Katı Açıya Dair

Güneş acaba gökyüzünün kaçta kaçını kaplıyor? Veya bir pencereden dışarı bakarken gökyüzünün kaçta kaçını görebiliyoruz? 

Bazı kavramlar var, fizik kitapları matematiksel bir kavram diye üzerinde fazla durmuyor, kalkulus kitapları da doğru düzgün anlatmıyor. Ondan sonra fizikte önemli bir tanımda karşısına çıkıyor öğrencinin ve tam anlaşılmadığı için problem teşkil ediyor; kendi öğrenciliğimden biliyorum. Katı açı (solid angle) bunlardan biri...

Ortaokul-liseden içselleştirdiğimiz açı ile çok benzeşiyor esasında katı açı kavramı. Ezbere bildiğimiz açının tanımını hatırlayıp gözden geçirmekle başlamak lazım. Açı dediğimiz şey iki doğrunun kesiştiği yerde tanımlanıyor, bu noktaya köşe diyoruz; öyle demeyelim artık nokta olarak kalsın. (Zira katı açı da bir noktada tanımlanıyor.) Başka?

Açı için bize bir de "ölçü" lazım, iki doğru parçası arasındaki "açıklığı" veren bir ölçü. Bunun için de en tabii olan şeyi yapıyoruz. ORAN'ı kullanıyoruz. Merkezi O noktasında olan bir çember çiziyoruz ve doğru parçaları arasında kalan yayın uzunluğun (AB yayı) çemberin çevresine olan oranını ölçü olarak alıyoruz. Kimisi daha okunabilir olsun diye bu oranı 360 ile çarpıp ismine derece diyor, kimisi 400 ile çarpıp grad diyor kimisi de 2.pi ile çarpıp radyan diyor.

2.pi ile çarpmanın arkasında güzel bir fikir var, zira yayın çemberin çevresine olan oranı yerine doğrudan yarıçapa olan oranı ölçü olarak kullanılabilir. Radyan da tam olarak bu demek zaten: Yay uzunluğu yarıçapa eşit olan açı. Bütün trigonometrik fonksiyon açılımlarında, hesap makinelerinde ve bilgisayarlarda karşımıza çıkan açının varsayılan ve en tabii ölçüsü budur: Yayın uzunluğunun yarıçapa oranı.

Şimdi katı açıya gelebiliriz. Önce tek bir cümle ile özetleyecek olursak katı açı, açının 3 boyuta genelleştirilmiş halidir. Nasıl? Herşeyden önce yine açı gibi bir noktada tanımlanır burada bir fark yok. Açıda ölçü için bir oran kullanıyorduk, katı açının da ölçüsü olarak bir oran kullanıyoruz burada da fark yok. Fark şurada ki artık 3 boyutta olduğumuz için çember yerine küre, yay yerine de küre üzerinde bir kapalı bölge (veya sınırları belli bir alan) söz konusudur ve bu alanın kürenin yüzey alanına olan oranını ölçü olarak kullanmak lazımdır. Böyle yazınca gayet basit görünüyor. Ama kafa karıştırabilecek önemli bir nokta var:

Eğer katı açısını ölçeceğimiz alan (bölge/cisim) bir kürenin yüzeyinde yer almıyorsa (bkz. yukarıdaki şekildeki koyu mavi düzlemsel bölge) ne yapmak lazımdır? O zaman bu bölgenin kendi çizdiğimiz bir hayali küre yüzeyi üzerinde radyal izdüşümünün (açık mavi bölge) alanı kullanılır. Kafa karıştırabilecek yegane nokta burasıdır dolayısı ile net bir şekilde tekrar etmek gerekirse yukarıdaki şekilde "S bölgesinin" "O noktasındaki" katı açısının ölçüsü küre üzerine izdüşümü olan ve açık mavi ile gösterilen alan yardımı ile hesaplanır.

Elbette ki kürenin yüzey alanı yarıçapının karesi ile doğru orantılı olduğu için katı açınını ölçüsü olarak küre üzerindeki izdüşümün alanının yarıçapın karesine olan oranını alabiliriz. Bu şekilde tanımlanın bir ölçüye "steradyan" ismi verilir. Nasıl sıradan açıda tam açı 2.pi radyan oluyorsa katı açıda da tam katı açı 4.pi steradyan olur (çünkü kürenin yüzey alanı 4.pi.R^2 dir.)

Alışık olunmayan ve güncel hayatta çok da kullanılmayan bir kavram olduğundan katı açı için söylenen rakamlar belli bir his vermeyebilir. Mesela dümdüz bir arazide bulunduğumuz noktaya göre gökyüzünün maviliği 2.pi steradyandır (yarım küre olduğu için) veya dikdörtgenler prizması şeklinde bir odanın tavanı ile duvarlarının birleştiği bir köşe noktasına göre odanın diğer duvarlarının toplam katı açısı pi/2 steradyandır. Yani bu köşe merkezli hayali kürenin sekizde birini örterler.

Peki düzlem açı ile katı açı arasında bağıntılar var mıdır? Elbette! Hatta bu sayede basit geometrik şekillerin katı açıları kolayca hesaplanabilir. Mesela bir noktadan merkezi tam karşıdaki dik bir daireye baktığımızı varsayalım. Bu problem bir koninin tepe noktasına göre tabanının katı açısını hesaplamaya denktir.

Bu da yukarıdaki şekilden açıkça görülebileceği gibi merkeze göre katı açısını hesaplamak istediğimiz gri dairenin küre üzerine izdüşümü olan kırmızı "küre kapağının" alanını hesaplayıp yarıçap olan R'nin karesine bölerek bulunabilir. Bu kapağın alanı kürenin ekvator çemberinin çevresinin (R-h) ile çarpımıdır. (Bunun ispatına girmiyorum) Böylece kırmızı alan: 

olarak yazılabilir ve bunu ye bölersek katı açı:

olarak koninin tepe yarım açısı (teta) cinsinden yazılabilir. Katı açı genelde omega sembolü ile gösterilir.

Daire dışındaki geometrik şekillerin katı açılarını bulmak için bir dörtyüzlünün tepesine göre tabanının katı açı formülü kullanılabilir.

ABC üçgeninin O noktasına göre katı açısını veren formül:

olarak yazılabilir. Sevimli ve basit görünen bu formülde dikkat edilmesi gereken şey açılarının "düzlemler arası açılar" (iki düzleme dik olan vektörler arası açı - dihedral angles) olduğudur.

Hemen diğer çok kenarlılara genelleştirilebilecek bu formülü mesela bir beşgen piramit için kullanacak olursak beş köşeyi tepeye birleştiren 5 ardışık düzlem arasındaki açıların toplamından beşgenin iç açılarının toplamı olan 3.pi'yi çıkararak bulabiliriz.

Mevzu hakkında daha detaylı bilgi için: http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle adresine bakılabilir.