_I=%5CPsi_%7BIII%7D=Ae%5E%7B-%5Ckappa%20x%7D%20@plus;%20Be%5E%7B%5Ckappa%20x%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CPsi_I=%5CPsi_%7BIII%7D=Ae%5E%7B-%5Ckappa%20x%7D%20+%20Be%5E%7B%5Ckappa%20x%7D" title="\Psi_I=\Psi_{III}=Ae^{-\kappa x} + Be^{\kappa x}" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Burada <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Ckappa%20=%20%5Csqrt%7B-2mE/%5Chbar%5E2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Ckappa%20=%20%5Csqrt%7B-2mE/%5Chbar%5E2%7D" title="\inline \kappa = \sqrt{-2mE/\hbar^2}" /></a> olurken I. bölgede x < 0 olduğundan ve fonksiyonun normalize edilebilir bir ifade olması şartından dolayı A = 0 olmak zorundadır (aksi takdirde sonsuza patlar). Aynı mantıkla III. bölgedeki çözüm için de B = 0 olmak zorundadır.</div>
<br />
II. bölgedeki çözüm ise aşağıdaki şekilde yazılır:<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CPsi_%7BII%7D=C%5Ccos%7Bkx%7D%20@plus;%20D%5Csin%7Bkx%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CPsi_%7BII%7D=C%5Ccos%7Bkx%7D%20+%20D%5Csin%7Bkx%7D" title="\Psi_{II}=C\cos{kx} + D\sin{kx}" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Burada <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20k%20=%20%5Csqrt%7B2m%28E@plus;V_0%29/%5Chbar%5E2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20k%20=%20%5Csqrt%7B2m%28E+V_0%29/%5Chbar%5E2%7D" title="\inline k = \sqrt{2m(E+V_0)/\hbar^2}" /></a> ifadesi ile verilir. Bundan sonra yapılması gereken -L ve +L deki sınır şartlarında hem fonksiyonları hem de türevlerini eşitlemek ve çıkan denklemlerden E'yi bulmaya çalışmaktır.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu noktada işi nispeten kolaylaştıran bir teorem yardımımıza koşar. Eğer potansiyeliniz "çift fonksiyon" ise ( V(x) = V(-x) ise ) o zaman çözümler tek ve çift fonksiyonlar olarak ayrı ayrı incelenebilir. Bu yoldan devam edecek olursak tek çözümler için II. bölgede sadece sinüs çözümünü çift çözümler için ise sadece kosinüs çözümünü alabiliriz. </div>
<br />
Çift çözümlerle başlayalım: (üstellerdeki kappa'larla trigonometriklerdeki k'lar karışmasın)<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CPsi_I%20=%20Ae%5E%7B%5Ckappa%20x%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CPsi_I%20=%20Ae%5E%7B%5Ckappa%20x%7D" title="\Psi_I = Ae^{\kappa x}" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CPsi_%7BIII%7D%20=%20Ae%5E%7B-%5Ckappa%20x%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CPsi_%7BIII%7D%20=%20Ae%5E%7B-%5Ckappa%20x%7D" title="\Psi_{III} = Ae^{-\kappa x}" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CPsi_%7BII%7D%20=%20C%5Ccos%7Bkx%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CPsi_%7BII%7D%20=%20C%5Ccos%7Bkx%7D" title="\Psi_{II} = C\cos{kx}" /></a><br />
<br />
(Çözüm çift olduğu için I. ve III. bölgedeki baş katsayıları eşit aldık.)<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bunların türevlerini de alıp -L ve +L sınırlarındaki eşitlemeleri de yapacak olursak 4 denklem elde ederiz ancak bu denklemler ikişer ikişer birbirleriyle aynı olduklarından sadece aşağıdaki 2'si kalır elde:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Ae%5E%7B-%5Ckappa%20L%7D=C%5Ccos%7BkL%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?Ae%5E%7B-%5Ckappa%20L%7D=C%5Ccos%7BkL%7D" title="Ae^{-\kappa L}=C\cos{kL}" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=A%5Ckappa%20e%5E%7B-%5Ckappa%20L%7D=Ck%5Csin%7BkL%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%5Ckappa%20e%5E%7B-%5Ckappa%20L%7D=Ck%5Csin%7BkL%7D" title="A\kappa e^{-\kappa L}=Ck\sin{kL}" /></a><br />
<br />
Bunları taraf tarafa böldüğümüz zaman:<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=k%5Ctan%7BkL%7D=%5Ckappa" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?k%5Ctan%7BkL%7D=%5Ckappa" title="k\tan{kL}=\kappa" /></a>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
denklemini elde ederiz. Kappa ile k'nın daha önce verdiğimiz tanımları kullanılarak aralarında bir bağıntı yazmak mümkündür:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ckappa%5E2%20@plus;%20k%5E2%20=%20k_0%5E2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa%5E2%20+%20k%5E2%20=%20k_0%5E2" title="\kappa^2 + k^2 = k_0^2" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Burada <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20k_0%5E2%20=%20%5Csqrt%7B2mV_0/%5Chbar%5E2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20k_0%5E2%20=%20%5Csqrt%7B2mV_0/%5Chbar%5E2%7D" title="\inline k_0^2 = \sqrt{2mV_0/\hbar^2}" /></a> ifadesinin kısaltmasıdır. Bu bağıntı yardımı ile bir önceki denklemde kappadan kurtulmak ve k cinsinden yazmak mümkündür. Sonuçta denklem aşağıdaki hale gelir:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Clarge%20k%5Ctan%7BkL%7D=%5Csqrt%7Bk_0%5E2-k%5E2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20k%5Ctan%7BkL%7D=%5Csqrt%7Bk_0%5E2-k%5E2%7D" title="\large k\tan{kL}=\sqrt{k_0^2-k^2}" /></a>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Korkunç derecede non-lineer olan bu denkleml cepte dursun bir de kardeşini türetelim. (Yani tek çözümlere bakalım) Tek çözümler için yapılması gereken II. bölgede sinüslü çözümü almak ve I. ve III. bölgedeki çözümlerin baş katsayılarının işaretlerinin birini eksili hale getirmektir. Bundan sonra yukarıdaki aşamaların yolundan devam edersek aşağıdaki denklemi elde ederiz.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Clarge%20-k%5Ccot%7BkL%7D=%5Csqrt%7Bk_0%5E2-k%5E2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20-k%5Ccot%7BkL%7D=%5Csqrt%7Bk_0%5E2-k%5E2%7D" title="\large -k\cot{kL}=\sqrt{k_0^2-k^2}" /></a>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
İki denklemde de sağ taraftaki ifade tanıdıktır: Yarıçapı k<span style="font-size: xx-small;">0</span> olan bir çember denklemi. Soldaki ifadeler ise tanjant ve kotanjant fonksiyonunun değişkenin kendisi ile çarpılarak "sivriltilmiş" halidir. Sağ ve sol tarafların çözümlerine aşağıdaki grafik üzerinde bakalım. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmjxRCfy2x8XhJ06A8pVM784KBgpGyTMsWrLc_JHSnYptAZnOh80KMVpqONBk93T_yYWWLL4cxMmyDWhcgJdZj_mrkwFqSoSfJl52lP6N7pdoItScJkmgNM3mxe6fgRPANiH6axsr273e_/s1600/img1099.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmjxRCfy2x8XhJ06A8pVM784KBgpGyTMsWrLc_JHSnYptAZnOh80KMVpqONBk93T_yYWWLL4cxMmyDWhcgJdZj_mrkwFqSoSfJl52lP6N7pdoItScJkmgNM3mxe6fgRPANiH6axsr273e_/s1600/img1099.gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Yatay ekseni k olan grafiğimizde dikey eksen denklemlerde sağ ve sol taraflardaki fonksiyonların aldıkları değerleri ifade etmektedir. Siyah ile çizilmiş eğri çeyrek çemberimizden başka birşey değildir. Kırmızı ile çizilen ise çift çözümlerden gelen k.tan(kL) fonksiyonu iken mavi kesikli çizgilerle gösterilen tek çözümlerden gelen -k.cot(kL) fonksiyonudur. İşte mavi ve kırmızı çizgilerin siyah çemberi kestiği noktalara ait olan k değerleri denklemin çözümünü ifade ederler. Bu değerleri bulmak istiyoruz. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Yukarıdaki grafikte inceleme örneği olarak 1 nm genişliğinde 10 eV derinliğinde bir kuyuda bulunan elektron problemi seçilmiştir. Görüldüğü gibi 6 noktada kesişim vardır. Yani bu durumda 6 tane bağlı durum mevcuttur. (Sonlu potansiyelde mümkün olan bağlı durumların sayısı her zaman sonludur.) Grafikten çıkarılabilecek başka güzel yorumlar da vardır. Mesela kuyunun derinliğini arttırırsanız çemberin çapı da artacağından dolayı daha fazla sayıda kesişim noktası (yani bağlı durum enerji seviyesi) olacağı söylenebilir. Yine kuyunun genişliğini arttırmak trigonometrik fonksiyonların "peryotlarını" azaltacağından dolayı çemberin içine daha sık yerleşecekler ve kesişim sayısı artacaktır. Bu güzel grafikte daha fazla kaybolmadan nümerik metodumuza geçelim. Dediğim gibi buraya kadar olanlar ders kitaplarında var. Bundan sonrası ise sadece burada var... :-))</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Probleme şöyle yaklaşıyorum: Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının içi pi/2 (ve bazı tek-çift katları) olduğunda sonsuza patlıyor dolayısıyla herşeyden önce bu sonsuzluklardan kaçınmam lazım. Bunun için yatay ekseni pi/2L uzunluğunda dilimlere ayırıyorum ve herbir dilimin içini ayrı ayrı inceliyorum. Birinci, üçüncü, beşinci, vs. tek sayılı dilimlerde çift çözümden gelen denklemi; ikinci dördüncü, vs. çift sayılı dilimlerde de tek çözümden gelen denklemi çözmem lazım. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Tek-çift mantığını bilgisayara anlattıktan sonra her dilimi aradığım hassasiyete göre (genelde binlerce) parçaya bölüyor ve k'nın değerini her parçada hesaplayarak arttırmaya başlıyorum. Trigonometrik değer çemberin değerinden büyük olduğu anda döngüye durmasını söylüyorum ve bu k değerini kaydediyorum. Ondan sonra bir sonraki dilime geçiyorum ve işlemi tekrarlıyorum. Kaç tane dilim kullanacağımı da ilk başta çemberin yarıçapına göre belirliyorum. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bütün k'lar kaydedildikten ve döngüler tamamlandıktan sonra k'ları basitçe enerji karşılıklarına çeviriyor ve yazdırıyorum. İşte bu işi yapan python dilinde yazılmış bir program:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
#################################</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
from math import pi,tan # Pi sayisi ve tanjant fonksiyonu<br />
h2m = 3.815 # hbar^2 / 2m (eV.Ang^2) birimlerinde m elektron kutlesi<br />
L = 5 # angstrom biriminde DIKKAT !!! KUYU GENISLIGI = 2L dir.<br />
V0 = 10.0 # Kuyunun derinligi eV biriminde</div>
<div style="text-align: justify;">
def cot(x): # math modulunde kotanjant yoktu kendim tanimladim<br />
return 1/tan(x)<br />
<br />
def k(n,m): # k'yi bu sekide bir fonksiyon olarak tanimladim.<br />
return (pi*n/(2*L)) + m # n dilim sayisi m ise dilimin icerisindeki adim.<br />
<br /></div>
k0_sq = V0/h2m # k0'in karesi<br />
k0 = k0_sq**0.5 # k0<br />
<br />
adim = 100000 # her bir dilimi yuzbine bolup inceliyorum<br />
m0 = pi/(2*L*float(adim)) # adim arttirma miktari<br />
<br />
par_say = int(k0*2*L/pi)+1 #parca sayisi. Bu k0'a gore hesaplaniyor<br />
print par_say,' tane cozum var. Eenrjiler:' # Cozum sayisi ekrana yaziliyor<br />
<br />
for n in range(par_say): # Ana dongumuz<br />
m = m0<br />
if n%2 == 0: # Cift cozumler icin<br />
while k(n,m)*tan(k(n,m)*L) < (k0_sq-(k(n,m)**2))**0.5:<br />
m += m0 # adimimizi arttiriyoruz<br />
if k(n,m) > k0: #son parca icin emniyet subabi<br />
break # k nin k0'dan buyuk oldugu anda duruyoruz ve<br />
print h2m*(k(n,m)**2) - V0 # ekrana yaziyoruz.<br />
else: # Tek cozumler, ayni mantik<br />
while -1*k(n,m)*cot(k(n,m)*L) < (k0_sq - (k(n,m)**2))**0.5:<br />
m += m0<br />
if k(n,m) > k0:<br />
break<br />
print h2m*(k(n,m)**2) - V0 # Bazi kitaplar kuyunun dibini 0 alir o zaman V0'i<br />
# silebilirsiniz. <br />
<br />######################################<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Yukarıdaki grafikte verilen örnek için yazılmış bu kodu çalıştırdığımızda enerji değerleri eV cinsinden aşağıdaki gibi bulunur:<br />
</div>
6 tane cozum var. Enerjiler:<br />
-9.70204904621<br />
-8.81234584649<br />
-7.34506318636<br />
-5.33167725429<br />
-2.8477862078<br />
-0.223618800482Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-92137557713390694502012-05-19T07:52:00.006-07:002012-05-19T08:24:10.680-07:00"Dolu" Dolu Düşünceler<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNprjmumprO3anWMgUxNX4i2SiT8sXE3u_w56dwx1AByTJ6etxezyUGSGhVUezvKerpDBbIZnIHXsqNf4XkFrAJiJLTWk2aSOejt-pOYJErxXDuRLi7whVs68D1WRG8tPF7ZMz_dkqhaeq/s1600/dolu-hasari-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNprjmumprO3anWMgUxNX4i2SiT8sXE3u_w56dwx1AByTJ6etxezyUGSGhVUezvKerpDBbIZnIHXsqNf4XkFrAJiJLTWk2aSOejt-pOYJErxXDuRLi7whVs68D1WRG8tPF7ZMz_dkqhaeq/s400/dolu-hasari-1.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Dün kampüsten Tübitak'a gitmek için yola çıktım ve arabanmn tepesine bunlardan yağdı. 20-30 tane küçük çaplı ezik var tavanda ve ön kaportada. Arabanın içinde çıkan sesleri duyduğumda çok daha kötüsünü bekliyordum. Buna da şükür... </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Peki bu "sevimli" şeyler hangi hızla çarpıyorlar arabaya? Üzerinde kafa yorunca biraz ürkütücü bir sonuç çıktığını gördüm: Dolu tanesi ne kadar büyük olursa o kadar hızlı çarpıyormuş !!! </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Aşağı düşen cisimler elbette ki yerçekimi ivmesi ile orantılı olarak hızlanırlar ancak hava gibi bir akışkanın içinde düşme söz konusu ise o zaman sürtünmeyi hesaba katmak gerekir. (Bu arada bu bloga yazdığım yazılar arasında şimdiye kadar en popüleri <a href="http://fizikkaralamalari.blogspot.com/2012/02/statik-ve-kinetik-surtunme-meselesi.html" target="_blank">yüzey sürtünmesi ile alakalı yazdığım yazı</a> idi, bu ilgi için teşekkürler) Akışkanlardaki sürtünme kuvveti yüzey sürtünmesinden çok farklıdır. Kuvvetin büyüklüğünü veren en genel formül şudur:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f%20=%20c_1v@plus;c_2v%5E2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%20=%20c_1v+c_2v%5E2" title="f = c_1v+c_2v^2" /></a>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bu iki terimden birincisine vizkozite terimi denir ve hız ile orantılıdır, ikinci terim ise basınç terimi diye isimlendirilir ve hızın karesi ile orantılıdır. Ancak pratikte karşılaşılan durumlarda iki terimin birden kullanıldığı durumlar çok nadirdir. Eğer "ağdalı" bir akışkan söz konusu ise birinci terim baskındır, hava gibi seyrek akışkanlarda ise (eğer cisim milimetre-mikrometre mertebesinde küçük değilse) her zaman ikinci terim baskındır. Dolayısı ile dolu tanemize etki eden kuvveti yazarken ikinci terimi alacağız. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Yerçekimi altında hızlanmaya başlayan cisim hızlandıkça üzerindeki sürtünme kuvveti de artacağından dolayı belli bir süre sonra "dinamik" bir denge durumu söz konusu olur ve hızlanma artık durur. Paraşütçülerin çok iyi bildikleri bu hıza limit hız ismi verilir. Biz dolu tanemizin limit hızda düştüğünü varsayalım ve bu hızı bulmaya çalışalım. Yukarıda verdiğimiz sürtünme kuvvetindeki ikinci terimin katsayısını biraz daha açık yazarak yerçekimi kuvveti ile birbirine eşitleyelim:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=mg%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DC%5Crho%20Av%5E2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?mg%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DC%5Crho%20Av%5E2" title="mg = \frac{1}{2}C\rho Av^2" /></a>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Burada sol taraftaki terim dolu tanemizin kütlesidir. Sağ taraftaki terim ise akışkan sürtünmesinde basınç terimi diye işaret ettiğimiz ikinci terimin daha detaylı yazılmış halidir. Rho ile ifade edilen şey havanın yoğunluğudur. A ise cismin hız vektörüne dik olan en büyük kesitinin alanıdır. (Paraşütçüler havadaki "duruşlarını" değiştirerek A'yı ayarlayıp hızlarını değiştirebilirler.) C ile ifade edilen şey ise sürtünme katsayısı (<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient" target="_blank">drag coefficient</a>) diye isimlendirilen birimsiz bir sayıdır. Bu sayı cismin şekline bağlı olup genelde 0 ile 1 arasındadır. Bir yağmur damlası için 0.04 iken küre için 0.47 dir. Başka geometrik şekiller için iki cümle önceki linke bakılabilir. </div>
<br />
Biz dolumuzun bir küre olduğunu varsayalım ve sol taraftaki kütle ifadesini ve sağ taraftaki kesit alan ifadesini buna göre açalım.<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E3%20%5Crho_%7Bbuz%7D%20g=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20C%5Crho_%7Bhava%7D%204%5Cpi%20r%5E2%20v%5E2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E3%20%5Crho_%7Bbuz%7D%20g=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20C%5Crho_%7Bhava%7D%204%5Cpi%20r%5E2%20v%5E2" title="\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{buz} g= \frac{1}{2} C\rho_{hava} 4\pi r^2 v^2" /></a>
<br />
<br />
Denklem sadeleştirildiğinde limit hız için aşağıdaki ifade bulunur:<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Clarge%20v%20=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cfrac%7B%5Crho_%7Bbuz%7D%7D%7B%5Crho_%7Bhava%7D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7BC%7Dgr%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20v%20=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cfrac%7B%5Crho_%7Bbuz%7D%7D%7B%5Crho_%7Bhava%7D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7BC%7Dgr%7D" title="\large v = \sqrt{\frac{2}{3}\frac{\rho_{buz}}{\rho_{hava}}\frac{1}{C}gr}" /></a>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu ifadenin bize söylediği şey iki misli büyük bir dolu tanesinin küçüğüne göre 1.4 kat daha hızlı kafamıza çarpacağıdır. Evet ben de bu yazıyı yazarken rakamı hesaplamamıştım şu anda yutkunup hesaplıyorum ve çıkan sonuca göre yorum yapacağım. :-) 2 cm çapında küresel bir dolu tanesi için:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Clarge%20v%20=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B916,7%7D%7B1,225%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B0,47%7D%5Ctimes9,8%5Ctimes0,01%7D=10,2%20m/s%20=%2036,7%20km/saat" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20v%20=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B916,7%7D%7B1,225%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B0,47%7D%5Ctimes9,8%5Ctimes0,01%7D=10,2%20m/s%20=%2036,7%20km/saat" title="\large v = \sqrt{\frac{2}{3}\times\frac{916,7}{1,225}\times\frac{1}{0,47}\times9,8\times0,01}=10,2 m/s = 36,7 km/saat" /></a>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Rakam çok etkileyici görünmeyebilir (bence iyi ki de öyle değil), ancak unutulmamalıdır ki bu hesapladığımız hız dolunun havaya göre olan hızıdır ve bilindiği gibi bu meretler genelde sakin havalarda yağmazlar. Rüzgarın hızı vektörel olarak yukarıda bulduğumuz hıza eklendiği zaman hatırı sayılır bir rakam çıkacağı aşikardır.<br />
<br />
Benim için burada esas ürkütücü olan tanelerin büyüklüğü arttığında hızın da ölçeğin karekökü ile orantılı olarak artmasıdır. Görenlerin "yumruk büyüklüğünde" diye tarif ettiği bir dolu tanesi için ise bu hızın saatte 100 km'yi aşabileceği aşikardır.<br />
<br />
Atmosfer olmasa halimiz dumandı diyesi geliyor insanın bir yandan da atmosfer olmasa zaten dolu da yağmazdı diyebiliriz. Zaten hayat da olmazdı kaskosuz arabayı nerede tamir ettireceğim derdi de... :-))<br />
<br />
Atmosfer olmasa idi demişken bir modern zaman klasiği ile bitirelim, bir çırpıda gaza gelerek yazdığım bu tuhaf yazıyı... Başrolde astronot David Scott, mekan Ay yüzeyi...<br />
<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="480" src="http://www.youtube.com/embed/MJyUDpm9Kvk" width="640"></iframe>
</div>Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-538542457961500832012-04-29T12:11:00.000-07:002012-04-29T12:11:00.901-07:00Nefis bir ölçekleme sorusu<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrWQm4pVfVP8Hu4-Dw2_XBg7M31YVIGIPM_mpwiR37MGS16Wr_3SsmL88_naw2532JX5iqb4wQJsuYFi1r5ueROzWKKgQ2ouOEKasTxUZFF-2f85mlsXy3QdzcHz-b_nnnrCRCUKjHqDWQ/s1600/Picture3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="135" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrWQm4pVfVP8Hu4-Dw2_XBg7M31YVIGIPM_mpwiR37MGS16Wr_3SsmL88_naw2532JX5iqb4wQJsuYFi1r5ueROzWKKgQ2ouOEKasTxUZFF-2f85mlsXy3QdzcHz-b_nnnrCRCUKjHqDWQ/s400/Picture3.png" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Fizikçilerin vazgeçemedikleri oyunlardan olan <a href="http://fizikkaralamalari.blogspot.com/2012/02/boyut-analizinin-gucu.html" target="_blank">boyut analizinden daha önce bahsetmiştim</a>. Bu oyunlardan bir diğeri de ölçekleme argümanlarıdır. Bu soru
Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü'nde sorulmuş çok güzel bir örnek
mevzuya: Gerçek bir helikopteri havada askıda tutmak için motorunun 100
beygir güç üretmesi gerektiğini varsayalım. Bu helikopterin aynı
malzemeden yapılmış her boyutu 10 kat küçük olan bir maketini havada
tutmak için motoru kaç beygir güç üretmelidir?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzgdvIh-Qfav_gEMQ0TbuZj8js9Xd4GIOYP94N2mi4Bwx7NPJkVPkAUx0ReyRaOAkUV7MNIuK7npNibtT7c6aAWrZdlUJsnkFG2fZAOr8VdIgIUU1hpviXQoHY2Q0xRRk1V4VY9VZHiwaX/s1600/Picture4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="129" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzgdvIh-Qfav_gEMQ0TbuZj8js9Xd4GIOYP94N2mi4Bwx7NPJkVPkAUx0ReyRaOAkUV7MNIuK7npNibtT7c6aAWrZdlUJsnkFG2fZAOr8VdIgIUU1hpviXQoHY2Q0xRRk1V4VY9VZHiwaX/s320/Picture4.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Helikopteri havada tutan kuvvetler üzerinden konuşmaya başlayalım. Hiç karmaşık fizik düşünecek havamızda olmadığımızı varsayalım ve eski dostumuz boyut analizi ile yolumuza devam edelim. Helikopterin pervanesinin süpürdüğü alan, pervanenin açısal hızı ve havanın yoğunluğunu kullanarak kuvvet boyutunda birşey yazmaya çalışırsak aşağıdaki formülü elde ederiz. İşlemin detayları için <a href="http://fizikkaralamalari.blogspot.com/2012/02/boyut-analizinin-gucu.html" target="_blank">boyut analizi yazımıza</a> bir göz atabilirsiniz.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=F%20%5Cpropto%20%5Crho%20A%5E2%20%5Comega%5E2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?F%20%5Cpropto%20%5Crho%20A%5E2%20%5Comega%5E2" title="F \propto \rho A^2 \omega^2" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Şimdi her boyut 10 kat küçülüyor ise A 100 kat küçülüyor, helikopterin ağırlığından başka bir şeye eşit olmayan F de 1000 kat küçülüyor demektir ki bu da şaşırtıcı bir sonuç olan açısal hızın <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Csqrt%7B10%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Csqrt%7B10%7D" title="\inline \sqrt{10}" /></a> kat ARTMASI anlamına gelir. (Küçük kuşlar daha hızlı kanat çırpıyorlardı değil mi? Neden acaba?)</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Aynı yaklaşımı motor gücü için yapalım. Aynı yaklaşımı derken karışık fizik formüllerine boğulmak istememeyi, hava sürtünmesi, kanat uzunluğu üzerinden alınan integralleri, kanat saldırı açısı ile uğraşmamayı kastediyorum. Eşittir yerine orantılıdır işlareti beni bu dertten kurtarıyor, zira bunlar birimsiz olan rakamlardan başka birşey getirmezler. Bana lazım olan "güç" boyutunda olan bir ifade. Aynı parametreleri kullanıyorum ama tabii ki bu sefer üsler değişik oluyor:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=P%20%5Cpropto%20%5Crho%20A%5E%7B5/2%7D%20%5Comega%5E3" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?P%20%5Cpropto%20%5Crho%20A%5E%7B5/2%7D%20%5Comega%5E3" title="P \propto \rho A^{5/2} \omega^3" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Sadece yerine koymak kaldı değişen özellikleri. Dediğimiz gibi alan 100 kat azalıyor. Açısal hız da 10'un karekökü kadar artıyor. Dolayısı ile güç <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=10%5E%7B7/2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?10%5E%7B7/2%7D" title="10^{7/2}" /></a> kat azalıyor. Bu da 100 beygir olan orjinal motorun 0,0316 beygircik (23 W) bir elektrik motoru ile değiştirilmesinin yeterli olacağı anlamına gelir.</div>Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com1Istanbul, Türkiye41.00527 28.9769640.621829500000004 28.345246 41.3887105 29.608673999999997tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-33417390676541355942012-04-11T06:09:00.000-07:002012-04-11T06:09:10.700-07:00Katı Açıya Dair<div style="text-align: justify;"><i>Güneş acaba gökyüzünün kaçta kaçını kaplıyor? Veya bir pencereden dışarı bakarken gökyüzünün kaçta kaçını görebiliyoruz? </i> </div><br />
<div style="text-align: justify;">Bazı kavramlar var, fizik kitapları matematiksel bir kavram diye üzerinde fazla durmuyor, kalkulus kitapları da doğru düzgün anlatmıyor. Ondan sonra fizikte önemli bir tanımda karşısına çıkıyor öğrencinin ve tam anlaşılmadığı için problem teşkil ediyor; kendi öğrenciliğimden biliyorum. Katı açı (solid angle) bunlardan biri...</div><br />
<div style="text-align: justify;">Ortaokul-liseden içselleştirdiğimiz açı ile çok benzeşiyor esasında katı açı kavramı. Ezbere bildiğimiz açının tanımını hatırlayıp gözden geçirmekle başlamak lazım. Açı dediğimiz şey iki doğrunun kesiştiği yerde tanımlanıyor, bu noktaya köşe diyoruz; öyle demeyelim artık nokta olarak kalsın. (Zira katı açı da bir noktada tanımlanıyor.) Başka?</div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJqH9wPjd0Er-SAKwTvFKlM4mfmJ4BeB6PkTFbIOpy1WMdYz6ZbsGyr2za5J6kICfgz_nPBmOKWrQtUkadlIkNDpnHrmq_2MpptY_DmaI2P5GpXBv5uzeTtEVroKrbSWYyLb0tF99vbs4w/s1600/Resim1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="136" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJqH9wPjd0Er-SAKwTvFKlM4mfmJ4BeB6PkTFbIOpy1WMdYz6ZbsGyr2za5J6kICfgz_nPBmOKWrQtUkadlIkNDpnHrmq_2MpptY_DmaI2P5GpXBv5uzeTtEVroKrbSWYyLb0tF99vbs4w/s320/Resim1.png" width="320" /></a></div><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">Açı için bize bir de "ölçü" lazım, iki doğru parçası arasındaki "açıklığı" veren bir ölçü. Bunun için de en tabii olan şeyi yapıyoruz. ORAN'ı kullanıyoruz. Merkezi O noktasında olan bir çember çiziyoruz ve doğru parçaları arasında kalan yayın uzunluğun (AB yayı) çemberin çevresine olan oranını ölçü olarak alıyoruz. Kimisi daha okunabilir olsun diye bu oranı 360 ile çarpıp ismine derece diyor, kimisi 400 ile çarpıp grad diyor kimisi de 2.pi ile çarpıp radyan diyor.</div><br />
<div style="text-align: justify;">2.pi ile çarpmanın arkasında güzel bir fikir var, zira yayın çemberin çevresine olan oranı yerine doğrudan yarıçapa olan oranı ölçü olarak kullanılabilir. Radyan da tam olarak bu demek zaten: Yay uzunluğu yarıçapa eşit olan açı. Bütün trigonometrik fonksiyon açılımlarında, hesap makinelerinde ve bilgisayarlarda karşımıza çıkan açının varsayılan ve en tabii ölçüsü budur: Yayın uzunluğunun yarıçapa oranı.</div><br />
<div style="text-align: justify;">Şimdi katı açıya gelebiliriz. Önce tek bir cümle ile özetleyecek olursak katı açı, açının 3 boyuta genelleştirilmiş halidir. Nasıl? Herşeyden önce yine açı gibi bir noktada tanımlanır burada bir fark yok. Açıda ölçü için bir oran kullanıyorduk, katı açının da ölçüsü olarak bir oran kullanıyoruz burada da fark yok. Fark şurada ki artık 3 boyutta olduğumuz için çember yerine küre, yay yerine de küre üzerinde bir kapalı bölge (veya sınırları belli bir alan) söz konusudur ve bu alanın kürenin yüzey alanına olan oranını ölçü olarak kullanmak lazımdır. Böyle yazınca gayet basit görünüyor. Ama kafa karıştırabilecek önemli bir nokta var:</div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0RsCVaEkvPadKJ1mdlGW55jqDk-kGSWkoP7iIakVN2kTuxg_n5WC8y07E5vnUCmffgWlGHJQJmKatE6vqF3rWdSQ52ig7Ujd8lnSSfuDOHYBtQVhGdPcJNY2thOjvorjuyatkkpc2XTP2/s1600/solid_angle.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0RsCVaEkvPadKJ1mdlGW55jqDk-kGSWkoP7iIakVN2kTuxg_n5WC8y07E5vnUCmffgWlGHJQJmKatE6vqF3rWdSQ52ig7Ujd8lnSSfuDOHYBtQVhGdPcJNY2thOjvorjuyatkkpc2XTP2/s400/solid_angle.gif" width="400" /></a></div><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">Eğer katı açısını ölçeceğimiz alan (bölge/cisim) bir kürenin yüzeyinde yer almıyorsa (bkz. yukarıdaki şekildeki koyu mavi düzlemsel bölge) ne yapmak lazımdır? O zaman bu bölgenin kendi çizdiğimiz bir hayali küre yüzeyi üzerinde radyal izdüşümünün (açık mavi bölge) alanı kullanılır. Kafa karıştırabilecek yegane nokta burasıdır dolayısı ile net bir şekilde tekrar etmek gerekirse yukarıdaki şekilde "S bölgesinin" "O noktasındaki" katı açısının ölçüsü küre üzerine izdüşümü olan ve açık mavi ile gösterilen alan yardımı ile hesaplanır.</div><br />
<div style="text-align: justify;">Elbette ki kürenin yüzey alanı yarıçapının karesi ile doğru orantılı olduğu için katı açınını ölçüsü olarak küre üzerindeki izdüşümün alanının yarıçapın karesine olan oranını alabiliriz. Bu şekilde tanımlanın bir ölçüye "steradyan" ismi verilir. Nasıl sıradan açıda tam açı 2.pi radyan oluyorsa katı açıda da tam katı açı 4.pi steradyan olur (çünkü kürenin yüzey alanı 4.pi.R^2 dir.)</div><br />
<div style="text-align: justify;">Alışık olunmayan ve güncel hayatta çok da kullanılmayan bir kavram olduğundan katı açı için söylenen rakamlar belli bir his vermeyebilir. Mesela dümdüz bir arazide bulunduğumuz noktaya göre gökyüzünün maviliği 2.pi steradyandır (yarım küre olduğu için) veya dikdörtgenler prizması şeklinde bir odanın tavanı ile duvarlarının birleştiği bir köşe noktasına göre odanın diğer duvarlarının toplam katı açısı pi/2 steradyandır. Yani bu köşe merkezli hayali kürenin sekizde birini örterler.</div><br />
<div style="text-align: justify;">Peki düzlem açı ile katı açı arasında bağıntılar var mıdır? Elbette! Hatta bu sayede basit geometrik şekillerin katı açıları kolayca hesaplanabilir. Mesela bir noktadan merkezi tam karşıdaki dik bir daireye baktığımızı varsayalım. Bu problem bir koninin tepe noktasına göre tabanının katı açısını hesaplamaya denktir.</div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWe04qKTIy04bVz_ZinSqsPY_OTlxVi4vkYnWljGFQ7C1zmnBAQxYja-75zqx3lkPwlqqQ9TOD10Opd-OmPEH4Do4Ot9GT50qHTZQPPkPaGJxqt1b3q5SNir52vOKQTvSsaa4EjhyASuYc/s1600/Picture1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWe04qKTIy04bVz_ZinSqsPY_OTlxVi4vkYnWljGFQ7C1zmnBAQxYja-75zqx3lkPwlqqQ9TOD10Opd-OmPEH4Do4Ot9GT50qHTZQPPkPaGJxqt1b3q5SNir52vOKQTvSsaa4EjhyASuYc/s320/Picture1.png" width="320" /></a></div><br />
<div style="text-align: justify;">Bu da yukarıdaki şekilden açıkça görülebileceği gibi merkeze göre katı açısını hesaplamak istediğimiz gri dairenin küre üzerine izdüşümü olan kırmızı "küre kapağının" alanını hesaplayıp yarıçap olan R'nin karesine bölerek bulunabilir. Bu kapağın alanı kürenin ekvator çemberinin çevresinin (R-h) ile çarpımıdır. (Bunun ispatına girmiyorum) Böylece kırmızı alan: </div><br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?2%5Cpi%20R%28R-h%29=2%5Cpi%20R%28R-R%5Ccos%5Ctheta%29=2%5Cpi%20R%5E2%281-%5Ccos%5Ctheta%29" title="2\pi R(R-h)=2\pi R(R-R\cos\theta)=2\pi R^2(1-\cos\theta)" /><br />
<br />
olarak yazılabilir ve bunu <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20R%5E2" title="\inline R^2" /> ye bölersek katı açı:<br />
<br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5COmega=2%5Cpi%281-%5Ccos%5Ctheta%29" title="2\pi(1-\cos\theta)" /><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">olarak koninin tepe yarım açısı (teta) cinsinden yazılabilir. Katı açı genelde omega sembolü ile gösterilir.</div><br />
<div style="text-align: justify;">Daire dışındaki geometrik şekillerin katı açılarını bulmak için bir dörtyüzlünün tepesine göre tabanının katı açı formülü kullanılabilir. </div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-9BD_3oH8IbXBa7EGJe6h1MN0v5Wha9SQhdxl0qIdSoiH11nXMpeTbDbqrAXjvp9mdZv1-A7xJk_afn3UC3XfrFCw-1pQ9zIWd7r9PRAeIFYutsgcs5eSl-LppO689UamECAX93p1ueiS/s1600/Picture2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-9BD_3oH8IbXBa7EGJe6h1MN0v5Wha9SQhdxl0qIdSoiH11nXMpeTbDbqrAXjvp9mdZv1-A7xJk_afn3UC3XfrFCw-1pQ9zIWd7r9PRAeIFYutsgcs5eSl-LppO689UamECAX93p1ueiS/s320/Picture2.png" width="317" /></a></div>ABC üçgeninin O noktasına göre katı açısını veren formül:<br />
<br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5COmega=%5Cphi_%7BOAB%7D+%5Cphi_%7BOBC%7D+%5Cphi_%7BOAC%7D-%5Cpi" title="\Omega=\phi_{OAB}+\phi_{OBC}+\phi_{OAC}-\pi" /><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">olarak yazılabilir. Sevimli ve basit görünen bu formülde dikkat edilmesi gereken şey <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C%20%5Cphi" title="\inline \phi" /> açılarının "düzlemler arası açılar" (iki düzleme dik olan vektörler arası açı - dihedral angles) olduğudur. </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Hemen diğer çok kenarlılara genelleştirilebilecek bu formülü mesela bir beşgen piramit için kullanacak olursak beş köşeyi tepeye birleştiren 5 ardışık düzlem arasındaki açıların toplamından beşgenin iç açılarının toplamı olan 3.pi'yi çıkararak bulabiliriz.</div><br />
Mevzu hakkında daha detaylı bilgi için: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle">http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle</a> adresine bakılabilir.Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-45962543840162732202012-03-23T01:18:00.004-07:002021-05-24T04:38:18.187-07:00Çanak Anten Formülü<div class="separator"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiohAML7jh27GTUybWzzskIHSpIfJ_pshbWL9qHePwshT6ATmfZD5aRZClAJNwkeBfKtwW2-70zfeJBfy9y7uwNCSeTUieNxwcSlimFXRVNrq53G5dvJesgfDWqNMgLSgsN2wNXNDEQesH/s1600/P1010110.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiohAML7jh27GTUybWzzskIHSpIfJ_pshbWL9qHePwshT6ATmfZD5aRZClAJNwkeBfKtwW2-70zfeJBfy9y7uwNCSeTUieNxwcSlimFXRVNrq53G5dvJesgfDWqNMgLSgsN2wNXNDEQesH/s400/P1010110.jpg" width="388" /></a></div> <br />
<div style="text-align: justify;">Bir önceki yazıda ispatladığımız gibi yer-sabit (geostationary) uydular ekvator düzleminde yer alan 42.164 km yarıçaplı bir çember üzerinde dolanırlar. Şu anda bu yörüngede 300'den fazla uydu vardır. Bu uyduların konumları ekvator üzerine izdüşümlerinin meridyeni ile verilir. Örnek olarak yer-sabit bir uydu olan TÜRKSAT uydusu 42 derece doğu meridyeni üzerinde yer alır. Peki dünya üzerinde herhangi bir noktadan herhangi bir uyduya çevirdiğimiz çanak anteninin yönü ne olmalıdır? Vektör işlemleri ve koordinat sistemi dönüşümleri ile bu soru da kolayca cevaplandırabilir. </div><br />
<div style="text-align: justify;">Dünyanın mükemmel bir küre olduğunu varsayalım; (bu varsayımın hassasiyetine en son bakarız.)</div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS7oRqZyzPNAzPV-h33v5dZeF5DD9evLNtTUdjUKD9g1J2REuJFUwgUyK226b1aIWi21uKvZYsgFw3mGGliMhDNkXCHUEnLxc0QvP5QLdpeTRRhD54JA62PVT5zj-eG64rZDrHQQ2xoyyX/s1600/Resim3.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="393" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS7oRqZyzPNAzPV-h33v5dZeF5DD9evLNtTUdjUKD9g1J2REuJFUwgUyK226b1aIWi21uKvZYsgFw3mGGliMhDNkXCHUEnLxc0QvP5QLdpeTRRhD54JA62PVT5zj-eG64rZDrHQQ2xoyyX/s640/Resim3.jpg" width="640" /></a></div><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">İki koordinat sistemi seçiyoruz. Birincisi orjini dünyanın merkezinde olan, z-ekseni kuzey kutbundan çıkan, x-ekseni 0 derece meridyeni ile ekvatorun kesişim noktasından çıkan kartezyen koordinat sistemi olsun. Bu koordinat sisteminde yer-sabit uydunun konumunu <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7BR%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BR%7D" title="\overrightarrow{R}" /></a> vektörü ile; dünya üzerinde <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" title="\theta" /></a> paraleli ve <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cphi" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi" title="\phi" /></a> meridyeninde bulunan gözlemcinin konumunu ise <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7Br%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7Br%7D" title="\overrightarrow{r}" /></a> vektörü ile gösterelim. Bu durumda uyduya bakan gözlemci <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7BR%7D-%5Coverrightarrow%7Br%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BR%7D-%5Coverrightarrow%7Br%7D" title="\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}" /></a> vektörü yönünde bakmaktadır.</div><br />
<div style="text-align: justify;">Seçtiğimiz ikinci koordinat sistemi gözlemcinin konum vektörü için küresel koordinat sistemidir. Bu sistem aynı zamanda bu gözlemcinin yerel koordinat sistemidir. Öyle ki <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cwidehat%7Br%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cwidehat%7Br%7D" title="\widehat{r}" /></a> vektörü gök kubbenin "doruğunu" (zenith) gösterirken <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cwidehat%7B%5Ctheta%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cwidehat%7B%5Ctheta%7D" title="\widehat{\theta}" /></a> vektörü coğrafi kuzeyi (manyetik kuzeyle karışmasın) <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cwidehat%7B%5Cphi%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cwidehat%7B%5Cphi%7D" title="\widehat{\phi}" /></a> vektörü ise coğrafi doğu istikametini göstermektedir. Şapka sembolü birim vektörleri ifade etmektedir.</div><br />
Vektörlerimizi bu koordinat sistemlerinin birim vektörleri cinsinden yazalım.<br />
<br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOPUOov7H26XmrusXHgyqBziPfncH4nS-PGQszzwIPjQ627mWyAwOoGuycLEmvr1S0JmDaZXERbX4iDduesyxhHPar6JAuhHnzW844OX9JrNn-RwccMBvSU51t6ELnD5njeP6RMGlnxOEn/" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="26" data-original-width="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOPUOov7H26XmrusXHgyqBziPfncH4nS-PGQszzwIPjQ627mWyAwOoGuycLEmvr1S0JmDaZXERbX4iDduesyxhHPar6JAuhHnzW844OX9JrNn-RwccMBvSU51t6ELnD5njeP6RMGlnxOEn/s16000/image.png" /></a></div><br /><br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGlzw7IvjvpUNMO40QX33hoYc7iyfbi5xh45-qkDz-Qh8X3VyETNokkz2kneAeuqrGqCtkj3WhKxRJI-pVGWewAXbrff0PSBmPFmjy7knBawNMAHkf_4iJKDCER_VnVg1gCDwiN74hDMnQ/" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="17" data-original-width="61" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGlzw7IvjvpUNMO40QX33hoYc7iyfbi5xh45-qkDz-Qh8X3VyETNokkz2kneAeuqrGqCtkj3WhKxRJI-pVGWewAXbrff0PSBmPFmjy7knBawNMAHkf_4iJKDCER_VnVg1gCDwiN74hDMnQ/s16000/image.png" /></a></div><br /><br /><div style="text-align: justify;">Burada R bir önceki yazıda hesapladığımız 42.164 km. olup r ise dünyanın yarıçapı olan 6371 km. dir. (Küre kabulunde bu ortalama rakamı alıyoruz.) Bunun haricinde tanımladığımız küresel birim vektörlerinin kartezyen birim vektörler cinsinden ifadelerine de ihtiyacımız olacak:</div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiv4zyt8-Vx12JAvCaU48AjU4sLDpuKxmSUZPOGWpZotW0D7I-psksa3SyERku_1KfAvlymn3hpLOkXvdNzWmwoPE9KV6k41OltJnvvOLmWD7V-28lGQLlNd_-Jceb6fyxIRV1TBwlD2JiD/" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="18" data-original-width="281" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiv4zyt8-Vx12JAvCaU48AjU4sLDpuKxmSUZPOGWpZotW0D7I-psksa3SyERku_1KfAvlymn3hpLOkXvdNzWmwoPE9KV6k41OltJnvvOLmWD7V-28lGQLlNd_-Jceb6fyxIRV1TBwlD2JiD/s16000/image.png" /></a></div><br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9oBKdohMtSJdyDkgaJ9P8R7LFwSgu2sTOS_JpqLSkvucwJOPVm3ZdNGYTEmg6E58PDX0m3XTP63udw_FoUnAKNNzjw9SS81qL6rcivFreo6eiUg5_bEODAggAO47NUE56sJM5vIaichhF/" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="22" data-original-width="281" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9oBKdohMtSJdyDkgaJ9P8R7LFwSgu2sTOS_JpqLSkvucwJOPVm3ZdNGYTEmg6E58PDX0m3XTP63udw_FoUnAKNNzjw9SS81qL6rcivFreo6eiUg5_bEODAggAO47NUE56sJM5vIaichhF/s16000/image.png" /></a></div><br /><br />
<div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghmxLEBWhEbOTJBkv5pHqSD7F4u5djXSs6WYl3c4F5GrwNoXY1u9oZRz2iOehwsajwyf7kpLrY7AJ2fyVoFLAViJ9hJOKnlrhJtxhjx9WytyXjWXzzGE67AvaZocxAHhQfMyUpPMydkk9I/" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="22" data-original-width="164" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghmxLEBWhEbOTJBkv5pHqSD7F4u5djXSs6WYl3c4F5GrwNoXY1u9oZRz2iOehwsajwyf7kpLrY7AJ2fyVoFLAViJ9hJOKnlrhJtxhjx9WytyXjWXzzGE67AvaZocxAHhQfMyUpPMydkk9I/s16000/image.png" /></a></div><br /><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Esas yapmamız gereken <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7BR%7D-%5Coverrightarrow%7Br%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BR%7D-%5Coverrightarrow%7Br%7D" title="\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}" /></a> vektörünün küresel sistemdeki birim vektörler yönünde izdüşümlerini bulmakdır. Böylece hangi coğrafi yönde ve ufuktan kaç derece yukarı bakılması gerektiğini bulmuş oluruz.</div><br />
<div style="text-align: justify;">Vektörler arasındaki açıyı bulmak için iki vektörü skaler çarpım yaptırıp boylarına böleceğiz. Bu işlem bize aranılan açının kosinüsünü verir. </div><br />
Önce doruk ile yapılan açıya bakalım. Bu açıya <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Calpha" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha" title="\alpha" /></a> ismini verelim. Bu durumda <br />
<br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgj3WtBf1NwhWrXR0yTCv3QtP0lxm9RInaQUc_iajMuCNrtqokK3IxFxBps0HcjxP4jxQJSk6raFzyjzzdTSD5FYbevjXsoWcdc8ceLciaQedzrHGwxXy3zxLpF-DgEO6PANYVjPckdAIXW/" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="66" data-original-width="151" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgj3WtBf1NwhWrXR0yTCv3QtP0lxm9RInaQUc_iajMuCNrtqokK3IxFxBps0HcjxP4jxQJSk6raFzyjzzdTSD5FYbevjXsoWcdc8ceLciaQedzrHGwxXy3zxLpF-DgEO6PANYVjPckdAIXW/s16000/image.png" /></a></div><br /><br />
<br />
<div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">eşitliğinin sağındaki ifadeyi hesaplamamız gerekmektedir. Bu ifadenin ters kosinüsünü alıp 90 dereceden çıkarırsak gözlemcinin uyduyu ufuktan kaç derece yukarıda (elevation) araması gerektiğini buluruz.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Peki gözlemcinin yüzünü hangi yöne çevirmesi gerekmektedir? Bunu bulmak için <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7BR%7D-%5Coverrightarrow%7Br%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BR%7D-%5Coverrightarrow%7Br%7D" title="\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}" /></a> vektörünün <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cwidehat%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cwidehat%5Ctheta" title="\widehat\theta" /></a> (kuzey) ile <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cwidehat%5Cphi" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cwidehat%5Cphi" title="\widehat\phi" /></a> (doğu) üzerinde izdüşümlerinin oranını hesaplayacağız. Bu oran bize yönü bildiren <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cbeta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbeta" title="\beta" /></a> açısının tanjantını verecektir.</div><br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?tan%5Cbeta=%5Cfrac%7B%28%5Coverrightarrow%7BR%7D-%5Coverrightarrow%7Br%7D%29.%5Cwidehat%7B%5Cphi%7D%7D%7B%28%5Coverrightarrow%7BR%7D-%5Coverrightarrow%7Br%7D%29.%5Cwidehat%7B%5Ctheta%7D%7D" title="tan\beta=\frac{(\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}).\widehat{\phi}}{(\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}).\widehat{\theta}}" /><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">(Burada beta eğer 0 derece ise kuzeyi, 90 ise doğuyu, 180 ise güneyi, 270 ise batıyı ifade eder.)</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Vektörlerin hepsinin kartezyen koordinatların birim vektörleri cinsinden ifadelerini yerine koymak kalıyor. Eğer sözüme güvenirseniz sonuçta çıkan formüllerin hiç de sevimli ve akılda kalıcı şeyler olmadığını söyleyebilirim. Dolayısı ile daha pratik olan şeyi tercih ediyorum ve bu hesabı bizim için yapan bir bilgisayar kodu veriyorum. Her zamanki gibi python dilinde. Sonuçlar sadece bu işi yapan bir web sitesi olan <a href="http://www.dishpointer.com/">www.dishpointer.com</a> ile tamamen uyumludur. Dolayısı ile küre varsayımımızın iyi işlediği söylenebilir. </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">NOT: Aynı programda R vektörü dünya üzerinde bir noktayı gösterecek şekilde değiştirilir, omega ve alfa iptal edilirse program bu noktaya doğru bakan yönü bulmak için de pekala kullanılabilir. (ör: Kıble yönü vs...) </div><br />
---------------<br />
import math as m # Trigonometri icin lazim<br />
<br />
def carp(a,b): # Once vektorleri skaler carpmayi ogretelim bilgisayara<br />
return a[0]*b[0]+a[1]*b[1]+a[2]*b[2]<br />
<br />
def skaler(c,a): # Simdi de bir vektoru bir skaler ile carpmayi<br />
d = [ ]<br />
d.append(c*a[0])<br />
d.append(c*a[1])<br />
d.append(c*a[2])<br />
return d<br />
<br />
def topla(a,b): # Iki vektoru toplamayi da ogretelim.<br />
c = [ ]<br />
c.append(a[0]+b[0])<br />
c.append(a[1]+b[1])<br />
c.append(a[2]+b[2])<br />
return c<br />
<br />
def boy(a): # Son olarak bir vektorun boyu nasil hesaplanir gosterelim<br />
return (a[0]*a[0]+a[1]*a[1]+a[2]*a[2])**0.5<br />
<br />
r_boy = 6371.0 # Dunya yaricapi<br />
R_boy = 42164.0 # Uydu mesafesi<br />
<br />
print 'KUZEY PARALELLERI POZITIF GUNEY PARALELLERI NEGATIF GIRILMELIDIR'<br />
<br />
teta = input('Paralel: ')*m.pi/180 # Girilen aciyi dereceden radyana cevirir<br />
<br />
print 'DOGU MERIDYENLERI POZITIF BATI MERIDYENLERI NEGATIF GIRILMELIDIR'<br />
<br />
fi = input('Meridyen: ')*m.pi/180<br />
<br />
print 'DOGU MERIDYENLERI POZITIF BATI MERIDYENLERI NEGATIF GIRILMELIDIR'<br />
<br />
omega = input('Uydu meridyeni: ')*m.pi/180<br />
<br />
# Birim vektorleri tanitalim<br />
<br />
r_bir = [m.cos(teta)*m.cos(fi),m.cos(teta)*m.sin(fi),m.sin(teta)]<br />
teta_bir = [-1*m.sin(teta)*m.cos(fi),-1*m.sin(teta)*m.sin(fi),m.cos(teta)]<br />
fi_bir = [-1*m.sin(fi),m.cos(fi),0]<br />
<br />
<br />
# Uydunun ve gozlemcinin konum vektorlerini tanimlayalim <br />
<br />
R = [R_boy*m.cos(omega),R_boy*m.sin(omega),0]<br />
r = skaler(r_boy,r_bir)<br />
<br />
Rr = topla(R,skaler(-1,r))<br />
alfa = 90 - 180*m.acos(carp(Rr,r_bir)/boy(Rr))/m.pi<br />
<br />
Dogu_iz = carp(Rr,fi_bir) # Dogu yonune izdusum<br />
Kuzey_iz = carp(Rr,teta_bir) # Kuzey yonune izdusum<br />
beta = 180*m.atan(Dogu_iz/Kuzey_iz)/m.pi<br />
<br />
if Dogu_iz*Kuzey_iz >= 0: # Bu kisim coklu deger alabilen<br />
if Dogu_iz < 0: # trigonometrik fonksiyonlarin<br />
beta = beta + 180 # degerlerinin karismasini onlemek<br />
else: # icindir.<br />
if Kuzey_iz < 0: # <br />
beta = beta + 180 #<br />
else: #<br />
beta = beta + 360 #<br />
<br />
print beta,'yonunde.'<br />
print 'Ufuktan',alfa,'derece yuksekte.'Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-44846126609463914792012-03-21T16:07:00.001-07:002012-03-23T01:15:54.674-07:00Yer-sabit uydular<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpSK-a1bqgDVINRYN9nsIogJIyDINCQZ_GR7txoBxgk5aADCZfaL0NHqopaXB6WDsucJELZ8reDhwYQ7yKceEHA02tooWsAQamqKS_4wJvRxYoqs7R4VL1EwA4vnZx3U7_LgUk8rTptdF3/s1600/Geostationaryjava3Dsideview.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpSK-a1bqgDVINRYN9nsIogJIyDINCQZ_GR7txoBxgk5aADCZfaL0NHqopaXB6WDsucJELZ8reDhwYQ7yKceEHA02tooWsAQamqKS_4wJvRxYoqs7R4VL1EwA4vnZx3U7_LgUk8rTptdF3/s1600/Geostationaryjava3Dsideview.gif" /></a></div><br />
<div style="text-align: justify;"><i>Fizik yardımı ile ne kadar az bilgiden ne kadar çok şey üretilebileceğini gösteren şahane bir örnektir bu. Öyle ki sadece Newton yerçekimi kanununu bilen meraklı bir lise öğrencisi bu yazıdaki herşeyi tek başına üretebilir.</i><br />
<br />
Dünya üzerindeki bir gözlemciye göre gökyüzünde SABİT bir noktada duran uydulara yer-sabit (geostationary) uydular denir. Televizyon yayınları başta olmak üzere birçok iletişim uygulamalarında aktif olarak kullanılmakta olan bu uyduların yörüngelerinin özelliklerinin ne olması gerektiği üzerinde düşünelim. </div><br />
<div style="text-align: justify;">1. YÖRÜNGE EKVATOR DÜZLEMİNDE OLMALIDIR. Zira ekvator düzlemi ile 0'dan farklı bir açı yapan herhangi bir yörüngede dolanan uydunun gökyüzündeki konumu nereden bakılırsa bakılsın sürekli "yukarı" ve "aşağı" olarak değişecektir; sabit bir noktada durması mümkün değildir. Bu o kadar sağduyuya hitap eden birşey ki "matematiksel ispata" kalkışmak işleri kolaylaştıracağına zorlaştırır. :-))</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">2. YÖRÜNGE ÇEMBERSEL OLMALIDIR. Eliptik yörüngelerde dolanan uydular bulundukları konuma göre hızlanır ve yavaşlarlar. (2. Keppler kanunu) Dünyanın dönme hızı ise (çok küçük değişimler ihmal edilirse) sabit olduğu için eliptik yörüngelerde olan uyduların yere göre sabit durması söz konusu olamaz.</div><br />
<div style="text-align: justify;">3. UYDUNUN DÖNME PERİYODU DÜNYANINKİNE EŞİT OLMALIDIR. Elbette! Aksi takdirde ya geri kalır ya da ileri gider, iki durumda da gökyüzünde sabit duramaz. </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Bu son koşul bize uydunun ne kadar uzakta olması gerektiğini de söyler çünkü periyot ile yarıçap arasında kesin bir bağıntı vardır. Bu bağıntı Newton yerçekimi kanununu kulanarak klasik mekanik ile kolayca hesaplanabilir. R yarıçaplı çembersel bir yörünge düşünelim. Dünya ile uydu arasındaki çekim kuvveti uyduyu böyle bir yörüngede tutmak için gerekli merkezcil kuvvete eşitlenirse:</div><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7BGM_dm_u%7D%7BR%5E2%7D=m_u%5Comega%5E2R" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BGM_dm_u%7D%7BR%5E2%7D=m_u%5Comega%5E2R" title="\frac{GM_dm_u}{R^2}=m_u\omega^2R" /></a><br />
<br />
Burada <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Comega" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega" title="\omega" /></a> uydunun açısal hızı olup periyoda aşağıdaki şekilde bağlıdır:<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Comega=%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega=%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D" title="\omega=\frac{2\pi}{T}" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">Bu ifadeyi üstteki denklemde yerine yazıp uydunun kütlesini iki tarafta sadeleştirir ve R'yi yalnız bırakırsak aşağıdaki bağıntıyı elde ederiz. </div><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=R%20=%20%5Csqrt[3]%7B%5Cfrac%7BGM_dT%5E2%7D%7B4%5Cpi%5E2%7D%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?R%20=%20%5Csqrt[3]%7B%5Cfrac%7BGM_dT%5E2%7D%7B4%5Cpi%5E2%7D%7D" title="R = \sqrt[3]{\frac{GM_dT^2}{4\pi^2}}" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">Bu formülde dünyanın kütlesi (M), evrensel yerçekimi sabiti ve (G) dünyanın dönme periyodu olan 23 saat 56 dakika 4.1 saniye yerine yazılırsa yarıçap 42,164 km olarak bulunur.<br />
<br />
Bu büyük çember üzerine yerleştirilen uyduların konumları ekvator üzerine izdüşümlerinin MERİDYENİ ile ölçülür. Şu anda yörüngede bulunan yer-sabit uyduların ve konumlarının listesine <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_satellites_in_geosynchronous_orbit" target="_blank">buradan ulaşılabilir</a>. Görülebildiği gibi uydular 0.1 derecelik farklarla bile yerleştirilebiliyorlar ki bu fark çember üzerinde yaklaşık 73 km. lik bir mesafeye denk gelir. Burada esas dikkat edilmesi gereken sinyallerin girişim yapıp yapmamasıdır ki bu teknik mevzuya girmiyoruz.<br />
<br />
Bir sonraki yazıda vektör hesabı ve iki farklı koordinat sisteminin dönüşümlerini kullanarak dünyanın herhangi bir yerinden bakan bir gözlemcinin belli bir yer-sabit uyduyu hangi pozisyonda göreceğinin hesaplanmasını göstereceğim. </div>Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-4570113711754357532012-03-16T11:31:00.001-07:002012-06-05T13:42:30.692-07:00Nanotüp Nasıl İnşa Edilir?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdPnrh0S9UPWhdhEFmuYKMhhzz4mBNVdUDKGbV6SZn-S9vKIJikZULzh0SBZxkOZ9WbuHM5edma0g3U5mHppZldRCIbwpjStg9gInrTgrO1XFGWNPZs-1kgotzX-P3iiuDW0sr11waf1bB/s1600/wrap10-5.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdPnrh0S9UPWhdhEFmuYKMhhzz4mBNVdUDKGbV6SZn-S9vKIJikZULzh0SBZxkOZ9WbuHM5edma0g3U5mHppZldRCIbwpjStg9gInrTgrO1XFGWNPZs-1kgotzX-P3iiuDW0sr11waf1bB/s320/wrap10-5.gif" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
Karbon nanotüplerin yapısı grafin (<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Graphene" target="_blank">graphene</a>) denilen iki boyutlu balpeteğine benzer karbon tabakalarının yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi kıvrılıp bir silindir oluşturması şeklinde tasvir edilebilir. Hesaplamalı fizikte ve kimyada bu yapıların incelenmesi için öncelikle atomlarının koordinatlarının bilinmesi gereklidir. Geçen sene bir konferansda birisi bana bu işi yapabilen bir program bilip bilmediğimi sordu. Ben de hocamdan aldığım onun ABD'deki eski grubundaki birinin yazdığı programı fazla düşünmeden verdim. Ancak sonra böyle bir paylaşımın izinsiz yapılmasının sorun teşkil edebileceği söylendi bana. İnternette ve değişik kimya programlarında bu işi yapan hazır algoritmalar mevcut fakat açık kod olarak bulmak aktif olan bu konudaki rekabetten dolayı olsa gerek pek mümkün değil. Araştırmacılara faydalı olması ümidi ile burada bu iş için python dilinde yazdığım bir programın kodunu ve çalışma mantığını açıklıyorum. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieHKn2hJ2XOqsFimR_UmhD9ttMvhRnsatgCzcT_-Q5M5o4sAAUB-Gi8LZ66L-xl-TdzvdvCof0GGLOxwEuwpErfRTU33KwGGLuRlet6LQkuQOyOgj8PIIIWMUHHoi7f_32fzLFxomAifm0/s1600/graa.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieHKn2hJ2XOqsFimR_UmhD9ttMvhRnsatgCzcT_-Q5M5o4sAAUB-Gi8LZ66L-xl-TdzvdvCof0GGLOxwEuwpErfRTU33KwGGLuRlet6LQkuQOyOgj8PIIIWMUHHoi7f_32fzLFxomAifm0/s640/graa.PNG" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Karbon nanotüpler "kiralite" (chirality) denen (m,n) gibi bir sayı çifti ile tasvir edilirler. Bu (m,n) sayı çifti grafinin baz vektörleri cinsinden kiralite vektörünü tanımlar. Örneğin yukarıdaki şekilde grafinin baz vektörleri a ve b ile gösterilmiş olup (4,2) kiralitesindeki bir nanotüp için kiralite vektörü (C) gösterilmiştir. a vektörünün 4 katı b vektörünün 2 katı ile toplandığı zaman C vektörünü verir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Peki bu C vektörü ne işe yarar? C vektörü grafin tabakasının nasıl kıvrılıp tüp şekline getirilmesi gerektiğini gösterir. Tabaka öyle kıvrılmalıdır ki vektörün kuyruğundaki ve ucundaki örgü noktaları birbirinin üzerine gelsin. C haricinde önemli olan bir vektör de T vektörüdür. Bu vektör ismini ötelemeden (translation) alır ve tüpün ekseni boyunca kendini tekrarladığı minimum mesafeyi yani hücreyi tanımlar. Elbette ki T vektörü C vektörüne diktir. Nanotübümüzü inşa edebilmek için C'nin yanında T'yi de bilmek gerekir. O zaman işe T'yi hesaplamakla başlayalım. C'ye dik olma koşulunu yazarsak:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7BC%7D.%5Coverrightarrow%7BT%7D=%20%28m%5Coverrightarrow%7Ba%7D@plus;n%5Coverrightarrow%7Bb%7D%29%28T_a%5Coverrightarrow%7Ba%7D@plus;T_b%5Coverrightarrow%7Bb%7D%29=%200" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BC%7D.%5Coverrightarrow%7BT%7D=%20%28m%5Coverrightarrow%7Ba%7D+n%5Coverrightarrow%7Bb%7D%29%28T_a%5Coverrightarrow%7Ba%7D+T_b%5Coverrightarrow%7Bb%7D%29=%200" title="\overrightarrow{C}.\overrightarrow{T}= (m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b})(T_a\overrightarrow{a}+T_b\overrightarrow{b})= 0" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
olmak zorundadır. Parantezleri açıp aralarında 60 derece olan a ve b'nin nokta çarpımlarını yaparsak: </div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T_a%282m@plus;n%29@plus;T_b%282n@plus;m%29=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_a%282m+n%29+T_b%282n+m%29=0" title="T_a(2m+n)+T_b(2n+m)=0" /></a><br />
<br />
olur ve bu da aşağıdaki şekilde yazılabilir:<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7BT_a%7D%7BT_b%7D=-%5Cfrac%7B2n@plus;m%7D%7B2m@plus;n%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BT_a%7D%7BT_b%7D=-%5Cfrac%7B2n+m%7D%7B2m+n%7D" title="\frac{T_a}{T_b}=-\frac{2n+m}{2m+n}" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Burada T_a ve T_b'nin en küçük değerleri bize lazımdır. O yüzden sağdaki kesri sadeleştirebildiğimiz kadar sadeleştirmemiz lazımdır. Bunu matematiksel olarak ifade etmek (ve bilgisayara anlatmak) için payın ve paydanın ortak bölenlerinin en büyüğünü (obeb) bulup bölmemiz lazımdır. Böylece T_a ve T_b için aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T_a=-%282n@plus;m%29/obeb%282m@plus;n,2n@plus;m%29" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_a=-%282n+m%29/obeb%282m+n,2n+m%29" title="T_a=-(2n+m)/obeb(2m+n,2n+m)" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T_b=%282m@plus;n%29/obeb%282m@plus;n,2n@plus;m%29" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_b=%282m+n%29/obeb%282m+n,2n+m%29" title="T_b=(2m+n)/obeb(2m+n,2n+m)" /></a><br />
<br />
Şimdi buraya kadar olan kısmı bilgisayara anlatmaya çalışalım:<br />
<br />
-------------------------------------------------------------<br />
def obeb(A,B):<br />
while A: <br />
A, B = B%A, A<br />
return B<br />
<br />
m = input('Lutfen m\'yi giriniz: ')<br />
n = input('Lutfen n\'yi giriniz: ')<br />
hucre = input('Nanotup ekseni boyunca birim hucre sayisi: ') <br />
<br />
T_a = -1*hucre*(2*n+m)/obeb(2*m+n,2*n+m)<br />
T_b = hucre*(2*m+n)/obeb(2*m+n,2*n+m)<br />
---------------------------------------------------------------<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Elbette en küçük hücreli nanotüpü istemiyor olabiliriz, bu yüzden kullanıcıya kaç birim hücre istediğini de sorduk. En küçük birimi bulmak istiyorsak buraya 1 yazmamız lazım. Obeb için kullandığımız minik ve şirin fonksiyon ise <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm" target="_blank">Öklit algoritması</a> olarak bilinir. T vektörünü hesapladığımıza göre devam edebiliriz. Kıvırma işlemi sonucunda koordinatlarını yazmamız gereken bölge yukarıdaki şekilde gri ile gösterilen C ve T'nin oluşturduğu dikdörtgendir. Bir sonraki aşama bu kısmın içerisinde yer alan örgü noktalarının k ve l indislerinin belirlenmesi olmalıdır. Mesela şekildeki K noktası (1,3) indislerine sahiptir (1a+3b). İşte meselemiz hangi indis çiftinin gri bölge içerisinde yer alacağıdır. Bunu yapmak için vektörel çarpıma başvuruyoruz. Seçilen herhangi bir K noktasının içeride kalması için aşağıdaki eşitsizliklerin hepsinin sağlanması gerekmektedir:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7BC%7D%5Ctimes%5Coverrightarrow%7BOK%7D%5Cgeq%200" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BC%7D%5Ctimes%5Coverrightarrow%7BOK%7D%5Cgeq%200" title="\overrightarrow{C}\times\overrightarrow{OK}\geq 0" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7BOK%7D%5Ctimes%5Coverrightarrow%7BT%7D%5Cgeq%200" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BOK%7D%5Ctimes%5Coverrightarrow%7BT%7D%5Cgeq%200" title="\overrightarrow{OK}\times\overrightarrow{T}\geq 0" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Coverrightarrow%7BC%7D%5Ctimes%28%5Coverrightarrow%7BOK%7D-%5Coverrightarrow%7BT%7D%29%3C%200" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BC%7D%5Ctimes%28%5Coverrightarrow%7BOK%7D-%5Coverrightarrow%7BT%7D%29%3C%200" title="\overrightarrow{C}\times(\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{T})< 0" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%28%5Coverrightarrow%7BOK%7D-%5Coverrightarrow%7BC%7D%29%5Ctimes%5Coverrightarrow%7BT%7D%3C%200" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Coverrightarrow%7BOK%7D-%5Coverrightarrow%7BC%7D%29%5Ctimes%5Coverrightarrow%7BT%7D%3C%200" title="(\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{C})\times\overrightarrow{T}< 0" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Böyle birşey yazdığım için matematikçiler bana kızabilirler zira vektörlerle sayılar kıyaslanamaz ama burada kastettiğim şey sonuç vektörünün sayfanın dışına doğru mu içine doğru mu baktığıdır. Yani z-koordinatlarının işaretleridir. Parantezleri açıp vektörel çarpımları yaptığımızda bu ifadeyi aşağıdaki iki eşitsizlik haline getirebiliriz: </div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=mT_b-nT_a%3E%20ml-nk%5Cgeq%200" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?mT_b-nT_a%3E%20ml-nk%5Cgeq%200" title="mT_b-nT_a> ml-nk\geq 0" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=mT_b-nT_a%3E%20kT_b-lT_a%5Cgeq%200" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?mT_b-nT_a%3E%20kT_b-lT_a%5Cgeq%200" title="mT_b-nT_a> kT_b-lT_a\geq 0" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Şimdi bu söylediklerimizi koda dökme zamanı. Aklımda olan şey k'ya ve l'ye belli aralıktaki değerler için döngü yaptırıp yukarıdaki koşulu sağlayan çiftleri bir listeye kaydetmek. Tabii aralık ne olacak sorusu var; bunun için m,n,T_a ve T_b indislerinin toplamı yeterli olması lazım.</div>
-----------------------------------------------------<br />
<br />
aralik = m + n + abs(T_a) + abs(T_b) + 2<br />
kl_listesi = [ ]<br />
<br />
for k in range(-aralik,aralik):<br />
for l in range(-aralik,aralik):<br />
if (m*l-n*k) >= 0 and (m*T_b-n*T_a) > (m*l-n*k):<br />
if (k*T_b-T_a*l) >= 0 and (m*T_b-n*T_a) > (k*T_b-T_a*l):<br />
kl = [ ]<br />
kl.append(k)<br />
kl.append(l)<br />
kl_listesi.append(kl)<br />
<br />
------------------------------------------------------<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Böylece kl_listesi'ni ihtiyacımız olan ikililerle doldurmuş oluruz. Şimdi artık atomları yerleştirmeye (koordinatlarını yazmaya) başlayabiliriz. Bunun için elbette birim hücrede yer alan atomları önceden bir listeye yazmak gerek. Grafin'in birim hücresinde iki karbon atomu bulunur. Bunlar şekildeki içi dolu ve boş noktalarla gösterilmiştir. Yine içiçe döngü ile her baz atomunu kl_listesindeki her ikili ile eşleştirip ötelemek lazımdır. Tabii bir de baz vektörlerini de artık yazmanın vakti geldi. Bunu da grafindeki karbon-karbon bağı uzunluğu olan 1.42 Angstrom cinsinden yazabiliriz. </div>
<br />
-------------------------------------------------------<br />
bag_uzunlugu = 1.42<br />
<br />
a_x = bag_uzunlugu*(3**0.5)<br />
a_y = 0.0<br />
b_x = a_x/2<br />
b_y = b_x*(3**0.5)<br />
<br />
baz_atomlari = [[0,0],[b_x,bag_uzunlugu/2]]<br />
<br />
atom_listesi = [ ] <br />
for i in kl_listesi:<br />
for j in baz_atomlari:<br />
koordinatlar = [ ]<br />
koordinatlar.append(j[0]+i[0]*a_x+i[1]*b_x)<br />
koordinatlar.append(j[1]+i[0]*a_y+i[1]*b_y)<br />
atom_listesi.append(koordinatlar)<br />
<br />
-----------------------------------------------------<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Artık gri dikdörtgendeki atomların x-y koordinatları atom_listesi'nin içinde. Şimdi bu dikdörtgeni kıvırıp bir nanotüp yapmak istiyoruz. Bu işi yapan programlar genelde nanotüp eksenini z-ekseni ile çakışık hale getirirler. Bunu yapmanın en kolay yolu x-y eksenine göre teta açısı kadar yan duran dikdörtgenimizi "düzeltmek"ten geçer. Düzeltme ile kast ettiğimiz şey bir koordinat dönüşümüdür. Bir koordinat sistemini orjini etrafında saat yönünün tersinde teta açısı kadar döndürdüğünüzde yeni koordinatlar aşağıdaki formülle verilir.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x_2%5C%5C%20y_2%20%5Cend%7Bpmatrix%7D=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20cos%5Ctheta%20&%20-sin%5Ctheta%5C%5C%20sin%5Ctheta%20&%20cos%5Ctheta%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x_1%5C%5C%20y_1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x_2%5C%5C%20y_2%20%5Cend%7Bpmatrix%7D=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20cos%5Ctheta%20&%20-sin%5Ctheta%5C%5C%20sin%5Ctheta%20&%20cos%5Ctheta%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x_1%5C%5C%20y_1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" title="\begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Biz koordinat sistemimizi saat yönünde döndürmek istiyoruz dolayısı ile teta'nın işareti negatiftir bu da sadece sinüslerin işaretini ters çevirir. Elbette ki önce teta açısını hesaplamamız gerekir, bunun için de C vektörünün bileşenlerine ihtiyacımız vardır. Bir de trigonometrik fonksiyonları kullanma için python'un math modülünü çağırmamız gerekmektedir.</div>
<br />
--------------------------------------------------<br />
<br />
C_x = a_x*m + b_x*n<br />
C_y = a_y*m + b_y*n<br />
<br />
C_boy = (C_x**2 + C_y**2)**0.5<br />
<br />
import math<br />
<br />
teta = math.acos(C_x/C_boy)<br />
<br />
dondurulmus = [ ]<br />
for i in atom_listesi:<br />
koordinatlar = [ ]<br />
koordinatlar.append(i[0]*math.cos(teta)+i[1]*math.sin(teta))<br />
koordinatlar.append(-1*i[0]*math.sin(teta)+i[1]*math.cos(teta))<br />
dondurulmus.append(koordinatlar)<br />
<br />
---------------------------------------------------<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYbrkHBcd9VJGr-iccWObwS8E7Vw-17chqf11i8kgoQwEfliTfthRvWUstzjffA5GLPW1l5g8C67tBpVC1YPts04Ti5veSIwlYmeYQ4XAtu6HTWrimbL4WnrUJp7hxO1vGn0DExL12cReB/s1600/graa2.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="297" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYbrkHBcd9VJGr-iccWObwS8E7Vw-17chqf11i8kgoQwEfliTfthRvWUstzjffA5GLPW1l5g8C67tBpVC1YPts04Ti5veSIwlYmeYQ4XAtu6HTWrimbL4WnrUJp7hxO1vGn0DExL12cReB/s640/graa2.PNG" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Artık dikdörtgenimizin içinde yer alan atomlar yukarıdaki şekildeki gibi kayıt edilmişlerdir. (Dikey eksen henüz halen y-eksenidir ama bir sonraki basamakta y koordinatını z-koordinatı olarak yazacağız, burada yandaki şekille karışmasın diye erkenden z olarak isimlendirdik.) Son basamak olan kıvırma işlemini yapabilmek için bütün atomları yanda gösterildiği gibi bir çemberin üzerine dizmek gereklidir. C vektörünün uzunluğu çemberin çevresidir ve A'nın x koordinatının C'nin boyuna oranının 2 pi ile çarpımı alfa açısını radyan cinsinden bize verir. x ve y koordinatları alfanın trigonometrik oranları cinsinden yazılabilir:</div>
<br />
------------------------------------------------------<br />
T_x = a_x*T_a + b_x*T_b<br />
T_y = a_y*T_a + b_y*T_b<br />
T_boy = (T_x**2 + T_y**2)**0.5<br />
<br />
R = C_boy/(2*math.pi)<br />
<br />
kivrilmis = [ ]<br />
<br />
for i in dondurulmus:<br />
koordinatlar = [ ]<br />
alfa = 2*math.pi*i[0]/C_boy<br />
koordinatlar.append(R*math.cos(alfa))<br />
koordinatlar.append(R*math.sin(alfa))<br />
koordinatlar.append(i[1]-T_boy/2) # orjini z boyunca ortalamak icin<br />
kivrilmis.append(koordinatlar)<br />
<br />
---------------------------------------------------------<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Artık sadece yazdırmak kaldı. Bunu birçok kimya programının tanıdığı standart .xyz dosyası formatında yapalım. Bu formatta önce başa toplam atom sayısı yazılır, sonraki satır açıklamalara ayrılmıştır (boş bırakılabilir) ve sırasıyla atom sembolü, x,y ve z koordinatları araya boşluk bırakarak yazılır.</div>
<br />
---------------------------------------------------------<br />
<br />
print len(kivrilmis)<br />
print<br />
for i in kivrilmis:<br />
print '%s %8f %8f %8f' % ('C',i[0],i[1],i[2])<br />
<br />
----------------------------------------------------------<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Çıktıyı bir dosyaya yazdırıp MOLEKEL programı ile çizdirdiğim 4 birim hücreli bir (5,5) nanotüpün resmi aşağıdadır. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj22XPmRPZWV9HQJR2ecRvh97DIcP87NqwQlkYcd4G4BWxZM10XndMcdxrWnxPIM80PFjUlbdbT28EBdk8WQcOoyBDKLFOAdYk0zXI0jjxoGojsZXFFY7A_9QWcQS_C1WUc5Iwkpq1WTgab/s1600/a.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj22XPmRPZWV9HQJR2ecRvh97DIcP87NqwQlkYcd4G4BWxZM10XndMcdxrWnxPIM80PFjUlbdbT28EBdk8WQcOoyBDKLFOAdYk0zXI0jjxoGojsZXFFY7A_9QWcQS_C1WUc5Iwkpq1WTgab/s320/a.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Evet! Bu kısa kodla ilk resimde gösterilen işlemi yapmış olduk. Aynı mantıkla çalışan bir kodla prensipte sadece grafinden yuvarlanarak yapılan nanotüpler değil her türlü peryodik düzlemsel yapıdan elde edilebilecek nanotüplerin koordinatlarını bulmak mümkündür. Aynı "kiralite" mantığı birçok farklı yapıya genelleştirilip kullanılabilir.<br />
<br />
Yapılması gereken değişiklik baz vektörlerinde ve baz atomlarındadır. Bir de T vektörünü indisler cinsinden bulurken kodu yazmadan önce matematiği yukarıda gösterdiğimiz metod ile elle yapmak ve tam sayılar cinsinden bir formül türetmeye çalışıp ondan sonra koda yazılmalıdır zira bu işi baz vektörleri bileşenlerinden bilgisayarlara yaptırmaya kalkmak "floating point" meseleleri yüzünden riskli ve zahmetlidir. Yine gerekli indisleri yazdırırken kullanılan vektörel çarpımlar yeni baz vektörlerine göre kontrol edilmelidir. En kritik hususlar bunlardır. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bunlar haricinde nanotüpü eksen boyunca germe, sıkıştırma, eksene dik ölçeklendirme (şişirme veya büzüştürme) veya eksen etrafında burma küçük modifikasyonlarla elde edilebilir. Bu modifikasyonların da eklendiği en genel programı aşağıda veriyorum. ### ile işaretli yerler grafin dışında bir yapı ile çalışılmak isteniyorsa değiştirilmesi gereken yerlerdir. Son olarak seçtiğiniz baz vektörlerinin axb vektörel çarpımının pozitif olması lazımdır. </div>
<br />
-----------------------------------------------------------------<br />
import math # Trigononetrik fonksiyonlar icin lazim<br />
<br />
def obeb(A,B): # Ortak bolenlerin en buyugu fonksiyonu<br />
while A:<br />
A, B = B%A, A<br />
return B<br />
<br />
### bag_uzunlugu = 1.42<br />
<br />
### a_x = bag_uzunlugu*(3**0.5)<br />
### a_y = 0.0<br />
### b_x = a_x/2<br />
### b_y = b_x*(3**0.5)<br />
<br />
<br />
### baz_atomlari = [['C',0,0],['C',b_x,bag_uzunlugu/2]]<br />
<br />
print 'Kiralite (m,n) olarak tanimlaniyor'<br />
m = input('m\'yi giriniz: ')<br />
n = input('n\'yi giriniz: ')<br />
hucre = input('Hucre sayisini giriniz: ')<br />
T_olcek = input('T olceklendirmesi: ')<br />
C_olcek = input('C olceklendirmesi: ')<br />
burulma = input('Burulma acisi (derece): ')<br />
<br />
### T_a = -1*hucre*(2*n+m)/obeb(2*m+n,2*n+m)<br />
### T_b = hucre*(2*m+n)/obeb(2*m+n,2*n+m)<br />
<br />
aralik = m + n + abs(T_a) + abs(T_b) + 2<br />
kl_listesi = [ ]<br />
<br />
for k in range(-aralik,aralik):<br />
for l in range(-aralik,aralik):<br />
if (m*l-n*k) >= 0 and (m*T_b-n*T_a) > (m*l-n*k):<br />
if (k*T_b-T_a*l) >= 0 and (m*T_b-n*T_a) > (k*T_b-T_a*l):<br />
kl = [ ]<br />
kl.append(k)<br />
kl.append(l)<br />
kl_listesi.append(kl)<br />
<br />
atom_listesi = [ ]<br />
for i in kl_listesi:<br />
for j in baz_atomlari:<br />
koordinatlar = [ ]<br />
koordinatlar.append(j[0])<br />
koordinatlar.append(j[1]+i[0]*a_x+i[1]*b_x)<br />
koordinatlar.append(j[2]+i[0]*a_y+i[1]*b_y)<br />
atom_listesi.append(koordinatlar)<br />
<br />
C_x = a_x*m + b_x*n<br />
C_y = a_y*m + b_y*n<br />
C_boy = ((C_x**2 + C_y**2)**0.5)<br />
<br />
teta = math.acos(C_x/C_boy)<br />
dondurulmus = [ ]<br />
<br />
for i in atom_listesi:<br />
koordinatlar = [ ]<br />
koordinatlar.append(i[0])<br />
koordinatlar.append(i[1]*math.cos(teta)+i[2]*math.sin(teta))<br />
koordinatlar.append(-1*i[1]*math.sin(teta)+i[2]*math.cos(teta))<br />
dondurulmus.append(koordinatlar)<br />
<br />
T_x = a_x*T_a + b_x*T_b<br />
T_y = a_y*T_a + b_y*T_b<br />
T_boy = T_olcek*((T_x**2 + T_y**2)**0.5)<br />
<br />
R = C_olcek*C_boy/(2*math.pi)<br />
kivrilmis = [ ]<br />
<br />
for i in dondurulmus:<br />
koordinatlar = [ ]<br />
alfa = 2*math.pi*i[1]/C_boy<br />
beta = (T_olcek*i[2]*burulma/T_boy)*(math.pi/180)<br />
koordinatlar.append(i[0])<br />
koordinatlar.append(R*math.cos(alfa+beta))<br />
koordinatlar.append(R*math.sin(alfa+beta))<br />
koordinatlar.append(T_olcek*i[2]-T_boy/2)<br />
kivrilmis.append(koordinatlar)<br />
<br />
cikti = [ ]<br />
for i in kivrilmis:<br />
a = '%s %8f %8f %8f\n' % (i[0],i[1],i[2],i[3])<br />
cikti.append(a)<br />
<br />
isim = raw_input('Lutfen cikti dosyasi icin bir isim giriniz: ')<br />
dosya = file(isim,'w')<br />
dosya.write(str(len(atom_listesi)))<br />
dosya.write('\n')<br />
a = '('+str(m)+','+str(n)+') Nanotup. R = '+str(R)+' Ang. T = '+str(T_boy)+' Ang.\n'<br />
dosya.write(a)<br />
<br />
for i in cikti:<br />
dosya.write(i)Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-66360832580311431322012-03-07T14:49:00.000-08:002012-03-07T14:49:36.281-08:00Rastgelenin gücü: Monte Carlo<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZsTUCw8TwyAlUeTHLh_YttJZjb3bz7bl-PbhejqbOPrsETskGriYJmtTmm71xoQY2hA67_rVGyhNmYlgH-VvcABYvke-OJpTvItjJrix6iF0CkpGmJHGzJK2-hjj3wlzgZDteWz4vuATV/s1600/Pi_30K.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZsTUCw8TwyAlUeTHLh_YttJZjb3bz7bl-PbhejqbOPrsETskGriYJmtTmm71xoQY2hA67_rVGyhNmYlgH-VvcABYvke-OJpTvItjJrix6iF0CkpGmJHGzJK2-hjj3wlzgZDteWz4vuATV/s1600/Pi_30K.gif" /></a></div><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">Pi sayısını hesaplamanın değişik ve sıradışı bir yöntemi vardır:</div><br />
<div style="text-align: justify;">İçerisine çeyrek çember çizilmiş bir karenin içinde RASTGELE noktalar seçelim. Eğer seçimleriniz gerçekten rastgele(!) ise çeyrek çemberin içinde kalan noktaların sayısının tüm noktaların sayısına oranının çeyrek çemberin alanının karenin alanına oranına yakın bir sayı olmasını bekleriz. Bu alanların oranı da kolayca görülebileceği gibi <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cpi/4" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cpi/4" title="\pi/4" /></a>'e eşittir. Dolayısı ile sadece bir rastgele sayı üreteci ve bir koşul belirleyerek insanlığın bu en eski problemlerinden biri nispeten "zahmetsizce" çözülebilir. </div><br />
<div style="text-align: justify;">Bu tipteki yaklaşımlara Monte Carlo Yöntemi ismi verilir. 20. yy'nın büyük hezarfeni <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann" target="_blank">John von Neumann</a> tarafından Los Alamos'da atom bombası üzerinde çalışırken keşfedildiği rivayet edilir ve olasılığa (kabaca "şansa") dayalı yapısı nedeni ile meşhur kumarhanenin ismi ile isimlendirilmiştir. </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Günümüzde Monte Carlo yöntemi fizikten mühendisliğe, hesaplamalı biyolojiden uygulamalı istatistiğe, oyunlardan dizayna ve görsel uygulamalara, finans ve iş dünyası modellerinden telekominikasyona kadar geniş bir yelpazede kendisine uygulama alanı bulur. </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Sadece yukarıdaki pi sayısı örneğini düşünürsek üstteki paragraf biraz abartılı gelebilir zira bu problem az değişkenli bir problemdir ve geleneksel yollardan rahatça çözülebilir. Monte Carlo'nun gücü kendisini çok değişkenli fonksiyonlarda gösterir çünkü bu fonskiyonların integral hesaplamalarının klasik yollarla alacağı zaman fonksiyonun değişken sayısına ÜSTEL bağımlılık gösterir. Oysa Monte Carlo algoritması <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality" target="_blank">"boyutsallık laneti"</a> diye isimlendirilen bu durumdan bu kadar ağır etkilenmez ve yüksek boyutlu problemlerde avantaj sağlamaya başlar. </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Yukarıda animasyonu verilen pi sayısı hesaplama problemi için python dilinde yazdığım kısacık bir bilgisayar kodu ile bitirelim. Deneyip kendiniz de görebilirsiniz.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">import random # Python'da rastgele sayi üreten protokolun yer aldigi modul<br />
nokta_sayisi = 100000 # Toplam nokta sayisi<br />
icinde = 0 # cemberin icinde kalan nokta sayisi<br />
for m in range(nokta_sayisi):<br />
x = random.random() # bir noktanin x koordinati<br />
y = random.random() # ayni noktanin y koordinati<br />
if y < (1-x**2)**0.5: # Cember denkleminden cemberin icinde kalma kosulu<br />
icinde += 1 # eger kosul dogruysa icindeki nokta sayisini 1 arttirir<br />
pi_sayisi = 4*float(icinde)/float(nokta_sayisi)<br />
print 'Pi sayisi yaklasik olarak:', pi_sayisi</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Programı yürüttüğümde aldığım bazi sonuclar:</div><div style="text-align: justify;">3.14096</div><div style="text-align: justify;">3.14396</div><div style="text-align: justify;">3.14684</div><div style="text-align: justify;">3.13652</div><div style="text-align: justify;">3.1386</div><div style="text-align: justify;">3.13224 vs. vs. vs....</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div>Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-85723374566160193042012-03-03T14:15:00.000-08:002012-12-01T02:29:16.465-08:00Kainatın en temel ilkesi<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCkqZw8US0iu7sPiRffoYBBqxfEcKOQdrl0Dyy2CRFYMgs0Mbhu06xIonaNQ-759mXP-RfzaTpN864hwECsGuYQ3Dd9nV46A5DVhnrA5BHRKyk-Dsp4xfgMRTIuBgXUN7B_7kGptOcpply/s1600/1.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCkqZw8US0iu7sPiRffoYBBqxfEcKOQdrl0Dyy2CRFYMgs0Mbhu06xIonaNQ-759mXP-RfzaTpN864hwECsGuYQ3Dd9nV46A5DVhnrA5BHRKyk-Dsp4xfgMRTIuBgXUN7B_7kGptOcpply/s400/1.PNG" width="391" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Kendimizi üstteki şeildeki cankurtaranın yerine koyalım. Denizde bir adam boğulduğunu görüyorsunuz ve yerinizden fırlayıp adamı kurtarmaya koşuyorsunuz. Hangi yolu takip edersiniz? EN KISA olanı mı? Yoksa sizi adama EN KISA ZAMANDA ulaştıracak olanı mı? Elbette ikincisi. Koşma hızınız yüzme hızınızdan fazla olduğuna göre bunu yapmak için hangi noktaya kadar koşup ondan sonra yüzmeye başlamamız gerektiği üzerinde düşünelim. Suya girdiğimiz nokta O olsun. Karadaki hızım <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=v_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_1" title="v_1" /></a> sudaki hızım <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=v_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_2" title="v_2" /></a> ise karada geçirdiğim zaman <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Cfrac%7B%5Cleft%7CAO%5Cright%7C%7D%7Bv_1%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cfrac%7B%5Cleft%7CAO%5Cright%7C%7D%7Bv_1%7D" title="\inline \frac{\left|AO\right|}{v_1}" /></a> iken suda geçirdiğimiz zaman <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Cfrac%7B%5Cleft%7COB%5Cright%7C%7D%7Bv_2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cfrac%7B%5Cleft%7COB%5Cright%7C%7D%7Bv_2%7D" title="\inline \frac{\left|OB\right|}{v_2}" /></a> olur.Bu zaman ifadelerini x, h1, h2 ve L cinsinden de yazıp toplarsak toplam varış zamanımızı aşağıdaki gibi yazabiliriz:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=t%20=%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2@plus;h_1%5E2%7D%7D%7Bv_1%7D@plus;%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%28L-x%29%5E2@plus;h_2%5E2%7D%7D%7Bv_2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?t%20=%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2+h_1%5E2%7D%7D%7Bv_1%7D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%28L-x%29%5E2+h_2%5E2%7D%7D%7Bv_2%7D" title="t = \frac{\sqrt{x^2+h_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(L-x)^2+h_2^2}}{v_2}" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
İşte bu zamanı en kısa yapacak x'i bulmak istiyorum. Yani problemimiz t(x) fonksiyonunun minimumunu bulma problemine indirgenmiş oldu, bunu da x'e göre türev alıp sıfıra eşitleyerek yapabiliriz. Bu türevi alıp sıfıra eşitlersek aşağıdaki denklemi bulmuş oluruz. </div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bx%7D%7Bv_1%5Csqrt%7Bx%5E2@plus;h_1%5E2%7D%7D-%5Cfrac%7B%28L-x%29%7D%7Bv_2%5Csqrt%7B%28L-x%29%5E2@plus;h_2%5E2%7D%7D=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%7D%7Bv_1%5Csqrt%7Bx%5E2+h_1%5E2%7D%7D-%5Cfrac%7B%28L-x%29%7D%7Bv_2%5Csqrt%7B%28L-x%29%5E2+h_2%5E2%7D%7D=0" title="\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+h_1^2}}-\frac{(L-x)}{v_2\sqrt{(L-x)^2+h_2^2}}=0" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu denklemi çözersek prensipte x'i bulabiliriz ancak buna kalkışmayacağım zira burada vurgulamak istediğim başka bir şey. v1 ve v2'yi ayrı tutarsak geride kalan terimlerin şekilde (ne için şaretlediğimi merak ettiğiniz) açıların sinüsleri olarak yazılabileceği temel dik üçgen bağıntılarından görülebilir. Denklemimizi yeniden düzenlersek aşağıdaki şekle getirebiliriz.<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta_1%7D%7Bv_1%7D=%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta_2%7D%7Bv_2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta_1%7D%7Bv_1%7D=%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta_2%7D%7Bv_2%7D" title="\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}" /></a><br />
<br />
Tanıdık geldi mi biryerlerden?<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBj_aRH-BF3i7R2pzD1yGU0DB9zMQK-zbpy_DUqb7lUFFHFL7LDrmamtTkMDg9sNDiSQozdYbcCHbolocBEeDkF6fHS048GaLV1dKzVvePZU-gwh7GeGha4kOeYWLm2uQCiK54ySbxm9Dn/s1600/Picture11.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBj_aRH-BF3i7R2pzD1yGU0DB9zMQK-zbpy_DUqb7lUFFHFL7LDrmamtTkMDg9sNDiSQozdYbcCHbolocBEeDkF6fHS048GaLV1dKzVvePZU-gwh7GeGha4kOeYWLm2uQCiK54ySbxm9Dn/s400/Picture11.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirjXnkpWi8B_UldDaT07drMNarZzMDg9Q7HZyE82nGyDCxea51NHP5O1RnY00UszkGCoVyHmQ61s4D1KcnDg060Kvo-8ZRuoZTRuEcr4b8g7BYu8t_ZxUF_5eAbQS_fk0wWK5wcibf8QVX/s1600/C0028184-Refracted_Light-SPL.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a></div>
<br />
Evet, ışığın kırınımındaki Snell yasasından bahsediyorum:<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n_1%5Csin%5Ctheta_1=n_2%5Csin%5Ctheta_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n_1%5Csin%5Ctheta_1=n_2%5Csin%5Ctheta_2" title="n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2" /></a><br />
<br />
Buradaki n kırınım indisi denilen ve ışığın ortamdaki hızı ile ters orantılı olan, ortama bağlı bir sabittir. Görüldüğü gibi Snell yasası üstte türettiğimiz formülden başka birşey değil. Yani Maxwell denklemlerini sınırda çözmek yerine IŞIK EN KISA ZAMANDA VARACAK ŞEKİLDE bir yol izler prensibini kabul edersek Snell yasasını çok daha "kısa, basit ve değişik" bir yoldan türetebiliriz. Bu prensibe Fermat prensibi denir.<br />
<br />
"Güzel bir oyuncak ama başlık biraz iddialı değil mi? Sonuçta sadece ışığın hareketi hakkında bir ilke bu" diyebilirsiniz ancak Fermat prensibi esasında çok daha genel bir prensibin özel bir halidir. Bahsettiğimiz bu ilke EN AZ EYLEM ilkesidir. (Principle of least action). Bu ilke, kainattaki değişimlerin her zaman "eylem"i en az yapacak şekilde gerçekleşeceğini söyler. (Ben bunu kainat her zaman en "kestirme yolu" izler diye ifade etmeyi seviyorum.) Burada özel bir anlam yüklediğimiz "eylem" ile ne kastettiğimizi bir örnek ile açalım. Klasik mekanik üzerinden konuşacak olursak eylem (S) sistemin kinetik enerjisi (T) ile potansiyel enerjisinin (U) farkının zaman integrali olarak tanımlanır.<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S=%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%28T-U%29dt" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S=%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%28T-U%29dt" title="S=\int_{t_1}^{t_2}(T-U)dt" /></a><br />
<br />
Yani t1 ve t2 zaman aralığında sistem öyle bir değişir ki yukarıdaki fonksiyon en küçük değeri alsın. Bu kadar! Ne eylemsizlik prensibi, ne F = ma, ne etkiye tepki hiçbir Newton prensibini kullanmadan sadece azıcık matematik bilerek tamamıyla eşdeğer (ve esasında daha genel) bir klasik mekanik kurmak mümkündür! İnanılmaz değil mi!<br />
<br />
Ünlü fizikçi Feynman bu mevzu hakkında şöyle söylüyor: "Lise hocam bir gün fizik dersinden sonra beni yanına çağırdı ve "derste seni sıkılmış görüyorum; gerçekten ilginç birşey duymak ister misin" dedi ve öyle bir şey söyledi ki bunu inanılmaz derecede büyüleyici buldum. O günden beridir de hala büyüleyici bulurum. Söylediği şey "en az eylem" ilkesiydi."<br />
<br />
En az eylem ilkesinin uygulaması sadece klasik mekanik ile de sınırlı değildir. Klasik alan teorileri, kuantum mekaniği, kuantum alan teorisi, izafiyet teorisi gibi çok geniş sahalara genelleştirilmiştir ve bu, fiziksel bilimlerin en önemli genelleştirmelerinden biridir.<br />
<br />
Evet, kainat her zaman en kestirme yolu izler... </div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-51801657495495105462012-02-29T11:22:00.000-08:002012-02-29T11:22:00.752-08:00Artık Yıl Formülü<div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4z3I_-ovUEKwg3rzSiBC5d_h8WZCyC6CdRkMA5oTC1EEOb-4B6tDL8S1YN16v2PP7IY3Uc_vgxamyudkPhZo2-zMgdnjFdWBrYDu2s1U178To0S3CxtbsX3RKB9FUY0bebrw8vpfpWB3i/s1600/february29.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="268" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4z3I_-ovUEKwg3rzSiBC5d_h8WZCyC6CdRkMA5oTC1EEOb-4B6tDL8S1YN16v2PP7IY3Uc_vgxamyudkPhZo2-zMgdnjFdWBrYDu2s1U178To0S3CxtbsX3RKB9FUY0bebrw8vpfpWB3i/s320/february29.jpg" width="320" /></a></div>Şubat'ın 29 çektiği yıllara "artık yıl" diyoruz. Bu uygulamanın sebebi mevsimlerin kaymasını engellemek. Bu kaymanın sebebi ise bir "güneş yılı"nın 365 günden yaklaşık 6 saat kadar daha uzun olması. Bu da her 4 senede gün dönümlerinin yaklaşık bir gün kadar kaymasına sebep oluyor. Ancak bu "4 yılda bir 29 çeker" ezberi sadece bir ilk yaklaştırmadan ibaret. </div><br />
<div style="text-align: justify;">Zira bir güneş yılı tam olarak 365,25 gün değil. Daha hassas değeri ortalama olarak 365,2421896698 gün. (365 gün 5 saat 48 dk 45,19 sn) Ortalama diyorum çünkü dünya sadece kendi etrafında dönmüyor bu esnada bir topaç gibi <a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Praezession.png" target="_blank">presesyon ve nutasyon</a> hareketi yapıyor. Bu da yetmezmiş gibi diğer gezegenlerin konumlarından kaynaklanan yerçekimsel pertürbasyon işleri iyice karıştırıp kaotik hale getiriyor. O yüzden yıllar içerisinde ölçülmüş değerlerin ortalaması olarak yukarıdaki değeri alacağız. </div><br />
<div style="text-align: justify;">Basit bir matematik hesabı: Her yıl artan miktar 0,2421896698 gün. </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Neredeyse bir dünya standardı olan Gregoryen takvim üzerinden konuşmaya devam edelim. (Zira başka çözümler de mümkün mesela İran'da kullanılan Celali takvimi artık yıl konusunda çok daha sofistike, 33 yılda 8 artık yıl yapıp çok hassas sonuçlar elde edebiliyorlar.)</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">4'e bölünen yıllarda 1 gün eklersek: 0,25 yapıyor ki bu olması gerekenden biraz fazla. </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Düzeltme yapmak için 100'e bölünen yıllarda 1 "eklememek" tercih ediliyor. Bu durumda yıl başına 0,01 gün çıkarmış oluruz ve 0,24 buluruz. Bu sefer de kısa kaldı ! </div><br />
<div style="text-align: justify;">Bir sonraki düzeltme için esasında en tabii görünen seçim 500'e bölünen yıllar için bir önceki 100 kuralına bir istisna tanımak ve gün eklemek olabilir ancak bunun yerine 400 yılda bir bunu yapmak tercih edilmiş. </div><div style="text-align: justify;">[Bunun bir muhtemel sebebi düzeltme aralıklarını kısa tutmak ve bir sonraki hassas düzeltmeyi düşünmek olabilir gibi geliyor bana ilk bakışta; bu arada 2000 yılında 29 Şubat olmasının sebebi de bu, yani basit bir "4'e bölündüğü için" değil, 400'e bölünebildiği için. Mesela 1900 yılında 29 Şubat yoktu. 400 yılda olan birşeye tanıklık ettik esasında :-))]</div><div style="text-align: justify;">Neyse düzeltmeyi ekleyelim 1/400 + 0,24 = 0,2425. </div><br />
<div style="text-align: justify;">Elbette ki GÖZLEM herşeyin önünde gelir ve binlerce yıl söz konusu olduğunda takvimi gözleme göre ayarlamak gerekir dolayısı ile bir sonraki düzeltmenin ne olacağına sonra (çok sonra) karar verilebilir. Ama aynı ortalamanın sabit kalacağını düşünürsek 3200'e bölünen yıllarda gün "eklememek" pekala bir sonraki düzeltme olabilir. Zira 1/(0,2425 - 0,2421896698) ~ 3222 yıl ediyor.</div><br />
<div style="text-align: justify;">Zevkli bir mesele ve konu onlarca ayrı şekilde dallandırılabilir ama 29 Şubat çıkmadan bitirmek istediğimden burada bırakıyorum.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Ha bir de kayma miktarını gün cinsinden hesaplayabilecek basit bir bilgisayar kodu, python dilinde:</div><br />
kayma = 0<br />
<div style="text-align: justify;">for yil in range(1750,10000): # 1750 yılından 10000 yılına kadar</div><div style="text-align: justify;"> if yil%4 == 0:</div><div style="text-align: justify;"> kayma -= 1</div><div style="text-align: justify;"> if yil%100 == 0:</div><div style="text-align: justify;"> kayma += 1</div><div style="text-align: justify;"> if yil%400 == 0:</div><div style="text-align: justify;"> kayma -= 1</div><div style="text-align: justify;"> if yil%3200 == 0: # Bu sonuncu da benim eklediğim terim :-)</div><div style="text-align: justify;"> kayma += 1 </div><div style="text-align: justify;"> print yil, kayma</div><div style="text-align: justify;"> kayma += 0.2421896698</div><div style="text-align: justify;">################################</div><div style="text-align: justify;">Çıktısını bir dosyaya yazdırıp sonra gnuplotla <a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ee/Gregoriancalendarleap_solstice.svg" target="_blank">şu linkteki</a> bigi grafikler çizdirebilirsiniz.</div>Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-72401178513988247072012-02-28T00:21:00.000-08:002012-12-28T12:48:25.119-08:00Üstüste Duran Küreler<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4ZcgmnGtANOHOe1RwfwhHBFlCI8XphnjAf3w0d1DJzZ78oe0nfIpMz-NzDmFvveMm7LQ2IvhHChIYcLrAokRDH5aUsOHXVUvW8W3IMr81DFNw45mwkeEW-0kf7eDbtHis3HWETfiaDoia/s1600/spheres.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4ZcgmnGtANOHOe1RwfwhHBFlCI8XphnjAf3w0d1DJzZ78oe0nfIpMz-NzDmFvveMm7LQ2IvhHChIYcLrAokRDH5aUsOHXVUvW8W3IMr81DFNw45mwkeEW-0kf7eDbtHis3HWETfiaDoia/s400/spheres.jpg" width="396" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bu soru farklı zamanlarda farklı yerlerde soruluyor, bizim enstitüde de yıllar içinde popülerliğini kaybetmedi. Birkaç yıl önce soranlara hemen veririm diye hazırladığım bir word dosyası vardı. Onu buraya ekliyorum:</div>
<br />
***<br />
<div style="text-align: justify;">
Soru: Üst üste duran iki küreden üstteki yuvarlanmaya başlıyor. İki küre de kaymadan yuvarlandığına göre sistemin hareket denklemlerini yazınız. </div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Soru küre için sorulmuş ancak göstereceğimiz çözüm disk, içi boş çember, vs. gibi kesiti yuvarlak ve kütle merkezi ortada olan kütlesi bu merkez etrafında homojen dağılmış cisimlere de rahatlıkla uygulanabilir. Bu yüzden formalizmimizi genel tutmak istiyoruz ve eylemsizlik momentlerini <i>I</i> olarak bırakıyoruz. Küre olmasını istiyorsanız 2/5MR^2, disk veya silindir için 1/2MR^2 vs. sonradan yerine koyulabilir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Katı cisimlerin mekaniği ile alakalı olarak önemli bilgileri hatırlayacak olursak bir katı cismin kinetik enerjisi, kütle merkezinin ötelemesinden kaynaklanan öteleme kinetik enerji ile cismin kütle merkezi etrafında dönmesinden kaynaklanan dönme kinetik enerjisinin toplamı olarak ifade edilebilir. Ayrıca düzgün bir yerçekimi alanında yerçekimi merkezi kütle merkezi ile aynıdır ve potansiyel enerji kütle merkezinin konumundan hesaplanabilir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Bütün bunlardan yola çıkarak soruya doğrudan, basit ve analitik bir yöntemle yaklaşacağız. Referans sistemi olarak kendimize alttaki kürenin üzerinde yuvarlandığı düz yüzeye yapışık bir referans sistemi seçiyoruz. Eylemsiz olduğunu varsayacağımız bu referans sisteminde kürelerin kütle merkezlerinin kartezyen koordinatlarını kürelerin dönme açıları cinsinden yazacağız.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdmqGKRQAU1Z-aAGbfTa9QDhbx-YFDryYI1-59zNgsDEZtFYN23Ie8-s0AtUXepqaZ4pOVFFKh5Vsolymz-HsGwtEXCtSU_k0nj2b5wQ8Dm3rCOWRT5ugFoRXzE-sCHqswniHhezYum94b/s1600/k%C3%BCreler.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="371" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdmqGKRQAU1Z-aAGbfTa9QDhbx-YFDryYI1-59zNgsDEZtFYN23Ie8-s0AtUXepqaZ4pOVFFKh5Vsolymz-HsGwtEXCtSU_k0nj2b5wQ8Dm3rCOWRT5ugFoRXzE-sCHqswniHhezYum94b/s640/k%C3%BCreler.PNG" width="640" /></a></div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Üstte soldaki şekil sistemin ilk baştaki konumunu göstermektedir. Kürelerin üzerine koyduğumuz işaretler kırmızı ile gösterilmişlerdir. Yere göre durgun seçtiğimiz koordinat sisteminin orijini ise t = 0 anında alttaki kürenin merkezi üzerine gelecek şekilde seçilmiştir. Bu sistem şekillerde yeşil renk ile gösterilmiştir.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Şimdi sistemin belli bir zaman geçtikten sonraki durumunu gösteren sağdaki şekle bakacak olursak alttaki küre <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ctheta_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta_1" title="\theta_1" /></a> açısı kadar dönmüş ve sola yuvarlanmıştır. (A işaretinin yeni konumuna dikkat ediniz.) Kütle merkezinin y koordinatı değişmez ancak x koordinatı elbette ki değişir. Koordinatların detaylı hesabı aşağıda gösterilecektir.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Şimdi üstteki küreye odaklanalım. A' işaretinin yeni konumuna dikkat ediniz. İlk başta bu işaret tam aşağı doğru bakıyordu demek ki üstteki küre DO'A' açısı kadar kendi ekseni etrafında dönmüştür. Bu açı <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ctheta_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta_2" title="\theta_2" /></a> ile gösterilmiştir. Bu cismin dönme kinetik enerjisi yazılırken kullanılması gereken açı elbette ki bu açıdır.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Son olarak iki kürenin merkezini birleştiren doğrunun düşey düzlemle yaptığı açı <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" title="\theta" /></a> ile gösterilsin. Şimdi <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ctheta_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta_1" title="\theta_1" /></a>, <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ctheta_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta_2" title="\theta_2" /></a> ve <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta" title="\theta" /></a> arasındaki önemli bağıntıyı çıkaralım. Küreler birbirleri üzerinden kaymadan yuvarlandığına göre ACB yayı ile A'B yayının uzunluklarının birbirine eşit olması lazım gelir. Bu eşitliği yazarsak açılar arasında</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=R_1%28%5Ctheta@plus;%5Ctheta_1%29=R_2%28%5Ctheta_2-%5Ctheta%29" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?R_1%28%5Ctheta+%5Ctheta_1%29=R_2%28%5Ctheta_2-%5Ctheta%29" title="R_1(\theta+\theta_1)=R_2(\theta_2-\theta)" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
bağıntısını bulmuş oluruz. Demek ki bu üç açıdan ikisi bağımsız genelleştirilmiş koordinatlar olarak seçilebilir. Hangi ikisinin seçileceği tercih meselesidir ancak aşağıda gösterileceği gibi kartezyen koordinatlar en kolay <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Ctheta" title="\inline \theta" /></a> ve <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Ctheta_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Ctheta_1" title="\inline \theta_1" /></a> açısı cinsinden yazılabilmektedirler. Biz bu ikisini seçeceğiz.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Artık kürelerin kütle merkezlerinin kartezyen koordinatları için ifadelerimizi yazabiliriz. Alttaki küre ile başlarsak</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x_1=-R_1%5Ctheta_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_1=-R_1%5Ctheta_1" title="x_1=-R_1\theta_1" /></a> (yerde kaymadan yuvarlanma)<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=y_1=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_1=0" title="y_1=0" /></a><br />
<br />
Üstteki küreye bakacak olursak:<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x_2=%28R_1@plus;R_2%29%5Csin%5Ctheta-R_1%5Ctheta_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_2=%28R_1+R_2%29%5Csin%5Ctheta-R_1%5Ctheta_1" title="x_2=(R_1+R_2)\sin\theta-R_1\theta_1" /></a> (ilk terim alttaki küreye göre konum, ikinci terim yukarıdaki x_1 ifadesi)<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=y_2=%28R_1@plus;R_2%29%5Ccos%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_2=%28R_1+R_2%29%5Ccos%5Ctheta" title="y_2=(R_1+R_2)\cos\theta" /></a><br />
<br />
Öteleme kinetik enerjileri yazmak için bize bu ifadelerin türevleri gereklidir.<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cdot%7Bx_1%7D=-R_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7Bx_1%7D=-R_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D" title="\dot{x_1}=-R_1\dot{\theta_1}" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cdot%7By_1%7D=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7By_1%7D=0" title="\dot{y_1}=0" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cdot%7Bx_2%7D=%28R_1@plus;R_2%29%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%5Ctheta-R_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7Bx_2%7D=%28R_1+R_2%29%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%5Ctheta-R_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D" title="\dot{x_2}=(R_1+R_2)\dot{\theta}\cos\theta-R_1\dot{\theta_1}" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cdot%7By_2%7D=-%28R_1@plus;R_2%29%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7By_2%7D=-%28R_1+R_2%29%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Csin%5Ctheta" title="\dot{y_2}=-(R_1+R_2)\dot{\theta}\sin\theta" /></a><br />
<br />
Toplam kinetik enerji (dönme + öteleme) aşağıdaki gibi yazılır:<br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D[M_1%28%5Cdot%7Bx_1%7D%5E2@plus;%5Cdot%7By_1%7D%5E2%29@plus;M_2%28%5Cdot%7Bx_2%7D%5E2@plus;%5Cdot%7By_2%7D%5E2%29@plus;I_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5E2@plus;I_2%5Cdot%7B%5Ctheta_2%7D%5E2]" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?T=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D[M_1%28%5Cdot%7Bx_1%7D%5E2+%5Cdot%7By_1%7D%5E2%29+M_2%28%5Cdot%7Bx_2%7D%5E2+%5Cdot%7By_2%7D%5E2%29+I_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5E2+I_2%5Cdot%7B%5Ctheta_2%7D%5E2]" title="T=\frac{1}{2}[M_1(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2)+M_2(\dot{x_2}^2+\dot{y_2}^2)+I_1\dot{\theta_1}^2+I_2\dot{\theta_2}^2]" /></a><br />
<br />
Potansiyel enerji ise sadece üstteki küre için söz konusudur ve aşağıdaki gibi verilir. <br />
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U=m_2gy_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?U=m_2gy_2" title="U=m_2gy_2" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Artık iş bulduğumuz koordinatları ve türevlerini bu ifadelerde yerine yazmaya kalır. (Kinetik enerjideki <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Ctheta_2" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Ctheta_2" title="\inline \theta_2" /></a> terimi ise en başta türettiğimiz bağ şartından <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Ctheta" title="\inline \theta" /></a> ve <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cinline%20%5Ctheta_1" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Ctheta_1" title="\inline \theta_1" /></a> cinsinden yazılmalıdır.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Ctheta_2=%5Cfrac%7B%28R_1@plus;R_2%29%5Ctheta@plus;R_1%5Ctheta_1%7D%7BR_2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta_2=%5Cfrac%7B%28R_1+R_2%29%5Ctheta+R_1%5Ctheta_1%7D%7BR_2%7D" title="\theta_2=\frac{(R_1+R_2)\theta+R_1\theta_1}{R_2}" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cdot%7B%5Ctheta_2%7D=%5Cfrac%7B%28R_1@plus;R_2%29%5Cdot%7B%5Ctheta%7D@plus;R_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7BR_2%7D" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7B%5Ctheta_2%7D=%5Cfrac%7B%28R_1+R_2%29%5Cdot%7B%5Ctheta%7D+R_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7BR_2%7D" title="\dot{\theta_2}=\frac{(R_1+R_2)\dot{\theta}+R_1\dot{\theta_1}}{R_2}" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bütün ifadeleri yerie yazıp sistemin Lagranjiyenini yazacak olursak:</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=L=T-U" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?L=T-U" title="L=T-U" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D[M_1%28R_1%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5E2%29@plus;M_2%28%28R_1@plus;R_2%29%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2@plus;R_1%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5E2-2%28R_1@plus;R_2%29R_1%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5Ccos%5Ctheta%29@plus;I_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5E2@plus;I_2%28%5Cfrac%7B%28R_1@plus;R_2%29%5Cdot%7B%5Ctheta%7D@plus;R_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7BR_2%7D%29%5E2]-M_2g%28R_1@plus;R_2%29%5Ccos%5Ctheta" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?L=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D[M_1%28R_1%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5E2%29+M_2%28%28R_1+R_2%29%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2+R_1%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5E2-2%28R_1+R_2%29R_1%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5Ccos%5Ctheta%29+I_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%5E2+I_2%28%5Cfrac%7B%28R_1+R_2%29%5Cdot%7B%5Ctheta%7D+R_1%5Cdot%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7BR_2%7D%29%5E2]-M_2g%28R_1+R_2%29%5Ccos%5Ctheta" title="L=\frac{1}{2}[M_1(R_1^2\dot{\theta_1}^2)+M_2((R_1+R_2)^2\dot{\theta}^2+R_1^2\dot{\theta_1}^2-2(R_1+R_2)R_1\dot{\theta}\dot{\theta_1}\cos\theta)+I_1\dot{\theta_1}^2+I_2(\frac{(R_1+R_2)\dot{\theta}+R_1\dot{\theta_1}}{R_2})^2]-M_2g(R_1+R_2)\cos\theta" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
olarak yazılır. Geriye sadece bu uzun ifadeyi Lagrange denklemlerinde yerine koyup hareket denklemlerini yazmak kalır.</div>
<br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Cdot%5Ctheta%7D%7D%29-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Ctheta%7D%7D=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Cdot%5Ctheta%7D%7D%29-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Ctheta%7D%7D=0" title="\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot\theta}})-\frac{\partial{L}}{\partial{\theta}}=0" /></a><br />
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Cdot%5Ctheta_1%7D%7D%29-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Ctheta_1%7D%7D=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Cdot%5Ctheta_1%7D%7D%29-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BL%7D%7D%7B%5Cpartial%7B%5Ctheta_1%7D%7D=0" title="\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot\theta_1}})-\frac{\partial{L}}{\partial{\theta_1}}=0" /></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Unutulmamalıdır ki burada türettiğimiz Lagranjiyen fonksiyonu kaymadan yuvarlanma ve kürelerin birbirleri üzerinden ayrılmama şartı geçerli olduğu sürece geçerlidir. Bu da sadece hareketin başlarında doğrudur, kayma ve ayrılma durumu söz konusu olduğunda yukarıdaki inceleme serbsest cisim diagramları üzerinde yapılacak ayrı bir "dinamik" inceleme ile birleştirilmelidir.</div>
Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-83389455088378077142012-02-25T01:18:00.000-08:002012-02-25T01:18:03.972-08:00Topaç Hareketinden İlham Alanlar<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXmsNClPbkZQFWdpjiDbQpSWOVjW7610-DC_0EzJBfX193FV9cpXUjo2pd-MG7EUAjFiHVDwIjKE7S4lTCQzqbraOY3GIZ5WVuSLGV_yD8IZk1i62evZuEEyF6pofRdKZO32-nvft-QeuM/s1600/bohrpaul.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXmsNClPbkZQFWdpjiDbQpSWOVjW7610-DC_0EzJBfX193FV9cpXUjo2pd-MG7EUAjFiHVDwIjKE7S4lTCQzqbraOY3GIZ5WVuSLGV_yD8IZk1i62evZuEEyF6pofRdKZO32-nvft-QeuM/s400/bohrpaul.jpg" width="370" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Bohr ve Pauli bir topaca bakıyorlar. Modern fiziğin iki babası. Topaç hareketinin ilham verdikleri sadece onlar mı? Hayır.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">2004 yılı Nobel'ini alan Wilczek'in yalpalayarak dönen bir tabağın hareketi üzerine 2 saatlik bir ders verdiği rivayet edilir. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Bir başka Nobel ödüllü meşhur Feynman'ın yeni bir şeyler bulabileceğinden ümidi kesmeye başladığı dönemlere dair "Surely You're Joking Mr. Feynman" da aktardığı harika bir hatırası: </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">"Kantin'de oturuyordum. Adamın biri bir tabakla oynuyordu. Tabağı havaya fırlattığında hem yalpalayıp hem dönen tabağın üzerindeki kırmızı Cornell armasına dikkat ettim. Dönme hareketi yalpalama hareketinden daha hızlıydı. Yapacak işim yoktu ben de tabağın hareketini çözmeye başladım. Açı çok küçük olduğunda dönme hızı yalpalama hızının iki katıydı. [Esasında tam tersidir, Feynman muhtemelen yanlış hatırlamış burada] Ama sonuç karışık bir deklemden çıkıyordu. Bu sonucu daha basit görebilceğim bir yöntem var mıdır diye düşündüm ve şimdi hatırlamadığım bir yol buldum. Sonucu <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Hans_Bethe" target="_blank">Hans Bethe</a>'ye [2005'te ölen bir başka Nobelli baba fizikçi] gösterdim. O da ilginç olduğunu ama niye bunula uğraştığımı sordu. Sadece eğlence için dedim. Onun bu tepkisi hevesimi kırmadı ve yalpalama denklemleri üzerinde çalışmaya devam ettim. Sonra yörüngede dolanan relativistik elektronlar, sonra Dirac denklemi, sonra kuantum elektrodinamiği herşey sanki açılan bir şişeden dökülen sıvı gibi peşpeşe geldi. Durdurulabilecek gibi değildi. İş Nobel ödülüne kadar gitti. Ama o tabakla başladığını biliyorum." </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Feynman'ın yalpalayan tabağı ile alakalı güzel bir simülasyonunu <a href="http://demonstrations.wolfram.com/FeynmansWobblingPlate/" target="_blank">burada bulabilirsiniz.</a></div>Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7937497538500585349.post-55377058480829760452012-02-21T13:19:00.000-08:002012-02-21T13:19:39.743-08:00Kuğu ile Kerevit'in Hikayesi<div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWPQxbVmuqdNSDHKKnWPz4AK2z1aL-X6PhS_tpVFhU3ec9GEoY4IbN4NyibiyKra92q0ybbsR90CQLZQe4Tz6R9TuRpqbK1azTTlqIQeQp6i7f2DkVUKLDhEaAhsQ2Ep5We2nAlg_Rp_tr/s1600/swancrawfish.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="230" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWPQxbVmuqdNSDHKKnWPz4AK2z1aL-X6PhS_tpVFhU3ec9GEoY4IbN4NyibiyKra92q0ybbsR90CQLZQe4Tz6R9TuRpqbK1azTTlqIQeQp6i7f2DkVUKLDhEaAhsQ2Ep5We2nAlg_Rp_tr/s400/swancrawfish.png" width="400" /></a></div><br />
<br />
Bu soru Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsünde sorulmuş doktora yeterlilik sorularından biriymiş. Zamanında bir kitapta görmüştüm çok hoşuma gitmişti, basit deyip geçtiğimiz problemlere hiç düşünmediğiniz bakış açıları kazandıran ufuk açıcı türden birşey. Soru şöyle:</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">"Kerevit ile Kuğu nakliye şirketinin iki ortağı 150 kg kütleli dar ve uzunca bir kutuyu nasıl taşıyacakları konusunda tartışmaktadırlar. Kuğunun uygulayabildiği maximum kuvvet 700 N iken kerevitinki 350 N kadardır. <a href="http://fizikkaralamalari.blogspot.com/2012/02/statik-ve-kinetik-surtunme-meselesi.html" target="_blank">Statik sürtünme katsayısı</a> 0,5 dir. Beraber çalışsalar kutuyu hareket ettirebilecekleri bariz olan bu iki inatçı ortaktan ikisi de illa kendi yöntemi ile bu işi yapmak istemektedir. Her ikisinin de kendi yöntemi ile tek başına kutuyu hareket ettirebileceğini gösteriniz. Bu yöntemler nelerdir?</div><div style="text-align: justify;">Nakliyecilerin isimleri ve resim yöntemleri hakkında gerekli ipucunu vermektedir."<br />
<br />
Cevap bir sonraki yayımda, 2-3 güne yüklerim... </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div>Doganhttp://www.blogger.com/profile/15927271222657845919noreply@blogger.com2