Nefis bir ölçekleme sorusu

Fizikçilerin vazgeçemedikleri oyunlardan olan boyut analizinden daha önce bahsetmiştim. Bu oyunlardan bir diğeri de ölçekleme argümanlarıdır. Bu soru Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü'nde sorulmuş çok güzel bir örnek mevzuya: Gerçek bir helikopteri havada askıda tutmak için motorunun 100 beygir güç üretmesi gerektiğini varsayalım. Bu helikopterin aynı malzemeden yapılmış her boyutu 10 kat küçük olan bir maketini havada tutmak için motoru kaç beygir güç üretmelidir?

Helikopteri havada tutan kuvvetler üzerinden konuşmaya başlayalım. Hiç karmaşık fizik düşünecek havamızda olmadığımızı varsayalım ve eski dostumuz boyut analizi ile yolumuza devam edelim. Helikopterin pervanesinin süpürdüğü alan, pervanenin açısal hızı ve havanın yoğunluğunu kullanarak kuvvet boyutunda birşey yazmaya çalışırsak aşağıdaki formülü elde ederiz. İşlemin detayları için boyut analizi yazımıza bir göz atabilirsiniz.

Şimdi her boyut 10 kat küçülüyor ise A 100 kat küçülüyor, helikopterin ağırlığından başka bir şeye eşit olmayan F de 1000 kat küçülüyor demektir ki bu da şaşırtıcı bir sonuç olan açısal hızın kat ARTMASI anlamına gelir. (Küçük kuşlar daha hızlı kanat çırpıyorlardı değil mi? Neden acaba?)

Aynı yaklaşımı motor gücü için yapalım. Aynı yaklaşımı derken karışık fizik formüllerine boğulmak istememeyi, hava sürtünmesi, kanat uzunluğu üzerinden alınan integralleri, kanat saldırı açısı ile uğraşmamayı kastediyorum. Eşittir yerine orantılıdır işlareti beni bu dertten kurtarıyor, zira bunlar birimsiz olan rakamlardan başka birşey getirmezler. Bana lazım olan "güç" boyutunda olan bir ifade. Aynı parametreleri kullanıyorum ama tabii ki bu sefer üsler değişik oluyor:

Sadece yerine koymak kaldı değişen özellikleri. Dediğimiz gibi alan 100 kat azalıyor. Açısal hız da 10'un karekökü kadar artıyor. Dolayısı ile güç kat azalıyor. Bu da 100 beygir olan orjinal motorun 0,0316 beygircik (23 W) bir elektrik motoru ile değiştirilmesinin yeterli olacağı anlamına gelir.