fizikkaralamalari: klasik mekanik

28 Şubat 2012 Salı

Üstüste Duran Küreler

Bu soru farklı zamanlarda farklı yerlerde soruluyor, bizim enstitüde de yıllar içinde popülerliğini kaybetmedi. Birkaç yıl önce soranlara hemen veririm diye hazırladığım bir word dosyası vardı. Onu buraya ekliyorum:

***

Soru: Üst üste duran iki küreden üstteki yuvarlanmaya başlıyor. İki küre de kaymadan yuvarlandığına göre sistemin hareket denklemlerini yazınız.

Soru küre için sorulmuş ancak göstereceğimiz çözüm disk, içi boş çember, vs. gibi kesiti yuvarlak ve kütle merkezi ortada olan kütlesi bu merkez etrafında homojen dağılmış cisimlere de rahatlıkla uygulanabilir. Bu yüzden formalizmimizi genel tutmak istiyoruz ve eylemsizlik momentlerini I olarak bırakıyoruz. Küre olmasını istiyorsanız 2/5MR^2, disk veya silindir için 1/2MR^2 vs. sonradan yerine koyulabilir.

Katı cisimlerin mekaniği ile alakalı olarak önemli bilgileri hatırlayacak olursak bir katı cismin kinetik enerjisi, kütle merkezinin ötelemesinden kaynaklanan öteleme kinetik enerji ile cismin kütle merkezi etrafında dönmesinden kaynaklanan dönme kinetik enerjisinin toplamı olarak ifade edilebilir. Ayrıca düzgün bir yerçekimi alanında yerçekimi merkezi kütle merkezi ile aynıdır ve potansiyel enerji kütle merkezinin konumundan hesaplanabilir.

Bütün bunlardan yola çıkarak soruya doğrudan, basit ve analitik bir yöntemle yaklaşacağız. Referans sistemi olarak kendimize alttaki kürenin üzerinde yuvarlandığı düz yüzeye yapışık bir referans sistemi seçiyoruz. Eylemsiz olduğunu varsayacağımız bu referans sisteminde kürelerin kütle merkezlerinin kartezyen koordinatlarını kürelerin dönme açıları cinsinden yazacağız.

Üstte soldaki şekil sistemin ilk baştaki konumunu göstermektedir. Kürelerin üzerine koyduğumuz işaretler kırmızı ile gösterilmişlerdir. Yere göre durgun seçtiğimiz koordinat sisteminin orijini ise t = 0 anında alttaki kürenin merkezi üzerine gelecek şekilde seçilmiştir. Bu sistem şekillerde yeşil renk ile gösterilmiştir.

Şimdi sistemin belli bir zaman geçtikten sonraki durumunu gösteren sağdaki şekle bakacak olursak alttaki küre $\theta_1$ açısı kadar dönmüş ve sola yuvarlanmıştır. (A işaretinin yeni konumuna dikkat ediniz.) Kütle merkezinin y koordinatı değişmez ancak x koordinatı elbette ki değişir. Koordinatların detaylı hesabı aşağıda gösterilecektir.

Şimdi üstteki küreye odaklanalım. A' işaretinin yeni konumuna dikkat ediniz. İlk başta bu işaret tam aşağı doğru bakıyordu demek ki üstteki küre DO'A' açısı kadar kendi ekseni etrafında dönmüştür. Bu açı $\theta_2$ ile gösterilmiştir. Bu cismin dönme kinetik enerjisi yazılırken kullanılması gereken açı elbette ki bu açıdır.

Son olarak iki kürenin merkezini birleştiren doğrunun düşey düzlemle yaptığı açı $\theta$ ile gösterilsin. Şimdi $\theta_1$ , $\theta_2$ ve $\theta$ arasındaki önemli bağıntıyı çıkaralım. Küreler birbirleri üzerinden kaymadan yuvarlandığına göre ACB yayı ile A'B yayının uzunluklarının birbirine eşit olması lazım gelir. Bu eşitliği yazarsak açılar arasında

$R_1(\theta+\theta_1)=R_2(\theta_2-\theta)$

bağıntısını bulmuş oluruz. Demek ki bu üç açıdan ikisi bağımsız genelleştirilmiş koordinatlar olarak seçilebilir. Hangi ikisinin seçileceği tercih meselesidir ancak aşağıda gösterileceği gibi kartezyen koordinatlar en kolay $\inline \theta$ ve $\inline \theta_1$ açısı cinsinden yazılabilmektedirler. Biz bu ikisini seçeceğiz.

Artık kürelerin kütle merkezlerinin kartezyen koordinatları için ifadelerimizi yazabiliriz. Alttaki küre ile başlarsak

$x_1=-R_1\theta_1$ (yerde kaymadan yuvarlanma)

Üstteki küreye bakacak olursak:

$x_2=(R_1+R_2)\sin\theta-R_1\theta_1$ (ilk terim alttaki küreye göre konum, ikinci terim yukarıdaki x_1 ifadesi)
$y_2=(R_1+R_2)\cos\theta$

Öteleme kinetik enerjileri yazmak için bize bu ifadelerin türevleri gereklidir.

$\dot{x_1}=-R_1\dot{\theta_1}$
$\dot{y_1}=0$
$\dot{x_2}=(R_1+R_2)\dot{\theta}\cos\theta-R_1\dot{\theta_1}$
$\dot{y_2}=-(R_1+R_2)\dot{\theta}\sin\theta$

Toplam kinetik enerji (dönme + öteleme) aşağıdaki gibi yazılır:

$T=\frac{1}{2}[M_1(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2)+M_2(\dot{x_2}^2+\dot{y_2}^2)+I_1\dot{\theta_1}^2+I_2\dot{\theta_2}^2]$

Potansiyel enerji ise sadece üstteki küre için söz konusudur ve aşağıdaki gibi verilir.

Artık iş bulduğumuz koordinatları ve türevlerini bu ifadelerde yerine yazmaya kalır. (Kinetik enerjideki $\inline \theta_2$ terimi ise en başta türettiğimiz bağ şartından $\inline \theta$ ve $\inline \theta_1$ cinsinden yazılmalıdır.

$\theta_2=\frac{(R_1+R_2)\theta+R_1\theta_1}{R_2}$
$\dot{\theta_2}=\frac{(R_1+R_2)\dot{\theta}+R_1\dot{\theta_1}}{R_2}$

Bütün ifadeleri yerie yazıp sistemin Lagranjiyenini yazacak olursak:

$L=\frac{1}{2}[M_1(R_1^2\dot{\theta_1}^2)+M_2((R_1+R_2)^2\dot{\theta}^2+R_1^2\dot{\theta_1}^2-2(R_1+R_2)R_1\dot{\theta}\dot{\theta_1}\cos\theta)+I_1\dot{\theta_1}^2+I_2(\frac{(R_1+R_2)\dot{\theta}+R_1\dot{\theta_1}}{R_2})^2]-M_2g(R_1+R_2)\cos\theta$

olarak yazılır. Geriye sadece bu uzun ifadeyi Lagrange denklemlerinde yerine koyup hareket denklemlerini yazmak kalır.

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot\theta}})-\frac{\partial{L}}{\partial{\theta}}=0$
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot\theta_1}})-\frac{\partial{L}}{\partial{\theta_1}}=0$

Unutulmamalıdır ki burada türettiğimiz Lagranjiyen fonksiyonu kaymadan yuvarlanma ve kürelerin birbirleri üzerinden ayrılmama şartı geçerli olduğu sürece geçerlidir. Bu da sadece hareketin başlarında doğrudur, kayma ve ayrılma durumu söz konusu olduğunda yukarıdaki inceleme serbsest cisim diagramları üzerinde yapılacak ayrı bir "dinamik" inceleme ile birleştirilmelidir.

17 Şubat 2012 Cuma

Kaotik Sarkaç

santralİstanbul'un Enerji Müzesi bölümünün alt katında birbirinden eğlenceli "bilim oyuncakları" var. Bunlardan bir tanesi de kaotik sarkaç. Fotoğrafını çekemedim, ama kabaca neye benzediğini gösteren şöyle bir video buldum. Esasında oradaki, videodakinden daha basit; burada ana çubuktan ayrılan 3 kol var. Müzedekinde ise sadece uçlara bağlı kollar var, ortadan çıkan kol yok.

Tam ortadaki kulptan tutup elinizle döndürüyorsunuz ve videodaki gibi "kaotik" hareketler yapıyor sisteminiz. Bilim adamları kaosun kesin tanımının ne olduğu konusunda tam bir mutabakata varabilmiş değil ancak genel olarak kaotik bir sistemin şu 3 özelliğe sahip olması beklenir:

1. Başlangıç durumuna hassas bağlılık.

2. Topolojik olarak karışma

3. Peryodik yörüngelerinin "yoğun bir küme" oluşturması.

Bu son 2'si ile ne demek istendiği benim de kafamda net değil, çok fazla da dert değil. :-)) Biz kısaca hareketinin önceden kestirebilirliği "fevkalade" zor olan istemler deyip geçelim.

Neyse işte, müzedeki kaotik sarkaç kabaca şöyle birşey.

Kırmızı nokta sabitlenmiş ve siz elinizle sistemi bu nokta etrafında döndürerek ilk hareket verebiliyorsunuz. Düşeyde aşağı doğru yerçekimi var. Bu sistemin hareket denklemlerini Lagrange mekaniği kullanarak çıkarmaya çalışalım. Hoş bir klasik mekanik alıştırması.

Sistemin 3 serbestlik derecesine sahip olduğunu görmek zor değildir. Yani uzayda sistemin herhangi bir "duruşunu" tasvir etmek için 3 rakam yetertlidir. Bunlara genelleştirilmiş koordinatlar denir ki biz burada gen. kor. olarak 3 açıyı seçeceğiz.

Daha sonra yapmamız gereken bir koordinat sistemi belirlemek, ve bu koordinat sisteminde parçaların koordinatlarını ve hızlarını tanımlayarak kinetik ve potansiyel enerjileri yazıp Lagrange fonksiyonunu elde etmek. Bundan sonra ise türevleri alıp hareket denklemlerini elde etmek kalıyor.

Varsayım olarak çubukları ağırlıksız kabul ediyoruz. (Denklemleri çıkardıktan sonra bu varsayımın denklemlerin "formunu" değiştirmediğini ve genellikten birşey kaybetmediğimizi göstereceğim.)

Şimdi koordinat sistemimizin sıfırı olarak kırmızı noktayı seçelim ve aşağıdaki şekildek genelleştirilmiş koordinatlar olarak seçtiğimiz 3 açıyı işaretleyelim. Yerçekimsel potansiyelin sıfır çizgisi olarak y = 0 doğrusunu seçelim.

Kinetik ve potansiyel enerjiyi yazmanın en kolay yollarından biri alışık olduğumuz kartezyen koordinatlar üzerinden çalışmaktır. Kartezyen koordinatlar belirlendikten sonra bu koordinatların türevlerinden hızları yazmak ve kinetik enerji teriminde bu hızları yerine yazmak genelde basit bir cebir uygulamasından ibaretdir. Bu motivasyonla uçlardaki cisimlerin kartezyen koordinatlarını aşağıdaki gibi yazabiliriz.Birinci kütlenin x ve y koordinatları

$\dpi{120} \bg_white x_1 = l_1\cos\theta+l_2\sin\alpha$
$\dpi{120} \bg_white y_1 = l_1\sin\theta-l_2\cos\alpha$
olurken ikinci cismin koordinatları
$\dpi{120} \bg_white x_2 = -l_1\cos\theta+l_2\sin\beta$
$\dpi{120} \bg_white y_2 = -l_1\sin\theta-l_2\cos\beta$
olur. Kinetik enerji terimleri için hızlara ihtiyacımız olacağından zamana göre türevleri de bulalım.
$\dpi{120} \bg_white \dot{x}_1 = -\dot{\theta}l_1\sin\theta+\dot{\alpha}l_2\cos\alpha$
$\dpi{120} \bg_white \dot{y}_1 = \dot{\theta}l_1\cos\theta+\dot{\alpha}l_2\sin\alpha$
$\dpi{120} \bg_white \dot{x}_2 = \dot{\theta}l_1\sin\theta+\dot{\beta}l_2\cos\beta$
$\dpi{120} \bg_white \dot{y}_2 = -\dot{\theta}l_1\cos\theta+\dot{\beta}l_2\sin\beta$

Artık enerji terimlerini yazabiliriz. Müzedeki sarkaçtaki kütleler birbirinin aynısı idi, biz iki kütleye de m diyelim. Kinetik enerjiyi T potansiyel enerjiyi U ile gösterecek olursak

$\dpi{120} \bg_white U = U_1 + U_2$
$\dpi{120} \bg_white U = mgy_1 + mgy_2$
$\dpi{120} \bg_white U = -mgl_2(\cos\alpha+\cos\beta)$
ve
$\dpi{120} \bg_white T=T_1+T_2$
$\dpi{120} \bg_white T=\frac{m}{2}(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)+\frac{m}{2}(\dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2)$
$\dpi{120} \bg_white T=\frac{m}{2}(2\dot{\theta}^2l_1^2+\dot{\alpha}^2l_2^2+\dot{\beta}^2l_2^2+2l_1l_2(\dot\alpha\dot\theta\sin(\alpha-\theta)-\dot\theta\dot\beta\sin(\theta-\beta)))$

olarak yazılabilir. Bundan sonrası L = T - U yazıp türevleri almaktan ve hareket denklemlerini türetmekten ibaret.

Bunu yapmadan önce yukarıda bahsettiğimiz çubukların kütlesiz sayılması varsayımını irdeleyelim. Ortadaki çubuğun bir kütlesi olması durumunda eylemsizlik momentinden kaynaklanan bir kinetik enerjisi olacaktır ve yukarıdaki kinetik enerji ifadesinde noktalı "theta" teriminin katsayısı değişecektir. Potansiyel enerji terimi değişmeyecektir zira çubuğun kütle merkezi daima aynı noktadadır. Kenardaki çubukların kütlelerinin olması da fazla birşey değiştirmeyecektir: Potansiyel enerji açısından bakıldığında bu çubukları kütle merkezlerine asılmış birer noktasal kütle gibi davranacaklarından yine sadece U ifadesinde katsayıları değişen denklemin formu aynı kalmış olur. Kinteik enerjileri ise hem öteleme (kütle merkezlerinin hareketi) hem de dönme (kütle merkezi etrafında hareket) terimleri içerir ki öteleme yine sanki kütle merkezine asılmış bir noktasal cismin hareketi gibi incelenebilir. Sonuç itibarı ile uçlardaki kütlelere yaptığımız gibi bir noktasal cismin konumunu yazıp türevlerini alarak eriştiğimiz bir ifade bulunur ki bu da yukarıda elde ettiğimiz denklemleri farklı katsayılarla elde etmekten başka birşey vermez. Dönme kinetik enerjisi ise sadece noktalı terimlerin katsayısını değiştirmez. Böyle lafla anlatması ve anlamasının biraz sıkıntılı olduğunu biliyorum ama sözüme güvenmezseniz (ki güvenmemek en iyisidir) matematikği üzerinden gidip denklemimizin bu basitleştirmeleri de kapsayacak kadar genel kaldığını görürsünüz.

Lagrangian fonksiyonunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.
$\dpi{120} \bg_white L=T-U$

$\small \dpi{120} \bg_white L=\frac{m}{2}(2\dot{\theta}^2l_1^2+\dot{\alpha}^2l_2^2+\dot{\beta}^2l_2^2+2l_1l_2(\dot\alpha\dot\theta\sin(\alpha-\theta)-\dot\theta\dot\beta\sin(\theta-\beta)))+mgl_2(\cos\alpha+\cos\beta)$ Hareket denklemleri üç genelleştirilmiş koordinat için yazılan Lagrange denklemlerinden ibaret olur.

$\small \dpi{120} \bg_white \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot\theta}) - \frac{\partial L}{\partial\theta} = 0$
$\small \dpi{120} \bg_white \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot\alpha}) - \frac{\partial L}{\partial\alpha} = 0$
$\small \dpi{120} \bg_white \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot\beta}) - \frac{\partial L}{\partial\beta} = 0$
Türevleri almayı yapmayacağım ama denkleme şöyle bir bakıp kafadan almaya çalıştığınızda değişkenlerin ne kadar içiçe geçmiş olduğunu görebiliriz. Sistemin kaotik yapısı buradan kaynaklanır.
Başlangıç durumuna hassas bağlılıka örnek başka bir sistem üzerinde hoş bir video da aşağıda.

fizikkaralamalari

28 Şubat 2012 Salı

Üstüste Duran Küreler

17 Şubat 2012 Cuma

Kaotik Sarkaç

Hakkımda

Blog Arşivi