Kendimizi üstteki şeildeki cankurtaranın yerine koyalım. Denizde bir adam boğulduğunu görüyorsunuz ve yerinizden fırlayıp adamı kurtarmaya koşuyorsunuz. Hangi yolu takip edersiniz? EN KISA olanı mı? Yoksa sizi adama EN KISA ZAMANDA ulaştıracak olanı mı? Elbette ikincisi. Koşma hızınız yüzme hızınızdan fazla olduğuna göre bunu yapmak için hangi noktaya kadar koşup ondan sonra yüzmeye başlamamız gerektiği üzerinde düşünelim. Suya girdiğimiz nokta O olsun. Karadaki hızım 
sudaki hızım 
ise karada geçirdiğim zaman 
iken suda geçirdiğimiz zaman 
olur.Bu zaman ifadelerini x, h1, h2 ve L cinsinden de yazıp toplarsak toplam varış zamanımızı aşağıdaki gibi yazabiliriz:
sudaki hızım ise karada geçirdiğim zaman iken suda geçirdiğimiz zaman olur.Bu zaman ifadelerini x, h1, h2 ve L cinsinden de yazıp toplarsak toplam varış zamanımızı aşağıdaki gibi yazabiliriz:
İşte bu zamanı en kısa yapacak x'i bulmak istiyorum. Yani problemimiz t(x) fonksiyonunun minimumunu bulma problemine indirgenmiş oldu, bunu da x'e göre türev alıp sıfıra eşitleyerek yapabiliriz. Bu türevi alıp sıfıra eşitlersek aşağıdaki denklemi bulmuş oluruz.
Bu denklemi çözersek prensipte x'i bulabiliriz ancak buna kalkışmayacağım zira burada vurgulamak istediğim başka bir şey. v1 ve v2'yi ayrı tutarsak geride kalan terimlerin şekilde (ne için şaretlediğimi merak ettiğiniz) açıların sinüsleri olarak yazılabileceği temel dik üçgen bağıntılarından görülebilir. Denklemimizi yeniden düzenlersek aşağıdaki şekle getirebiliriz.
Tanıdık geldi mi biryerlerden?
Evet, ışığın kırınımındaki Snell yasasından bahsediyorum:
Buradaki n kırınım indisi denilen ve ışığın ortamdaki hızı ile ters orantılı olan, ortama bağlı bir sabittir. Görüldüğü gibi Snell yasası üstte türettiğimiz formülden başka birşey değil. Yani Maxwell denklemlerini sınırda çözmek yerine IŞIK EN KISA ZAMANDA VARACAK ŞEKİLDE bir yol izler prensibini kabul edersek Snell yasasını çok daha "kısa, basit ve değişik" bir yoldan türetebiliriz. Bu prensibe Fermat prensibi denir.
"Güzel bir oyuncak ama başlık biraz iddialı değil mi? Sonuçta sadece ışığın hareketi hakkında bir ilke bu" diyebilirsiniz ancak Fermat prensibi esasında çok daha genel bir prensibin özel bir halidir. Bahsettiğimiz bu ilke EN AZ EYLEM ilkesidir. (Principle of least action). Bu ilke, kainattaki değişimlerin her zaman "eylem"i en az yapacak şekilde gerçekleşeceğini söyler. (Ben bunu kainat her zaman en "kestirme yolu" izler diye ifade etmeyi seviyorum.) Burada özel bir anlam yüklediğimiz "eylem" ile ne kastettiğimizi bir örnek ile açalım. Klasik mekanik üzerinden konuşacak olursak eylem (S) sistemin kinetik enerjisi (T) ile potansiyel enerjisinin (U) farkının zaman integrali olarak tanımlanır.
Yani t1 ve t2 zaman aralığında sistem öyle bir değişir ki yukarıdaki fonksiyon en küçük değeri alsın. Bu kadar! Ne eylemsizlik prensibi, ne F = ma, ne etkiye tepki hiçbir Newton prensibini kullanmadan sadece azıcık matematik bilerek tamamıyla eşdeğer (ve esasında daha genel) bir klasik mekanik kurmak mümkündür! İnanılmaz değil mi!
Ünlü fizikçi Feynman bu mevzu hakkında şöyle söylüyor: "Lise hocam bir gün fizik dersinden sonra beni yanına çağırdı ve "derste seni sıkılmış görüyorum; gerçekten ilginç birşey duymak ister misin" dedi ve öyle bir şey söyledi ki bunu inanılmaz derecede büyüleyici buldum. O günden beridir de hala büyüleyici bulurum. Söylediği şey "en az eylem" ilkesiydi."
En az eylem ilkesinin uygulaması sadece klasik mekanik ile de sınırlı değildir. Klasik alan teorileri, kuantum mekaniği, kuantum alan teorisi, izafiyet teorisi gibi çok geniş sahalara genelleştirilmiştir ve bu, fiziksel bilimlerin en önemli genelleştirmelerinden biridir.
Evet, kainat her zaman en kestirme yolu izler...
Tanıdık geldi mi biryerlerden?
Evet, ışığın kırınımındaki Snell yasasından bahsediyorum:
Buradaki n kırınım indisi denilen ve ışığın ortamdaki hızı ile ters orantılı olan, ortama bağlı bir sabittir. Görüldüğü gibi Snell yasası üstte türettiğimiz formülden başka birşey değil. Yani Maxwell denklemlerini sınırda çözmek yerine IŞIK EN KISA ZAMANDA VARACAK ŞEKİLDE bir yol izler prensibini kabul edersek Snell yasasını çok daha "kısa, basit ve değişik" bir yoldan türetebiliriz. Bu prensibe Fermat prensibi denir.
"Güzel bir oyuncak ama başlık biraz iddialı değil mi? Sonuçta sadece ışığın hareketi hakkında bir ilke bu" diyebilirsiniz ancak Fermat prensibi esasında çok daha genel bir prensibin özel bir halidir. Bahsettiğimiz bu ilke EN AZ EYLEM ilkesidir. (Principle of least action). Bu ilke, kainattaki değişimlerin her zaman "eylem"i en az yapacak şekilde gerçekleşeceğini söyler. (Ben bunu kainat her zaman en "kestirme yolu" izler diye ifade etmeyi seviyorum.) Burada özel bir anlam yüklediğimiz "eylem" ile ne kastettiğimizi bir örnek ile açalım. Klasik mekanik üzerinden konuşacak olursak eylem (S) sistemin kinetik enerjisi (T) ile potansiyel enerjisinin (U) farkının zaman integrali olarak tanımlanır.
Yani t1 ve t2 zaman aralığında sistem öyle bir değişir ki yukarıdaki fonksiyon en küçük değeri alsın. Bu kadar! Ne eylemsizlik prensibi, ne F = ma, ne etkiye tepki hiçbir Newton prensibini kullanmadan sadece azıcık matematik bilerek tamamıyla eşdeğer (ve esasında daha genel) bir klasik mekanik kurmak mümkündür! İnanılmaz değil mi!
Ünlü fizikçi Feynman bu mevzu hakkında şöyle söylüyor: "Lise hocam bir gün fizik dersinden sonra beni yanına çağırdı ve "derste seni sıkılmış görüyorum; gerçekten ilginç birşey duymak ister misin" dedi ve öyle bir şey söyledi ki bunu inanılmaz derecede büyüleyici buldum. O günden beridir de hala büyüleyici bulurum. Söylediği şey "en az eylem" ilkesiydi."
En az eylem ilkesinin uygulaması sadece klasik mekanik ile de sınırlı değildir. Klasik alan teorileri, kuantum mekaniği, kuantum alan teorisi, izafiyet teorisi gibi çok geniş sahalara genelleştirilmiştir ve bu, fiziksel bilimlerin en önemli genelleştirmelerinden biridir.
Evet, kainat her zaman en kestirme yolu izler...
Hocam öncelikle yazınız için çok teşekkürler emeğinize sağlık, fakat bir sorum olacaktı. Eylem olarak tanımladığımız nicelik niçin T-V şeklinde bir forma sahip?. T-V Lagranjian olarak T+V de hamiltonyen (total enerji) olarakta bilinir sizinde bildiğiniz gibi. Fakat sistemin zamana göre evrimini veren hareket denkleminin T-V ile olan bağlantısı nedir?. Diğer bir değişle niçin T-V fonksiyonelinin zamana göre integrali bize hareket sistemiyle ilgili bir bilgi veriyor?. Yani bir şekilde sezgisel (intuitive) olarak konuya vakıf olamadım. Eğer cevap verirseniz çok sevinirim çünkü sadece sistemin lagranjyanını tanımlayıp hareket denklemini bulmaktan ibaret olmasını istemiyorum bu özel konunun. Amiyane tabirle o sözü edilen "beauty" tadını hissedip ona minnet duymak istiyorum. Tekrar şimdiden çok teşekkür ederim.
YanıtlaSilMerhaba. Sorunuzun yanıtına leonard suskind in kuramsal başlangıç 1.bolum kitabında denk geldim. Hatırladığım kadarıyla belli bir yörüngede hareket eden bir parçacığın, hareketini sonsuz küçük ilerlemeler şeklinde ele alıp, buradan konum ve momentum için bir ifade çıkarıyordu, sonrasında t-v yı elde ediyordu. O kitabı hatta ikinci cildi olsn kuantum kitabını tavsiye ederim naçizane.
SilBu yorum bir blog yöneticisi tarafından silindi.
YanıtlaSil