Küresel Trigonometri (Kıble Bilimi :-)

Elinize bir çubuk alıp yerde kumun üzerine bir üçgen çizdiğinizi varsayalım. Biri size bu üçgenin iç açıları toplamı kaç derecedir diye sorduğunda hiç düşünmeden 180 diye cevap verirsiniz muhtemelen. Ne var ki bu cevap ancak kenarları nispeten küçük olan üçgenler için doğru sonuç verir. Eğer yine aynı çubuğu dünya üzerinde aynı istikamette yürürken kilometrelerce yerde sürükleyerek devasa boyutlarda bir üçgen çizerseniz sonucun 180 dereceden fark edilebilecek kadar sapmaya başladığını görürsünüz. Çünkü üçgeni üzerine çizdiğiniz dünya düz değil küreye yakın bir şekildir. İşte bir kürenin üzerine çizilen üçgene küresel üçgen ismi verilir. Kendine özgü geometri kuralları olan bu tip üçgenlerin açı kenar bağıntıları da küresel trigonometri başlığı altında incelenir. Küresel trigonometrinin temelleri antik Yunan medeniyetinde atılmış ve esas büyük gelişmeler ortaçağ İslam medeniyetinde kaydedilmiştir. Yerküre üzerinde büyük mesafeler söz konusu olduğunda mesafe ölçümünden yön tayinlerine, seyr-ü sefer (navigasyon) hesaplarından astronomik ölçümlere kadar birçok alanda sayısız ve DOĞRUDAN uygulaması olan önemli bir mevzu olmasına rağmen nedense değil liselerde üniversitelerde bile standart müfredat içerisinde yer almaz. 

(Geçenlerde yüksek düzeyde bir devlet yetkilisi bir müslümanın bilim ile uğraşması gerektiğini söyledi ve vizyonunun büyüklüğünü gösterecek şekilde bu lafını  "kıbleyi bulması gerekliliği" sebebi ile destekledi. İşte kıbleyi bulmak için gerekli olan yegane dal küresel trigonometridir. Bu da bu önemli mevzunun liselerde ve üniversitelerde okutulması için benim gerekçem olsun bari. Her zaman anlaşılacak seviyeden konuşmak lazım :-))

Konuya geri dönecek olur isek küresel trigonometrinin kuralları standart düzlem trigonometrisini bildikten sonra hiç de karışık ve zor değildir. Hatta eğlenceli ve fevkalade yararlı bir yan uygulaması olarak görülebilir.

Temel ve önemli bir tanım ile başlarsak küre üzerindeki iki nokta arası en kısa yol o iki noktadan geçen "büyük çember" üzerinde yer alır. "Büyük çember" (great circle) tabiri teknik bir tabirdir. Büyük çember bahsedilen iki nokta ile beraber kürenin merkezinin tanımladığı düzlemin küre ile kesişimi olan çemberdir. Yani bir büyük çemberin merkezi aynı zamanda kürenin merkezidir. Küre üzerinde verilen iki noktadan yalnızca bir büyük çember geçer. İşte bir küresel üçgenin kenarları büyük çemberler üzerinde yer alır. (Bu şart şeklin "küresel üçgen" olması için tanımın getirdiği bir GEREK şarttır. Önemli bir nokta bu.)

En üstteki şekilde görüldüğü gibi küresel üçgenin de düzlemsel üçgenler gibi 3 kenarı ve 3 açısı vardır. Şekilde kenarlar küçük harflerle açılar büyük harflerle gösterilmiştir. Buradaki açılar kenarların üzerinde yer aldığı büyük çember düzlemlerinin birbirleri ile yaptığı ikidüzlemli (dihedral) açılardır. Kafa karıştırmamak için bu açının küre üzerinde üçgenin köşesinde duran bir kişinin pratikte iki doğrultu arasında ölçtüğü açı ile aynı olduğunu söyleyelim.

Kenarlar ise büyük çemberler üzerindeki yay mesafeleridir. Ancak kürenin yarıçapının 1 birim olduğu bir durumda bu kenarlar da elbette ki içinde bulundukları büyük çemberin merkezinin gördüğü açılara eşittir (Radyan cinsinden). Küresel trigonometride aşağıda vereceğimiz bütün kenar-açı bağıntıları birim kürenin üzerine çizilmiş üçgenler için geçerlidir. Yani kısaca söyleyecek olursak kenarlar da açı cinsinden ölçülür. İlla mesafe bilinmek isteniyorsa bu değerlerin kürenin yarıçapı ile çarpılması lazımdır. 

Üç elemanı (üç kenar; iki kenar bir açı; iki açı bir kenar veya üç açısı) belli olan bir küresel üçgenin diğer elemanları aşağıdaki bağıntılar yardımı ile bulunabilir. Bu kuraların ispatı günümüz matematiğinde vektörlerle kolayca yapılabileceği gibi klasik geometrik metotları ile de ispatları mümkündür. (http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_law_of_cosines)

b,c kenarı ve A açısı bilinen üçgenin üçüncü kenarı aşağıdaki formülle bulunabilir. Buna küresel üçgen için kosinüs kuralı denir. (Her kenar için ayrı formül yazmaya gerek yok zira seçilen a kenarının diğerlerinden hiçbir farkı yok.)

Bu formülden cos A çekilirse üç kenarı bilinen üçgenin açılarını bulmak için de kullanılabilir. Bunun haricinde yararlı olan bir diğer pratik bağıntı da küresel üçgenin sinüs kuralıdır.

Pratik hesapları yapmak için başka da pek birşey bilmek gerekli değildir. Şimdi bütün bunları bir örnek üzerinde görelim. Seçtiğimiz örnek devlet büyüğümüzü doğrulayacak şekilde elbette ki kıble istikametini bulmak. Kıblesini aradığımız konum İstanbul olsun: 

İstanbul:
Boylam: 29 derece Doğu
Enlem: 41 derece Kuzey

Mekke:
Boylam: 39 derece 49 dakika Doğu (39,82 derece ondalık olarak)
Enlem: 21 derece 25 dakika Kuzey (21,42 derece)

Küresel üçgenimizin A köşesi İstanbul, B köşesi Mekke, K köşesi ise Kuzey Kutbu olsun. Mesafeleri birim küre üzerinde yaptığım gibi açısal olarak ifade edersek yukarıdaki formülleri rahatça kullanabiliriz.

Üçgenin AK kenarı İstanbul'un enleminden bulunur: 90 - 41 = 49 derece
Üçgenin BK kenarı Mekke'nin enleminden bulunur: 90 - 21,42 = 68,58 derece
Tepe açısı AKB ise A ile B'nin boylamları arasındaki farktır: 39,82-29 = 10,82 derece

Yani iki kenar bir açı biliyoruz. Bize lazım olan açı KAB açısı yani İstanbul'dan bakıldığında Mekke'nin kuzey istikameti ile yaptığı açı. Bunun için önce AB mesafesini bulmalıyız. Kosinüs formülünden:

cos AB = cos(49).cos(68,58) + sin(49).sin(68,68).cos(10,82) = 0,92968
AB kenarı = 21,614 derecedir. (İlla gerçek mesafeyi merak ediyorsanız pratik bir yöntem bunu 60 ile çarpmaktır zira dünya yarıçapında bir kürede bir derece 60 deniz miline tekabül eder. Deniz milinin tanımı zaten böyle yapılır: Enlemler arasındaki 1 dakikalık yay mesafesi)

Bütün bilim ihtiyacımızın temel motivasyonu ve bize esas lazım olan KAB açısı ise sinüs veya kosinüs kuralından bulunabilir. Birbirlerini 180 dereceye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğu için sinüs kuralı kullanılacaksa dikkatli olunmalıdır. Biz bu tartışmaya girmemek için az daha çetrefilli olan kosinüs kuralından gidelim:

İşlem yapılıp sonucun ters kosinüsü alınırsa KAB açısı: 151,7 derece olarak bulunur. Yani Kuzeyden Doğuya doğru 151 derece dönmek veya Güneyden Doğuya doğru 28,3 derece dönmek gerekecektir.

İlmin bu kadarı bize yeter diyen buyurup bu formülleri kullanabilir. İşin şakası bir yana esas üzerinde yazmak istediğim konu olan ve denizcilerin şimdilerde GPS sayesinde unutulmaya yüz tutmuş "sanatlarından" astronomik seyir ile alakalı bir yazı yazmak istiyorum. Bu yazı onun girizgahı idi...