Kaotik Sarkaç

santralİstanbul'un Enerji Müzesi bölümünün alt katında birbirinden eğlenceli "bilim oyuncakları" var. Bunlardan bir tanesi de kaotik sarkaç. Fotoğrafını çekemedim, ama kabaca neye benzediğini gösteren şöyle bir video buldum. Esasında oradaki, videodakinden daha basit; burada ana çubuktan ayrılan 3 kol var. Müzedekinde ise sadece uçlara bağlı kollar var, ortadan çıkan kol yok.

Tam ortadaki kulptan tutup elinizle döndürüyorsunuz ve videodaki gibi "kaotik" hareketler yapıyor sisteminiz. Bilim adamları kaosun kesin tanımının ne olduğu konusunda tam bir mutabakata varabilmiş değil ancak genel olarak kaotik bir sistemin şu 3 özelliğe sahip olması beklenir: 

1. Başlangıç durumuna hassas bağlılık. 

2. Topolojik olarak karışma 

3. Peryodik yörüngelerinin "yoğun bir küme" oluşturması. 

Bu son 2'si ile ne demek istendiği benim de kafamda net değil, çok fazla da dert değil. :-)) Biz kısaca hareketinin önceden kestirebilirliği "fevkalade" zor olan istemler deyip geçelim. 

Neyse işte, müzedeki kaotik sarkaç kabaca şöyle birşey.

Kırmızı nokta sabitlenmiş ve  siz elinizle sistemi bu nokta etrafında döndürerek ilk hareket verebiliyorsunuz. Düşeyde aşağı doğru yerçekimi var. Bu sistemin hareket denklemlerini Lagrange mekaniği kullanarak çıkarmaya çalışalım. Hoş bir klasik mekanik alıştırması.

Sistemin 3 serbestlik derecesine sahip olduğunu görmek zor değildir. Yani uzayda sistemin herhangi bir "duruşunu" tasvir etmek için 3 rakam yetertlidir. Bunlara genelleştirilmiş koordinatlar denir ki biz burada gen. kor. olarak 3 açıyı seçeceğiz.

Daha sonra yapmamız gereken bir koordinat sistemi belirlemek, ve bu koordinat sisteminde parçaların koordinatlarını ve hızlarını tanımlayarak kinetik ve potansiyel enerjileri yazıp Lagrange fonksiyonunu elde etmek. Bundan sonra ise türevleri alıp hareket denklemlerini elde etmek kalıyor.

Varsayım olarak çubukları ağırlıksız kabul ediyoruz. (Denklemleri çıkardıktan sonra bu varsayımın denklemlerin "formunu" değiştirmediğini ve genellikten birşey kaybetmediğimizi göstereceğim.)

Şimdi koordinat sistemimizin sıfırı olarak kırmızı noktayı seçelim ve aşağıdaki şekildek genelleştirilmiş koordinatlar olarak seçtiğimiz 3 açıyı işaretleyelim. Yerçekimsel potansiyelin sıfır çizgisi olarak y = 0 doğrusunu seçelim.

Kinetik ve potansiyel enerjiyi yazmanın en kolay yollarından biri alışık olduğumuz kartezyen koordinatlar üzerinden çalışmaktır. Kartezyen koordinatlar belirlendikten sonra bu koordinatların türevlerinden hızları yazmak ve kinetik enerji teriminde bu hızları yerine yazmak genelde basit bir cebir uygulamasından ibaretdir. Bu motivasyonla uçlardaki cisimlerin kartezyen koordinatlarını aşağıdaki gibi yazabiliriz.Birinci kütlenin x ve y koordinatları

olurken ikinci cismin koordinatları


olur. Kinetik enerji terimleri için hızlara ihtiyacımız olacağından zamana göre türevleri de bulalım.

Artık enerji terimlerini yazabiliriz. Müzedeki sarkaçtaki kütleler birbirinin aynısı  idi, biz iki kütleye de m diyelim. Kinetik enerjiyi T potansiyel enerjiyi U ile gösterecek olursak

ve

olarak yazılabilir. Bundan sonrası L = T - U yazıp türevleri almaktan ve hareket denklemlerini türetmekten ibaret.

Bunu yapmadan önce yukarıda bahsettiğimiz çubukların kütlesiz sayılması varsayımını irdeleyelim. Ortadaki çubuğun bir kütlesi olması durumunda eylemsizlik momentinden kaynaklanan bir kinetik enerjisi olacaktır ve yukarıdaki kinetik enerji ifadesinde noktalı "theta" teriminin katsayısı değişecektir. Potansiyel enerji terimi değişmeyecektir zira çubuğun kütle merkezi daima aynı noktadadır. Kenardaki çubukların kütlelerinin olması da fazla birşey değiştirmeyecektir: Potansiyel enerji açısından bakıldığında bu çubukları kütle merkezlerine asılmış birer noktasal kütle gibi davranacaklarından yine sadece U ifadesinde katsayıları değişen denklemin formu aynı kalmış olur. Kinteik enerjileri ise hem öteleme (kütle merkezlerinin hareketi) hem  de dönme (kütle merkezi etrafında hareket) terimleri içerir ki öteleme yine sanki kütle merkezine asılmış bir noktasal cismin hareketi gibi incelenebilir. Sonuç itibarı ile uçlardaki kütlelere yaptığımız gibi  bir noktasal cismin konumunu yazıp türevlerini alarak eriştiğimiz bir ifade bulunur ki bu da yukarıda elde ettiğimiz denklemleri farklı katsayılarla elde etmekten başka birşey vermez. Dönme kinetik enerjisi ise sadece noktalı terimlerin katsayısını değiştirmez. Böyle lafla anlatması ve anlamasının biraz sıkıntılı olduğunu biliyorum ama sözüme güvenmezseniz (ki güvenmemek en iyisidir) matematikği üzerinden gidip denklemimizin bu basitleştirmeleri de kapsayacak kadar genel kaldığını görürsünüz. 

Lagrangian fonksiyonunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.

Hareket denklemleri üç genelleştirilmiş koordinat için yazılan Lagrange denklemlerinden ibaret olur.

Türevleri almayı yapmayacağım ama denkleme şöyle bir bakıp kafadan almaya çalıştığınızda değişkenlerin ne kadar içiçe geçmiş olduğunu görebiliriz. Sistemin kaotik yapısı buradan kaynaklanır.
Başlangıç durumuna hassas bağlılıka örnek başka bir sistem üzerinde hoş bir video da aşağıda.