Fizik Teorilerine Aksiyomatik Yaklaşım

Fiziği anlamak, öğretmek ve (özellikle) öğrenmekle ilgili olarak fevkalade önemli gördüğüm bu mesele hakkında uzun zamandır bir yazı yazmak istiyordum. Ancak mevzuya verdiğim önemden dolayı daha iyi nasıl yazılır diye düşüne düşüne yazmanın zorlaştığını hissettiğimden iyi-kötü bir şekilde başlayayım dedim; eksikleri kusurları yolda düzeltiriz umarım.

Pozitif bilimler çerçevesi içerisinde düşünüldüğünde fizik teorileri tabiatın en TEMEL tasvirlerini temsil etmektedirler. Bu cümleyi açmak gerekirse günümüz bilimsel metodunun neredeyse değişmez bir ilkesi haline gelen ve "indirgemecilik" diye isimlendirilen yaklaşım, bir bütünü anlamak için parçaları anlamanın gerekli ve yeterli olduğunu söylemektedir. İşte bu bağlamda maddenin ve enerjinin en küçük, en hafif, en temel yapı taşlarını inceleyen; dahası yine maddenin ve enerjinin -atomdan galaksiye- her ölçekte etkileşiminin en TEMEL kaidelerini konu edinmiş olan fiziğin indirgemecilik çerçevesinden diğer dallarla ilişkisi aşağıdaki şema ile gösterilir.

 

Böyle bir gösterim her ne kadar fizikçilerin hoşuna gitse de her bir kutu arasındaki okların (ters yönde) ifade ettiği indirgemeyi pratikte gerçekleştirmek (eğer imkansız değilse bile) hiç kolay değildir ve dolayısı ile her bilim dalının kendine ait bir metodolojisi gelişmiştir. Bu noktayı bir kenara bırakıp olaya vurgulamak istediğimiz çerçeveden bakacak olursak şemayı alttan yukarı doğru okumaya başladığımızda sosyal bilimlerin fen bilimlerinin değişik dallarına, fen bilimlerinin bu dallarının da eninde sonunda fiziğin ilgili bir dalına "prensipte" indirgenebileceği anlatılmaktadır. Şemada daha da yukarı gidildiğinde ise fizik "dallarının" yerini fizik teorilerine bıraktığını görürüz. Dolayısı ile "Fizik teorileri tabiatın en temel tasviridir" cümlesinde kast edilen şey açıklığa kavuşmuş olur.

Peki, en temel seviyedeki bir fizik teorisi NEDİR? Nasıl oluşur? Kendi içerisindeki yapısı nasıldır? İşte bu yazının konusu bu sorularla alakalı. Bu yazıda esas vurgulamak istediğim şey şemanın en yukarılarında yer alan izafiyet teorisi, kuantum teorisi gibi temel fizik teorilerinin kendilerinin de esasında bir elin parmağını geçmeyecek VARSAYIMLAR (postülatlar) üzerine kurulmuş olduğudur. (Bu önemli noktaya hemen döneceğiz.)

İzafiyet teorisine veya kuantum teorisine sadece kulak dolgunluğu olanlara (ki üzülerek birtakım "uzmanları" da buna dahil etmek zorundayım) izafiyet teorisinden bahset denildiğinde ışık hızının aşılamazlığı, madde-enerji denkliği, zamanın izafi oluşu (hatta zaman yolculuğu), vs. gibi kafalarda uçuşan fakat ayağı yere basmamış bilgi öbeklerini görürsünüz. Kuantum teorisine gelince iş daha traji-komik bir hal almaktadır. Bu teorinin doğayı kendine özgü "sıradışı" tasvirinden kaynaklanan özellikleri burada saymanın abesle iştigal olacağı kadar farklı şekillerde yorumlanmakta ve bir takım tuhaf mistik öğretilere bile temel teşkil edilmeye çalışılmaktadır. (Kuantum bilgi kuramında önemli uzmanlardan biri olan Vlatko Vedral'ın bir kitabını kitapçıda "sıradışı öğretiler" kısmında bir çok "kuantumlu" emsallerinin(!) yanında bulabilmiştim!)

Fizikçi olsun veya olmasın bu mevzuları ciddi olarak öğrenmek isteyen birinin herşeyden önce aşması gereken bu bilgi kirliliği ve "popülizm" duvarı zaman zaman mevzunun kendisinden çok daha büyük bir zorluk teşkil etmektedir. İtiraf etmeliyim ki bu duvarın örülmesinde fizikçilerin ve ciddi ders kitaplarının da sorumluluğu vardır. İzafiyet, kuantum gibi temel fizik teorilerinin anlatıldığı ders kitaplarında yazarlar benim tespit edebildiğim kadarı ile genel olarak 4 farklı metod ile konuya yaklaşır, bunlara kısaca değinip benim fikrimce en iyisi olan 4. metot üzerinden devam etmek istiyorum.(ANA FİKİRDEN KOPMAMAK İÇİN DOĞRUDAN DÖRDÜNCÜ MADDEYE ATLAYABİLİRSİNİZ)

1. TARİHSEL METOT: Bu metot ilk bakışta en pedagojik ve akla yatkın gibi görünen metottur. Anlatılan fiziksel teorinin tarih içerisinde kimler tarafından hangi yollardan hangi fikirsel süreçlerden geçerek, nasıl geliştiği, hangi deneyler ve karşıt fikirlerce sınandığı ve ne gibi sonuçlar doğurduğu öğretilmekle işe başlanır. Dediğim gibi başta gayet akla yatkın ve tutarlı gelse de insanların ömürlerini harcadıkları çalışmaların her detayı bir derste veya birkaç sayfada yeterince anlatılamamakta, arada ciddi fikir boşlukları oluşmakta, karşıt fikirler yeterince söylenmemekte, gerçek bir sorgulamadan ziyade kuru bir bilgi yığını olarak kalmakta ve dolayısı ile tesiri kağıt üzerinde göründüğü kadar iyi olmamaktadır. Zaten bütün bu detayları anlatırsanız ders fizik değil tarih dersine döner. Maksat teorinin kendisini öğrenmektir, nasıl geliştiği elbette çok güzel ancak ikincil bir sorudur.

2. FORMAL METOT: Richard Feynman'ın deyimi ile fiziğin EN KOLAY dili "maalesef" matematiktir. Bu metotta önce fiziksel teoride kullanılacak matematiksel yöntemler anlatılmaya başlanır. Bu yöntemleri anlamak ve uzmanlaşmak zaman gerektirir. Ondan sonra teorinin kolay bir şekilde akacağı ümit edilir. Ne var ki bilim adamları da dahil olmak üzere salt soyut matematikten zevk alan çok az sayıda kişi vardır ve bu metotun sıkıcı ve donuk kalma tehlikesi her zaman mevcuttur (ve çoğunlukla da öyle olur). Benim şahsi düşüncem gerekli matematiğin ancak "yeri geldiğinde ve yerinde" (evet gerekirse birkaç derslik kocaman bir parantez açılarak ve her aşamada ana konuya atıfta bulunularak ve fizikten asla kopmayarak) anlatılması gerektiğidir. Kendi derslerimde her zaman bu yöntemi kullandım ve en azından formal metot kadar sıkıcı olmadığını söyleyebilirim.

3. KAVRAMSAL METOT: Bu harika bir metottur! Feynman, Sakurai gibi büyük ustalar genelde bu metotla öğretmişlerdir. Mevzuya seçilen bir örnek (bu genellikle bir deney/düşünce deneyidir) üzerinden doğrudan, dolaysız bir biçimde girilir. Ana fikirler bu örnek sistem üzerinden öğretilmeye çalışılır. Feynman'ın 3. cildinde kuantum mekaniğine başlarken anlattığı ve birkaç ünite boyunca onun üzerinden devam ettiği çift yarık deneyi veya Sakurai'nin kitabının başındaki Stern-Gerlach deneyi ve spin kavramı bu metodun güzel örneklerindendir. Kavramlar bütünlük açısından hep bu örnek üzerinden anlatılır. Konuyu bilenler için çok güzel bir zihin egzersizi olabilen bu metodun zayıf kaldığı nokta ise sıfırdan başlayan öğrencilerde teorinin ana fikrinin tamamiyle deneye ait hususiyetler arasına sıkışabilmesi ve bazen de geri plana düşebilmesidir. Bu da birebir kendi derslerimde gözlemlediğim bir durumdur. Çift yarık deneyi üzerinden kuantum mekaniği anlatırken öğrenciler çoğu zaman deney düzeneğinin teknik detayları ile uğraşmakta ve zaten kırılgan olan dikkatleri ANA FİKİR'den çok rahat uzaklaşabilmektedir.

4. AKSİYOMATİK METOT: Bu yazının esas konusu bu metoddur! Hem kendi öğrenme sürecimde hem de öğretme sürecinde en çok bunu seviyor, destekliyor ve muhakkak yaymaya çalışıyorum. Bir teoriyi öğrenmenin ve öğretmenin en kolay, kestirme ve elbette ki DOĞRU yolu herşeyden önce TEORİ ne demek onu bilmek ve anlamaktır: Teori belli VARSAYIMLAR üzerine inşa edilmiş bir fikirsel yapıdır. Daha özel olarak bir fizik teorisi ise tabiatın belli kurallara göre davrandığı veya temsil edilebildiği VARSAYILARAK bu varsayımlar (aksiyomlar-postülatlar) üzerinden bir tabiat tasviri ortaya koymaktır. Dolayısı ile bir fizik teorisini de öğretmenin ve öğrenmenin en OLMAZSA OLMAZI o teorinin aksiyomlarından (postülatlarından) başlamaktır.

Bu metot başta soğuk ve didaktik gibi görünebilir ancak elbette ki ilk varsayımların çeşitli örnek sistemler üzerinden nasıl anlatılacağı ve sunulacağı pedagojik ve teknik bir meseledir. Önemli olan bu sürecin her parçasında POSTÜLATLARI vurgulamak teorinin bunların üzerinde inşa edildiğini unutmamak ve unutturmamak gerektir. Bu şekilde zihinlere yerleşmiş bir teori sıfırdan bir probleme yaklaşırken muazzam bir plan, kavrayış ve kuşatıcılık sağlar ve çoğu zaman yıkıcı olabilen "acaba birşey mi atlıyorum" tereddüdüne saplanmadan rahat, kendinden emin ve doğal bir şekilde çıkarımlara götürür. 

Bu bağlamda en "popüler" iki teorinin postülatlarını vererek hem fizikçiler hem olmayanlar için durumu biraz "kolaylaştırmaya" çalışalım. Kendim fevkalade sevdiğim ve yegane doğru yol kabul ettiğim ve sonuna kadar savunduğum bu yaklaşımın başkaları üzerinde de işe yarayıp yaramadığını merak ediyorum. Dolayısı ile bu yazıya alacağım geri bildirimler benim için önemli, paylaşırsanız çok sevinirim...

Özel izafiyet teorisi ile başlayacak olursak bu teori sadece iki postülat üzerine kurulmuştur:

1. Fizik yasaları eylemsiz referans sistemlerinde aynıdır. (Bütün eylemsiz referans sistemleri birbirine eşdeğerdir de denilebilir.)
2. Işık'ın hızı bir tabiat sabitidir (fizik yasasıdır) dolayısı ile her eylemsiz referans sisteminde aynı ölçülür. 

Bu kadar! Özel izafiyete dair başka ne duyduysanız bu postülatları DOĞRU KABUL EDEREK yürütülmüş düz mantık sonucunda elde edilmiştir.

Mesela birbirlerine göre sabit hızlı haraket halinde olan iki referans sisteminde saatlerin farklı hızlarda işlemesi öngörüsü tamamı ile bu iki postülatdan türetilebilir. Zaman farklı işliyorsa ışığın hızının aynı olması gerektiğinden dolayı mesafelerde farklı ölçülmek zorundadır; momentum ve enerjinin korunumu gibi yasaları 1. postülata göre korumak istiyorsanız momentum ve enerji tanımını değiştirmek zorunda olursunuz, derken enerjinin ifadesinin içerisine kütle de girer... vs. gibi sonuçlar detayları her ders kitabında bulunabilecek matematiksel akıl yürütmeler sonucunda çıkar. Ama işin temelinde dediğimiz gibi isabetli postülatlar yatar. Teorinin başarısı onların doğruluğuna bağlıdır. Deneyle en ufak bir uyuşmazlıkta postülatlardan birini veya birkaçını değiştirmek lazım gelir ve akıl yürütmeler tekrar devreye girer. Fiziksel bir teorinin yapısı ve oluşumu budur.

[Burada söylenmesi gereken çok önemli birşey varsa postülatlarıın sizi "felsefi" olarak rahatsız edip etmemesinin apayrı bir konu olduğudur. Hepimiz insan olduğumuz için inançlarımızın, kendimize has fikirlerimizin ve hatta takıntılarımızın olması normaldir ve büyük bilim adamları dahi bu tip önyargılar gereği zaman zaman teorilerinde bazı postülatları eklemiş veya çıkarmışlardır. Ancak tarih çoğu zaman bu tip yaklaşımların tehlikeli olduğunu göstermiştir. Einstein'ın sonradan "en büyük MESLEKİ hatam" dediği (mesleki lafını tekrar tekrar vurgulamak isterim) meşhur "kozmolojik sabit"i bunun en güzel örneklerinden biridir.

Bunun yanında bir teoride ne kadar az sayıda postülat kullanılmışsa teorinin o kadar "estetik" olduğunu söyleyenler de vardır (ki bu da felsefi bir yaklaşım olsa bile tuhaf bir şekilde her zaman salt matematikten zevk alanların gözüne güzel gözükmüştür). Ancak bir teorinin başarısında son ve MUTLAK karar mercii her zaman ve muhakkak deneysel sonuçlardır.]

Bir diğer örnek olarak üniversitede öğretilen standart relativistik olmayan kuantum mekaniği teorisi postülatlarına her birine küçük açıklamalarda bulunarak bakalım:

1. Fiziksel bir sistem konum ve zamana bağlı olan bir fonksiyon ile tasvir edilir.

Kuantum mekaniğinin en önemli postülatıdır ve bu teorinin tabiatı nasıl tasvir ettiğini ortaya koyar. Bu önceki tabiat tasvirlerinden o kadar radikal bir farklılık göstermektedir ki bu fonksiyonun KENDİSİNİN fiziksel olarak ne anlama geldiği hala dahi felsefi olarak tartışılan bir konudur ANCAK bu tartışmalar kunatum mekaniği teorisinin içinde yer almaz. Söylediğimiz gibi bu sadece bir ön kabuldür ve teorinin gerisi de zaten matematiksel bir yapıdan başka birşey değildir. Bunu ne daha fazla ne daha eksik olarak anlamamak ve fazla anlam yüklememek gerekir. İyi fizik yapmak istiyorsanız sağlıklı  düşünce şekli budur. Bu postülatta "sistem" ile kastedilen şey tek bir parçacık veya parçacıklar bütünü olabileceği gibi kuantum bilgi teorisinde geçen şekli ile incelenen bir "bilgi birimi" dahi olabilir. Dolayısı ile bu alabildiğince genel bir tanımlamadır ve zaten gücü de buradan gelmektedir.

2. Fiziksel olarak her GÖZLEMLENEBİLİR nitelik kuantum mekaniğinde (belli özelliklere sahip) bir İŞLEMCİ ile temsil edilir.

Gözlemlenebilir ile kasıt konum, enerji, momentum, açısal momentum vs. gibi niteliklerdir. İşlemci ile kast edilen bir önceki postülatta tanımlanan dalga fonksiyonu üzerine etki eden matematiksel bir işlemdir. Burada "belli özelliklere sahip" parantezini koymamın sebebi matematik alt yapısı olmayan okuyuculara "Hermityen bir işlemci olmak zorundadır" demek istemememden kaynaklanmaktadır.

 [Hermityen bir işlemci özdeğerleri reel sayılar olan ve öz fonksiyonları birbirleri ile örtüşmeyen, dik, normalize olmuş (ortonormal), fonksiyon uzayını "geren" (span) bir küme oluşturan bir işlemci demektir. Dolayısı ile 1. postülatta bahsedilen dalga fonksiyonu her zaman bu özfonksiyonların bileşimi olarak yazılabilir.]

Köşeli parantez içine yazdığım kısım tasvirin mantıken tutarlı olabilmesi için bu işlemcinin sahip olması gereken matematiksel özelliklerden başka birşey değildir.

3. Fiziksel bir sistemde bir nitelikin niceliği ölçüldüğünde sonuç olarak ölçülen niteliği temsil eden işlemcinin özdeğerlerinden bir tanesi bulunur. Bununla beraber sistemin dalga fonksiyonu da o özdeğere karşılık gelen özfonksiyona İNDİRGENMİŞ (veya göçmüş - "collapse") olur. Sistemin hangi özfonksiyona indirgeneceğinin (dolayısı ile ölçüm sonucunda hangi özdeğerin çıkacağının) sadece İHTİMALİ hesaplanabilir. Bu ihtimal, sistemin dalga fonksiyonu söz konusu olan işlemcinin öz fonksiyonları cinsinden yazıldığında hangi özfonksiyonun ne kadar katkı yaptığının (mutlak) karesi ile orantılıdır. 

Fevkalade matematiksel bir dille yazılan bu postülat (inanın bana en basit ifadesi bu) ÖLÇÜM POSTÜLATI olarak da bilinir ve 1. ve 2. postülatta ortaya konan soyut yapıyı fiziksel gerçeklik olan ölçüme bağlar. Bu postülatın söylediği en çarpıcı şey şüphesiz ölçüm sonucunu önceden "deterministik" olarak kestirmenin kuantum teorisi çerçevesinde İMKANSIZ olduğudur. Hesaplanabilen şeyin sadece ihtimaller olabileceğini söyler ve bu ihtimallerin nasıl hesaplanacağının yolunu gösterir. (Bazı özel durumlarda ihtimalin %100 olduğu bilinebilir ki bu genel çerçeve ile hiç çelişmez.) Bir diğer çarpıcı olan şey ise ölçüm işlemi sonucundaki göçmenin nasıl olduğunu söylememesidir. Bu nokta da felsefi olarak en çok tartışma yaratan noktalardan bir tanesidir ve fizikçiler arasında bile teorinin farklı yorumlanmasına yol açmaktadır.

4. Dalga fonksiyonunun zaman içerisindeki evrimi Schrodinger denklemine uyacak şekilde gerçekleşir.

Elbette ki dinamik bir teori olabilmesi için dalga fonksiyonunun zaman içerisinde değişimini de dahil etmesi lazımdır ve bu da Schrodinger tarafından ortaya atılan; konuma göre ikinci, zamana göre birinci mertebeden olan bir diferansiyel denklemle verilmiştir.

(Bu son postülat relativistik olmayan kuantum mekaniği teorisinde vardır. Relativite etkileri dahil edilmek istendiğinde bunun yerine Dirac denklemi kullanılır. Yine relativistik olmayan kuantum mekaniğinde spin gibi bazı kavramlar için ek postülatlar bulunabilir. Ancak işin özü genel olarak ilk 3 postülatta yatar diyebiliriz.)

[Yukarıda örnek olarak özel izafiyet ve kuantum mekaniği teorileri için verdiğim postülatların birçok alternatif biçimleri de mevcuttur. Bu, temelde ifade için kullanılan (ve dönemden döneme farklı tercihlere göre değişebilen) matematiksel dil ile ilişkili olup bütün biçimler MANTIKSAL ve MATEMATİKSEL olarak birbirine DENKTİR. Daha ilk yıllarda Schrödinger ile Heisenberg'in kunatum mekaniği formülasyonu farklı olduğu gibi yıllar içinde de birçok bilim adamı teoriyi farklı biçimlerde ifade etmişlerdir. Bunların tamamı (kendileri dahi her zaman bu kadar açıkca ifade etmeseler de) elbette ki anlattığımız aksiyomatik yapı içerisinde bir tasvir ortaya koymuşlardır ve tekrar etmek gerekirse bunlar birbirine denktir.]

Sonuç olarak fizikin ve onun temelini oluşturan fiziksel teorilerin yapısının iyi anlaşılması için bu teorilerin aksiyomatik bir yapı üzerine kurulmuş olduğunun anlaşılması gerektiğini düşünüyoruz. Bu zaten bilinmedik birşey değil ancak bu kadar "basit" bir yol varken işin neden zorlaştırıldığı bana fevkalade hayret veriyor! (Bu yazının başlığı aksiyomatik yaklaşım yerine pekala "bir fizik teorisi nedir unuttuk mu?" da olabilirdi, ne diyeyim bilinen şeyleri bilinmez hale getirenler utansın...:-)

Fiziğin tabiatı en temel seviyede tasvir etmesinden dolayı diğer bilimler arasında bu şekilde aksiyomatik tabanda incelenmeye en yatkın bilim olduğu pekala söylenebilir. Yüzyılımızın en büyük dehalarından ve hezarfenlerinden olan John von Neumann'ın en büyük başarılarından birisi de tam olarak bu yaklaşımla kuantum mekaniğini aksiyomatik yapıya oturtmuş olmasıdır. Yukarıda verdiğimiz kuantum mekaniği aksiyomları genel olarak onun "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics" isimli şaheserinde şekillendirdiği yapıdadır. Bu kitap kuantum mekaniği tarihi açısından bir milat kabul edilir. (Neden acaba!?) İşte bunun nedenini arz etmeye çalıştığımız bu yazıda resimleri ile başladığımız büyük ustaların isimleri ile bitirelim: David Hilbert, Hermann Weyl, John von Neumann

NOT:

Normalde yazının içinde yer almayacak bu notu nedense eklemek gerektiğini düşündüm: Aksiyomatik yaklaşımın getirdiği tertibe dair son bir misal olarak mesela kuantum teorisinin ilk kurucularından olan Heisenberg'in belirsizlik ilkesi hala dahi kuantum mekaniği kitaplarında ve derslerinde ilk anlatılan şeylerden birisidir. Oysa bu ilke yukarıda verdiğimiz postülatlardan yola çıkılarak, işlemcilerin özelliklerinden matamatiksel olarak İSPATLANABİLECEK birşeydir. Dolayısı ile en temel tasvirde yer alması gerekmez.