Çanak Anten Formülü

 

Bir önceki yazıda ispatladığımız gibi yer-sabit (geostationary) uydular ekvator düzleminde yer alan 42.164 km yarıçaplı bir çember üzerinde dolanırlar. Şu anda bu yörüngede 300'den fazla uydu vardır. Bu uyduların konumları ekvator üzerine izdüşümlerinin meridyeni ile verilir. Örnek olarak yer-sabit bir uydu olan TÜRKSAT uydusu 42 derece doğu meridyeni üzerinde yer alır. Peki dünya üzerinde herhangi bir noktadan herhangi bir uyduya çevirdiğimiz çanak anteninin yönü ne olmalıdır? Vektör işlemleri ve koordinat sistemi dönüşümleri ile bu soru da kolayca cevaplandırabilir.

Dünyanın mükemmel bir küre olduğunu varsayalım; (bu varsayımın hassasiyetine en son bakarız.)

İki koordinat sistemi seçiyoruz. Birincisi orjini dünyanın merkezinde olan, z-ekseni kuzey kutbundan çıkan, x-ekseni 0 derece meridyeni ile ekvatorun kesişim noktasından çıkan kartezyen koordinat sistemi olsun. Bu koordinat sisteminde yer-sabit uydunun konumunu vektörü ile; dünya üzerinde paraleli ve meridyeninde bulunan gözlemcinin konumunu ise vektörü ile gösterelim. Bu durumda uyduya bakan gözlemci vektörü yönünde bakmaktadır.

Seçtiğimiz ikinci koordinat sistemi gözlemcinin konum vektörü için küresel koordinat sistemidir. Bu sistem aynı zamanda bu gözlemcinin yerel koordinat sistemidir. Öyle ki vektörü gök kubbenin "doruğunu" (zenith) gösterirken vektörü coğrafi kuzeyi (manyetik kuzeyle karışmasın) vektörü ise coğrafi doğu istikametini göstermektedir. Şapka sembolü birim vektörleri ifade etmektedir.

Vektörlerimizi bu koordinat sistemlerinin birim vektörleri cinsinden yazalım.

Burada R bir önceki yazıda hesapladığımız 42.164 km. olup r ise dünyanın yarıçapı olan 6371 km. dir. (Küre kabulunde bu ortalama rakamı alıyoruz.) Bunun haricinde tanımladığımız küresel birim vektörlerinin kartezyen birim vektörler cinsinden ifadelerine de ihtiyacımız olacak:

Esas yapmamız gereken vektörünün küresel sistemdeki birim vektörler yönünde izdüşümlerini bulmakdır. Böylece hangi coğrafi yönde ve ufuktan kaç derece yukarı bakılması gerektiğini bulmuş oluruz.

Vektörler arasındaki açıyı bulmak için iki vektörü skaler çarpım yaptırıp boylarına böleceğiz. Bu işlem bize aranılan açının kosinüsünü verir.

Önce doruk ile yapılan açıya bakalım. Bu açıya ismini verelim. Bu durumda

eşitliğinin sağındaki ifadeyi hesaplamamız gerekmektedir. Bu ifadenin ters kosinüsünü alıp 90 dereceden çıkarırsak gözlemcinin uyduyu ufuktan kaç derece yukarıda (elevation) araması gerektiğini buluruz.

Peki gözlemcinin yüzünü hangi yöne çevirmesi gerekmektedir?  Bunu bulmak için vektörünün (kuzey) ile (doğu) üzerinde izdüşümlerinin oranını hesaplayacağız. Bu oran bize yönü bildiren açısının tanjantını verecektir.

(Burada beta eğer 0 derece ise kuzeyi, 90 ise doğuyu, 180 ise güneyi, 270 ise batıyı ifade eder.)

Vektörlerin hepsinin kartezyen koordinatların birim vektörleri cinsinden ifadelerini yerine koymak kalıyor. Eğer sözüme güvenirseniz sonuçta çıkan formüllerin hiç de sevimli ve akılda kalıcı şeyler olmadığını söyleyebilirim. Dolayısı ile daha pratik olan şeyi tercih ediyorum ve bu hesabı bizim için yapan bir bilgisayar kodu veriyorum. Her zamanki gibi python dilinde. Sonuçlar sadece bu işi yapan bir web sitesi olan www.dishpointer.com ile tamamen uyumludur. Dolayısı ile küre varsayımımızın iyi işlediği söylenebilir. 

NOT: Aynı programda R vektörü dünya üzerinde bir noktayı gösterecek şekilde değiştirilir, omega ve alfa iptal edilirse program bu noktaya doğru bakan yönü bulmak için de pekala kullanılabilir. (ör: Kıble yönü vs...)

---------------
import math as m  # Trigonometri icin lazim

def carp(a,b):           # Once vektorleri skaler carpmayi ogretelim bilgisayara
    return a[0]*b[0]+a[1]*b[1]+a[2]*b[2]

def skaler(c,a):         # Simdi de bir vektoru bir skaler ile carpmayi
    d = [ ]
    d.append(c*a[0])
    d.append(c*a[1])
    d.append(c*a[2])
    return d

def topla(a,b):         # Iki vektoru toplamayi da ogretelim.
    c = [ ]
    c.append(a[0]+b[0])
    c.append(a[1]+b[1])
    c.append(a[2]+b[2])
    return c

def boy(a):              # Son olarak bir vektorun boyu nasil hesaplanir gosterelim
    return (a[0]*a[0]+a[1]*a[1]+a[2]*a[2])**0.5

r_boy = 6371.0             # Dunya yaricapi
R_boy = 42164.0          # Uydu mesafesi

print 'KUZEY PARALELLERI POZITIF GUNEY PARALELLERI NEGATIF GIRILMELIDIR'

teta = input('Paralel: ')*m.pi/180    # Girilen aciyi dereceden radyana cevirir

print 'DOGU MERIDYENLERI POZITIF BATI MERIDYENLERI NEGATIF GIRILMELIDIR'

fi = input('Meridyen: ')*m.pi/180

print 'DOGU MERIDYENLERI POZITIF BATI MERIDYENLERI NEGATIF GIRILMELIDIR'

omega = input('Uydu meridyeni: ')*m.pi/180

# Birim vektorleri tanitalim

r_bir = [m.cos(teta)*m.cos(fi),m.cos(teta)*m.sin(fi),m.sin(teta)]
teta_bir = [-1*m.sin(teta)*m.cos(fi),-1*m.sin(teta)*m.sin(fi),m.cos(teta)]
fi_bir = [-1*m.sin(fi),m.cos(fi),0]


# Uydunun ve gozlemcinin konum vektorlerini tanimlayalim

R = [R_boy*m.cos(omega),R_boy*m.sin(omega),0]
r = skaler(r_boy,r_bir)

Rr = topla(R,skaler(-1,r))
alfa = 90 - 180*m.acos(carp(Rr,r_bir)/boy(Rr))/m.pi

Dogu_iz = carp(Rr,fi_bir)          # Dogu yonune izdusum
Kuzey_iz = carp(Rr,teta_bir)      # Kuzey yonune izdusum
beta = 180*m.atan(Dogu_iz/Kuzey_iz)/m.pi

if Dogu_iz*Kuzey_iz >= 0:           # Bu kisim coklu deger alabilen
   if Dogu_iz < 0:                          # trigonometrik fonksiyonlarin
      beta = beta + 180                  # degerlerinin karismasini onlemek
else:                                              # icindir.
   if Kuzey_iz < 0:                          # 
      beta = beta + 180                  #
   else:                                           #
      beta = beta + 360                  #

print beta,'yonunde.'
print 'Ufuktan',alfa,'derece yuksekte.'

Yer-sabit uydular

Fizik yardımı ile ne kadar az bilgiden ne kadar çok şey üretilebileceğini gösteren şahane bir örnektir bu. Öyle ki sadece Newton yerçekimi kanununu bilen meraklı bir lise öğrencisi bu yazıdaki herşeyi tek başına üretebilir.

Dünya üzerindeki bir gözlemciye göre gökyüzünde SABİT bir noktada duran uydulara yer-sabit (geostationary) uydular denir. Televizyon yayınları başta olmak üzere birçok iletişim uygulamalarında aktif olarak kullanılmakta olan bu uyduların yörüngelerinin özelliklerinin ne olması gerektiği üzerinde düşünelim.

1. YÖRÜNGE EKVATOR DÜZLEMİNDE OLMALIDIR. Zira ekvator düzlemi ile 0'dan farklı bir açı yapan herhangi bir yörüngede dolanan uydunun gökyüzündeki konumu nereden bakılırsa bakılsın sürekli "yukarı" ve "aşağı" olarak değişecektir; sabit bir noktada durması mümkün değildir. Bu o kadar sağduyuya hitap eden birşey ki "matematiksel ispata" kalkışmak işleri kolaylaştıracağına zorlaştırır. :-))

2. YÖRÜNGE ÇEMBERSEL OLMALIDIR. Eliptik yörüngelerde dolanan uydular  bulundukları konuma göre hızlanır ve yavaşlarlar. (2. Keppler kanunu) Dünyanın dönme hızı ise (çok küçük değişimler ihmal edilirse) sabit olduğu için eliptik yörüngelerde olan uyduların yere göre sabit durması söz konusu olamaz.

3. UYDUNUN DÖNME PERİYODU DÜNYANINKİNE EŞİT OLMALIDIR. Elbette! Aksi takdirde ya geri kalır ya da ileri gider, iki durumda da gökyüzünde sabit duramaz.

Bu son koşul bize uydunun ne kadar uzakta olması gerektiğini de söyler çünkü periyot ile yarıçap arasında kesin bir bağıntı vardır. Bu bağıntı Newton yerçekimi kanununu kulanarak klasik mekanik ile kolayca hesaplanabilir. R yarıçaplı çembersel bir yörünge düşünelim. Dünya ile uydu arasındaki çekim kuvveti uyduyu böyle bir yörüngede tutmak için gerekli merkezcil kuvvete eşitlenirse:

Burada uydunun açısal hızı olup periyoda aşağıdaki şekilde bağlıdır:

Bu ifadeyi üstteki denklemde yerine yazıp uydunun kütlesini iki tarafta sadeleştirir ve R'yi yalnız bırakırsak aşağıdaki bağıntıyı elde ederiz.

Bu formülde dünyanın kütlesi (M), evrensel yerçekimi sabiti ve (G) dünyanın dönme periyodu olan 23 saat 56 dakika 4.1 saniye yerine yazılırsa yarıçap  42,164 km olarak bulunur.

Bu büyük çember üzerine yerleştirilen uyduların konumları ekvator üzerine izdüşümlerinin MERİDYENİ ile ölçülür. Şu anda yörüngede bulunan yer-sabit uyduların ve konumlarının listesine buradan ulaşılabilir. Görülebildiği gibi  uydular 0.1 derecelik farklarla bile yerleştirilebiliyorlar ki bu fark çember üzerinde yaklaşık 73 km. lik bir mesafeye denk gelir. Burada esas dikkat edilmesi gereken sinyallerin girişim yapıp yapmamasıdır ki bu teknik mevzuya girmiyoruz.

Bir sonraki yazıda vektör hesabı ve iki farklı koordinat sisteminin dönüşümlerini kullanarak dünyanın herhangi bir yerinden bakan bir gözlemcinin belli bir yer-sabit uyduyu hangi pozisyonda göreceğinin hesaplanmasını göstereceğim.