Mermi hızını ölçmek için basit bir yöntem

Bundan yaklaşık 4-5 ay önce okçuluk ile ilgilenmeye başladım. Çok uzun zamandır içimde olan bir şeydi; bir sabah uyandım ve gidip kendime bi yay aldım, bir süre kendi kendime okuyarak (!) uğraşmaya çalıştım sonra da bir kulüp buldum, neyse işte gayet severek yaptığım, stres atmak için çok güzel bir spor...

Okun yayı hangi hızla terk ettiği üzerine düşünürken aklıma ilk olarak en "teorik" yaklaşım geldi. Yayda depolanan enerjiyi hesaplamak. Çekme mesafesine karşı çekme kuvvetini ölçtüğümde arada neredeyse lineer bir bağıntı olduğunu gördüm. (Okuduğuma göre "recurve" denilen klasik yaylarda durum her zaman böyleymiş.) Kuvvet-çekme mesafesi grafiğinin altında kalan alan yayda depolanan enerjiyi vereceğinden dolayı bu enerjiyi okun kinetik enerjisi ile eşitlemek ve buradan okun hızını çekmek mümkündür. Ancak burada depolanan enerjinin tamamının oka transfer edildiğini varsayıyoruz ki çok da gerçekçi bir varsayım değil. Yine okuduğuma göre enerjinin %80'i oka transfer edilebiliyormuş. Çok büyük ihtimalle ölçerek elde edilmiş bu rakamı teorik olarak doğrulamak için aklıma bir metot gelmediğinden bu yaklaşımı bir kenara bırakıyorum. Ayrıca çekme mesafesini ve kuvvetini ölçmek için en az iki kişi ve ekstra aparatlar gerekiyor. Çok daha basit bir yol geldi aklıma. Aşağıda anlatacağım bu metot elbette ki tüfek, sapan veya herhangi bir fırlatıcı için de kullanılabilir.

Öncelikle az çok tecrübeli bir okçu gereklidir. Bununla kastettiğim şey herhangi bir mesafeden 3-4 kere aynı noktaya (veya birbirine çok yakın noktalara) tutarlı atış yapabilen bir okçudur. (Başlangıç seviyesinde isabetli atmaktan çok aynı noktaya atabilmek önemlidir.)

Yöntem kısaca şöyle: 10 metre gibi kısa bir mesafeden hedefinize nişan alıyorsunuz ve 3-4 atış yapıyorsunuz. Hedefe gidip bu atışların vurduğu ortalama "bölgeyi" işaretliyorsunuz ve oklarınızı topluyorsunuz. Sonra daha uzak bir mesafeye gidiyorsunuz, mesela 20 metre! Normalde geri gittiğiniz için nişangahınızı birazcık aşağı çekmeniz gerekir. (Bu sayede daha yukarı nişan almış olur ve aynı noktaya atabilirsiniz.) AMA BUNU YAPMIYORUZ. Nişangahı hiç DEĞİŞTİRMEDEN yine 10 metreden nişan aldığınız yere nişan alıyorsunuz ve 3-4 atış daha yapıyorsunuz. Elbette ki oklarınız 10 metreden attıklarınızın daha aşağısına isabet ediyor. Bu atışların da vurduğu ortalama bölgeyi işaretliyorsunuz. Bir cetvel yardımı ile iki bölgenin orta noktası arasındaki farkı ölçüyorsunuz. Bu kadar!

Şimdi hesap zamanı: Tartışmayı genel tutmak için ilk attığımız mesafeye ikinci mesafeye diyelim. Ok ilk mesafeden atıldığında dikeyde kadar irtifa kaybederken ikinci mesafeden atıldığında kadar irtifa kaybeder. Bizim metodumuzda ölçtüğümüz mesafe ve 'in farkı olan 'dir.

Eğer okun yatay olarak atıldığını varsayarsak  h1 ve h2 okun uçuş zamanı cinsinden kolayca hesaplayabiliriz.

       

Uçuş zamanları ise okun bulmak istediğimiz hızı olan v ve attığımız mesafeler cinsinden hesaplanabilir.

         

Bu zamanları h1 ve h2 denklemlerinde yerine koyar ve taraf tarafa çıkarırsak ölçtüğümüz h mesafesi, bildiğimiz x1 ve x2 mesafesi ve yerçekimi ivmesi cinsinden hız için aşağıdaki ifadeyi türetmiş oluruz.

Yazıyı dikkatli olarak okuyanlar bir takım varsayımlar yaptığımızı farkedebilirler. Şimdi bunları tarışalım:

1. Okçunun "hatasız" atışlar yaptığını dolayısı ile atışların hep aynı hızda olduğunu ve çok yakın noktalara düştüğünü varsaydık. Bundan emin olabilmek için tek atış değil bir grup atış kullanıp ortalamasını alıyoruz zaten. Burada teorik açıdan tartışacak fazla birşey yok, kontrollü deneyin ön şartı bu ve deneyi yapanı ilgilendiren bir problem... :-)) Ateşli silahlarda bu şartı sağlamak okçuluktan çok daha kolay. Profesyonel okçular kirişin her zaman aynı miktarda çekildiğinden emin olmak için "clicker" diye bi metal parçası kullanırlar ve ancak onun sesini duyduklarında kirişi (ipi) bırakırlar.

2. Okun yatay olarak fırlatıldığını varsaydık: Ok ilk başta yatay ile açılı duruyorsa (ki genelde öyledir) zaman için kullandığımız denklemlerin sonuçları bir miktar değişecektir. Hızı gerçek değerinden daha DÜŞÜK ölçmüş oluruz. Ancak çok uzak mesafeler yerine nispeten yakındaki mesafeler ile çalışmak bu problemi hafifletir. Ayrıca hedef olarak seçtiğimiz noktanın yeri de yukarı veya aşağı ayarlanarak bu bir problem olmaktan çıkarılabilir. Bu şekilde yakın atışımızda yere paralellik şartını sağladığımızı varsayalım ancak herşey yine de çözülmüş olmaz. Çünkü:

3. Nişan aldığımız noktanın okun atış anında baktığı nokta olduğunu varsaydık. Okun yönü ile göz-nişangah yönü arasında belli bir açı vardır. Bu ne gibi bir problem yaratabilir diye düşünürsek geri gittiğinizde aynı noktaya "nişan alırken" okun baktığı yönü değiştirmiş olursunuz. Eğer 2. maddeye göre oku paralel tutmak için ayarlamışsanız bu değişim yukarı yönde olur yani h olması gerektiğinden daha düşük ölçülmüş olur ve bu da formülümüze göre hızın olması gerektiğinden YÜKSEK hesaplanmasına yol açar.

4. Hava sürtünmesinin oku yavaşlatacağını hesaba katmadık. Sürtünmenin uzaktan yapılan atışa etkisi daha büyüktür ve h'nin artmasına dolayısı ile ortalama hızı merak etseniz bile olduğundan daha DÜŞÜK ölçülmesine sebebiyet verir.

Daha düşük ve daha yüksek olabilen bu hataların bir kısmının birbirini götüreceği açıktır ve bu durum modelimizin lehinedir. Daha detaylı bir analize girmeden son durumun çok da fena olmadığını kendi tecrübeme dayanarak söyleyip bitirebilirim:

10 metreden yaptığım atışlardan sonra 18 metreye gittiğimde nişangahı ayarlamazsam yaklaşık olarak 30 - 40 cm kadar aşağı düştüğünü görüyorum. Bu durumda bu 3 rakamı formülümüzde yerine koyarsak okun hızı için 200 km/saat gibi bir değer çıkıyor ki yüksek hassasiyetli metotlarla ölçülmüş değerlerle karşılaştırıldığında en azından beni tatmin ediyor. :-))

Fizik Teorilerine Aksiyomatik Yaklaşım

Fiziği anlamak, öğretmek ve (özellikle) öğrenmekle ilgili olarak fevkalade önemli gördüğüm bu mesele hakkında uzun zamandır bir yazı yazmak istiyordum. Ancak mevzuya verdiğim önemden dolayı daha iyi nasıl yazılır diye düşüne düşüne yazmanın zorlaştığını hissettiğimden iyi-kötü bir şekilde başlayayım dedim; eksikleri kusurları yolda düzeltiriz umarım.

Pozitif bilimler çerçevesi içerisinde düşünüldüğünde fizik teorileri tabiatın en TEMEL tasvirlerini temsil etmektedirler. Bu cümleyi açmak gerekirse günümüz bilimsel metodunun neredeyse değişmez bir ilkesi haline gelen ve "indirgemecilik" diye isimlendirilen yaklaşım, bir bütünü anlamak için parçaları anlamanın gerekli ve yeterli olduğunu söylemektedir. İşte bu bağlamda maddenin ve enerjinin en küçük, en hafif, en temel yapı taşlarını inceleyen; dahası yine maddenin ve enerjinin -atomdan galaksiye- her ölçekte etkileşiminin en TEMEL kaidelerini konu edinmiş olan fiziğin indirgemecilik çerçevesinden diğer dallarla ilişkisi aşağıdaki şema ile gösterilir.

 

Böyle bir gösterim her ne kadar fizikçilerin hoşuna gitse de her bir kutu arasındaki okların (ters yönde) ifade ettiği indirgemeyi pratikte gerçekleştirmek (eğer imkansız değilse bile) hiç kolay değildir ve dolayısı ile her bilim dalının kendine ait bir metodolojisi gelişmiştir. Bu noktayı bir kenara bırakıp olaya vurgulamak istediğimiz çerçeveden bakacak olursak şemayı alttan yukarı doğru okumaya başladığımızda sosyal bilimlerin fen bilimlerinin değişik dallarına, fen bilimlerinin bu dallarının da eninde sonunda fiziğin ilgili bir dalına "prensipte" indirgenebileceği anlatılmaktadır. Şemada daha da yukarı gidildiğinde ise fizik "dallarının" yerini fizik teorilerine bıraktığını görürüz. Dolayısı ile "Fizik teorileri tabiatın en temel tasviridir" cümlesinde kast edilen şey açıklığa kavuşmuş olur.

Peki, en temel seviyedeki bir fizik teorisi NEDİR? Nasıl oluşur? Kendi içerisindeki yapısı nasıldır? İşte bu yazının konusu bu sorularla alakalı. Bu yazıda esas vurgulamak istediğim şey şemanın en yukarılarında yer alan izafiyet teorisi, kuantum teorisi gibi temel fizik teorilerinin kendilerinin de esasında bir elin parmağını geçmeyecek VARSAYIMLAR (postülatlar) üzerine kurulmuş olduğudur. (Bu önemli noktaya hemen döneceğiz.)

İzafiyet teorisine veya kuantum teorisine sadece kulak dolgunluğu olanlara (ki üzülerek birtakım "uzmanları" da buna dahil etmek zorundayım) izafiyet teorisinden bahset denildiğinde ışık hızının aşılamazlığı, madde-enerji denkliği, zamanın izafi oluşu (hatta zaman yolculuğu), vs. gibi kafalarda uçuşan fakat ayağı yere basmamış bilgi öbeklerini görürsünüz. Kuantum teorisine gelince iş daha traji-komik bir hal almaktadır. Bu teorinin doğayı kendine özgü "sıradışı" tasvirinden kaynaklanan özellikleri burada saymanın abesle iştigal olacağı kadar farklı şekillerde yorumlanmakta ve bir takım tuhaf mistik öğretilere bile temel teşkil edilmeye çalışılmaktadır. (Kuantum bilgi kuramında önemli uzmanlardan biri olan Vlatko Vedral'ın bir kitabını kitapçıda "sıradışı öğretiler" kısmında bir çok "kuantumlu" emsallerinin(!) yanında bulabilmiştim!)

Fizikçi olsun veya olmasın bu mevzuları ciddi olarak öğrenmek isteyen birinin herşeyden önce aşması gereken bu bilgi kirliliği ve "popülizm" duvarı zaman zaman mevzunun kendisinden çok daha büyük bir zorluk teşkil etmektedir. İtiraf etmeliyim ki bu duvarın örülmesinde fizikçilerin ve ciddi ders kitaplarının da sorumluluğu vardır. İzafiyet, kuantum gibi temel fizik teorilerinin anlatıldığı ders kitaplarında yazarlar benim tespit edebildiğim kadarı ile genel olarak 4 farklı metod ile konuya yaklaşır, bunlara kısaca değinip benim fikrimce en iyisi olan 4. metot üzerinden devam etmek istiyorum.(ANA FİKİRDEN KOPMAMAK İÇİN DOĞRUDAN DÖRDÜNCÜ MADDEYE ATLAYABİLİRSİNİZ)

1. TARİHSEL METOT: Bu metot ilk bakışta en pedagojik ve akla yatkın gibi görünen metottur. Anlatılan fiziksel teorinin tarih içerisinde kimler tarafından hangi yollardan hangi fikirsel süreçlerden geçerek, nasıl geliştiği, hangi deneyler ve karşıt fikirlerce sınandığı ve ne gibi sonuçlar doğurduğu öğretilmekle işe başlanır. Dediğim gibi başta gayet akla yatkın ve tutarlı gelse de insanların ömürlerini harcadıkları çalışmaların her detayı bir derste veya birkaç sayfada yeterince anlatılamamakta, arada ciddi fikir boşlukları oluşmakta, karşıt fikirler yeterince söylenmemekte, gerçek bir sorgulamadan ziyade kuru bir bilgi yığını olarak kalmakta ve dolayısı ile tesiri kağıt üzerinde göründüğü kadar iyi olmamaktadır. Zaten bütün bu detayları anlatırsanız ders fizik değil tarih dersine döner. Maksat teorinin kendisini öğrenmektir, nasıl geliştiği elbette çok güzel ancak ikincil bir sorudur.

2. FORMAL METOT: Richard Feynman'ın deyimi ile fiziğin EN KOLAY dili "maalesef" matematiktir. Bu metotta önce fiziksel teoride kullanılacak matematiksel yöntemler anlatılmaya başlanır. Bu yöntemleri anlamak ve uzmanlaşmak zaman gerektirir. Ondan sonra teorinin kolay bir şekilde akacağı ümit edilir. Ne var ki bilim adamları da dahil olmak üzere salt soyut matematikten zevk alan çok az sayıda kişi vardır ve bu metotun sıkıcı ve donuk kalma tehlikesi her zaman mevcuttur (ve çoğunlukla da öyle olur). Benim şahsi düşüncem gerekli matematiğin ancak "yeri geldiğinde ve yerinde" (evet gerekirse birkaç derslik kocaman bir parantez açılarak ve her aşamada ana konuya atıfta bulunularak ve fizikten asla kopmayarak) anlatılması gerektiğidir. Kendi derslerimde her zaman bu yöntemi kullandım ve en azından formal metot kadar sıkıcı olmadığını söyleyebilirim.

3. KAVRAMSAL METOT: Bu harika bir metottur! Feynman, Sakurai gibi büyük ustalar genelde bu metotla öğretmişlerdir. Mevzuya seçilen bir örnek (bu genellikle bir deney/düşünce deneyidir) üzerinden doğrudan, dolaysız bir biçimde girilir. Ana fikirler bu örnek sistem üzerinden öğretilmeye çalışılır. Feynman'ın 3. cildinde kuantum mekaniğine başlarken anlattığı ve birkaç ünite boyunca onun üzerinden devam ettiği çift yarık deneyi veya Sakurai'nin kitabının başındaki Stern-Gerlach deneyi ve spin kavramı bu metodun güzel örneklerindendir. Kavramlar bütünlük açısından hep bu örnek üzerinden anlatılır. Konuyu bilenler için çok güzel bir zihin egzersizi olabilen bu metodun zayıf kaldığı nokta ise sıfırdan başlayan öğrencilerde teorinin ana fikrinin tamamiyle deneye ait hususiyetler arasına sıkışabilmesi ve bazen de geri plana düşebilmesidir. Bu da birebir kendi derslerimde gözlemlediğim bir durumdur. Çift yarık deneyi üzerinden kuantum mekaniği anlatırken öğrenciler çoğu zaman deney düzeneğinin teknik detayları ile uğraşmakta ve zaten kırılgan olan dikkatleri ANA FİKİR'den çok rahat uzaklaşabilmektedir.

4. AKSİYOMATİK METOT: Bu yazının esas konusu bu metoddur! Hem kendi öğrenme sürecimde hem de öğretme sürecinde en çok bunu seviyor, destekliyor ve muhakkak yaymaya çalışıyorum. Bir teoriyi öğrenmenin ve öğretmenin en kolay, kestirme ve elbette ki DOĞRU yolu herşeyden önce TEORİ ne demek onu bilmek ve anlamaktır: Teori belli VARSAYIMLAR üzerine inşa edilmiş bir fikirsel yapıdır. Daha özel olarak bir fizik teorisi ise tabiatın belli kurallara göre davrandığı veya temsil edilebildiği VARSAYILARAK bu varsayımlar (aksiyomlar-postülatlar) üzerinden bir tabiat tasviri ortaya koymaktır. Dolayısı ile bir fizik teorisini de öğretmenin ve öğrenmenin en OLMAZSA OLMAZI o teorinin aksiyomlarından (postülatlarından) başlamaktır.

Bu metot başta soğuk ve didaktik gibi görünebilir ancak elbette ki ilk varsayımların çeşitli örnek sistemler üzerinden nasıl anlatılacağı ve sunulacağı pedagojik ve teknik bir meseledir. Önemli olan bu sürecin her parçasında POSTÜLATLARI vurgulamak teorinin bunların üzerinde inşa edildiğini unutmamak ve unutturmamak gerektir. Bu şekilde zihinlere yerleşmiş bir teori sıfırdan bir probleme yaklaşırken muazzam bir plan, kavrayış ve kuşatıcılık sağlar ve çoğu zaman yıkıcı olabilen "acaba birşey mi atlıyorum" tereddüdüne saplanmadan rahat, kendinden emin ve doğal bir şekilde çıkarımlara götürür. 

Bu bağlamda en "popüler" iki teorinin postülatlarını vererek hem fizikçiler hem olmayanlar için durumu biraz "kolaylaştırmaya" çalışalım. Kendim fevkalade sevdiğim ve yegane doğru yol kabul ettiğim ve sonuna kadar savunduğum bu yaklaşımın başkaları üzerinde de işe yarayıp yaramadığını merak ediyorum. Dolayısı ile bu yazıya alacağım geri bildirimler benim için önemli, paylaşırsanız çok sevinirim...

Özel izafiyet teorisi ile başlayacak olursak bu teori sadece iki postülat üzerine kurulmuştur:

1. Fizik yasaları eylemsiz referans sistemlerinde aynıdır. (Bütün eylemsiz referans sistemleri birbirine eşdeğerdir de denilebilir.)
2. Işık'ın hızı bir tabiat sabitidir (fizik yasasıdır) dolayısı ile her eylemsiz referans sisteminde aynı ölçülür. 

Bu kadar! Özel izafiyete dair başka ne duyduysanız bu postülatları DOĞRU KABUL EDEREK yürütülmüş düz mantık sonucunda elde edilmiştir.

Mesela birbirlerine göre sabit hızlı haraket halinde olan iki referans sisteminde saatlerin farklı hızlarda işlemesi öngörüsü tamamı ile bu iki postülatdan türetilebilir. Zaman farklı işliyorsa ışığın hızının aynı olması gerektiğinden dolayı mesafelerde farklı ölçülmek zorundadır; momentum ve enerjinin korunumu gibi yasaları 1. postülata göre korumak istiyorsanız momentum ve enerji tanımını değiştirmek zorunda olursunuz, derken enerjinin ifadesinin içerisine kütle de girer... vs. gibi sonuçlar detayları her ders kitabında bulunabilecek matematiksel akıl yürütmeler sonucunda çıkar. Ama işin temelinde dediğimiz gibi isabetli postülatlar yatar. Teorinin başarısı onların doğruluğuna bağlıdır. Deneyle en ufak bir uyuşmazlıkta postülatlardan birini veya birkaçını değiştirmek lazım gelir ve akıl yürütmeler tekrar devreye girer. Fiziksel bir teorinin yapısı ve oluşumu budur.

[Burada söylenmesi gereken çok önemli birşey varsa postülatlarıın sizi "felsefi" olarak rahatsız edip etmemesinin apayrı bir konu olduğudur. Hepimiz insan olduğumuz için inançlarımızın, kendimize has fikirlerimizin ve hatta takıntılarımızın olması normaldir ve büyük bilim adamları dahi bu tip önyargılar gereği zaman zaman teorilerinde bazı postülatları eklemiş veya çıkarmışlardır. Ancak tarih çoğu zaman bu tip yaklaşımların tehlikeli olduğunu göstermiştir. Einstein'ın sonradan "en büyük MESLEKİ hatam" dediği (mesleki lafını tekrar tekrar vurgulamak isterim) meşhur "kozmolojik sabit"i bunun en güzel örneklerinden biridir.

Bunun yanında bir teoride ne kadar az sayıda postülat kullanılmışsa teorinin o kadar "estetik" olduğunu söyleyenler de vardır (ki bu da felsefi bir yaklaşım olsa bile tuhaf bir şekilde her zaman salt matematikten zevk alanların gözüne güzel gözükmüştür). Ancak bir teorinin başarısında son ve MUTLAK karar mercii her zaman ve muhakkak deneysel sonuçlardır.]

Bir diğer örnek olarak üniversitede öğretilen standart relativistik olmayan kuantum mekaniği teorisi postülatlarına her birine küçük açıklamalarda bulunarak bakalım:

1. Fiziksel bir sistem konum ve zamana bağlı olan bir fonksiyon ile tasvir edilir.

Kuantum mekaniğinin en önemli postülatıdır ve bu teorinin tabiatı nasıl tasvir ettiğini ortaya koyar. Bu önceki tabiat tasvirlerinden o kadar radikal bir farklılık göstermektedir ki bu fonksiyonun KENDİSİNİN fiziksel olarak ne anlama geldiği hala dahi felsefi olarak tartışılan bir konudur ANCAK bu tartışmalar kunatum mekaniği teorisinin içinde yer almaz. Söylediğimiz gibi bu sadece bir ön kabuldür ve teorinin gerisi de zaten matematiksel bir yapıdan başka birşey değildir. Bunu ne daha fazla ne daha eksik olarak anlamamak ve fazla anlam yüklememek gerekir. İyi fizik yapmak istiyorsanız sağlıklı  düşünce şekli budur. Bu postülatta "sistem" ile kastedilen şey tek bir parçacık veya parçacıklar bütünü olabileceği gibi kuantum bilgi teorisinde geçen şekli ile incelenen bir "bilgi birimi" dahi olabilir. Dolayısı ile bu alabildiğince genel bir tanımlamadır ve zaten gücü de buradan gelmektedir.

2. Fiziksel olarak her GÖZLEMLENEBİLİR nitelik kuantum mekaniğinde (belli özelliklere sahip) bir İŞLEMCİ ile temsil edilir.

Gözlemlenebilir ile kasıt konum, enerji, momentum, açısal momentum vs. gibi niteliklerdir. İşlemci ile kast edilen bir önceki postülatta tanımlanan dalga fonksiyonu üzerine etki eden matematiksel bir işlemdir. Burada "belli özelliklere sahip" parantezini koymamın sebebi matematik alt yapısı olmayan okuyuculara "Hermityen bir işlemci olmak zorundadır" demek istemememden kaynaklanmaktadır.

 [Hermityen bir işlemci özdeğerleri reel sayılar olan ve öz fonksiyonları birbirleri ile örtüşmeyen, dik, normalize olmuş (ortonormal), fonksiyon uzayını "geren" (span) bir küme oluşturan bir işlemci demektir. Dolayısı ile 1. postülatta bahsedilen dalga fonksiyonu her zaman bu özfonksiyonların bileşimi olarak yazılabilir.]

Köşeli parantez içine yazdığım kısım tasvirin mantıken tutarlı olabilmesi için bu işlemcinin sahip olması gereken matematiksel özelliklerden başka birşey değildir.

3. Fiziksel bir sistemde bir nitelikin niceliği ölçüldüğünde sonuç olarak ölçülen niteliği temsil eden işlemcinin özdeğerlerinden bir tanesi bulunur. Bununla beraber sistemin dalga fonksiyonu da o özdeğere karşılık gelen özfonksiyona İNDİRGENMİŞ (veya göçmüş - "collapse") olur. Sistemin hangi özfonksiyona indirgeneceğinin (dolayısı ile ölçüm sonucunda hangi özdeğerin çıkacağının) sadece İHTİMALİ hesaplanabilir. Bu ihtimal, sistemin dalga fonksiyonu söz konusu olan işlemcinin öz fonksiyonları cinsinden yazıldığında hangi özfonksiyonun ne kadar katkı yaptığının (mutlak) karesi ile orantılıdır. 

Fevkalade matematiksel bir dille yazılan bu postülat (inanın bana en basit ifadesi bu) ÖLÇÜM POSTÜLATI olarak da bilinir ve 1. ve 2. postülatta ortaya konan soyut yapıyı fiziksel gerçeklik olan ölçüme bağlar. Bu postülatın söylediği en çarpıcı şey şüphesiz ölçüm sonucunu önceden "deterministik" olarak kestirmenin kuantum teorisi çerçevesinde İMKANSIZ olduğudur. Hesaplanabilen şeyin sadece ihtimaller olabileceğini söyler ve bu ihtimallerin nasıl hesaplanacağının yolunu gösterir. (Bazı özel durumlarda ihtimalin %100 olduğu bilinebilir ki bu genel çerçeve ile hiç çelişmez.) Bir diğer çarpıcı olan şey ise ölçüm işlemi sonucundaki göçmenin nasıl olduğunu söylememesidir. Bu nokta da felsefi olarak en çok tartışma yaratan noktalardan bir tanesidir ve fizikçiler arasında bile teorinin farklı yorumlanmasına yol açmaktadır.

4. Dalga fonksiyonunun zaman içerisindeki evrimi Schrodinger denklemine uyacak şekilde gerçekleşir.

Elbette ki dinamik bir teori olabilmesi için dalga fonksiyonunun zaman içerisinde değişimini de dahil etmesi lazımdır ve bu da Schrodinger tarafından ortaya atılan; konuma göre ikinci, zamana göre birinci mertebeden olan bir diferansiyel denklemle verilmiştir.

(Bu son postülat relativistik olmayan kuantum mekaniği teorisinde vardır. Relativite etkileri dahil edilmek istendiğinde bunun yerine Dirac denklemi kullanılır. Yine relativistik olmayan kuantum mekaniğinde spin gibi bazı kavramlar için ek postülatlar bulunabilir. Ancak işin özü genel olarak ilk 3 postülatta yatar diyebiliriz.)

[Yukarıda örnek olarak özel izafiyet ve kuantum mekaniği teorileri için verdiğim postülatların birçok alternatif biçimleri de mevcuttur. Bu, temelde ifade için kullanılan (ve dönemden döneme farklı tercihlere göre değişebilen) matematiksel dil ile ilişkili olup bütün biçimler MANTIKSAL ve MATEMATİKSEL olarak birbirine DENKTİR. Daha ilk yıllarda Schrödinger ile Heisenberg'in kunatum mekaniği formülasyonu farklı olduğu gibi yıllar içinde de birçok bilim adamı teoriyi farklı biçimlerde ifade etmişlerdir. Bunların tamamı (kendileri dahi her zaman bu kadar açıkca ifade etmeseler de) elbette ki anlattığımız aksiyomatik yapı içerisinde bir tasvir ortaya koymuşlardır ve tekrar etmek gerekirse bunlar birbirine denktir.]

Sonuç olarak fizikin ve onun temelini oluşturan fiziksel teorilerin yapısının iyi anlaşılması için bu teorilerin aksiyomatik bir yapı üzerine kurulmuş olduğunun anlaşılması gerektiğini düşünüyoruz. Bu zaten bilinmedik birşey değil ancak bu kadar "basit" bir yol varken işin neden zorlaştırıldığı bana fevkalade hayret veriyor! (Bu yazının başlığı aksiyomatik yaklaşım yerine pekala "bir fizik teorisi nedir unuttuk mu?" da olabilirdi, ne diyeyim bilinen şeyleri bilinmez hale getirenler utansın...:-)

Fiziğin tabiatı en temel seviyede tasvir etmesinden dolayı diğer bilimler arasında bu şekilde aksiyomatik tabanda incelenmeye en yatkın bilim olduğu pekala söylenebilir. Yüzyılımızın en büyük dehalarından ve hezarfenlerinden olan John von Neumann'ın en büyük başarılarından birisi de tam olarak bu yaklaşımla kuantum mekaniğini aksiyomatik yapıya oturtmuş olmasıdır. Yukarıda verdiğimiz kuantum mekaniği aksiyomları genel olarak onun "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics" isimli şaheserinde şekillendirdiği yapıdadır. Bu kitap kuantum mekaniği tarihi açısından bir milat kabul edilir. (Neden acaba!?) İşte bunun nedenini arz etmeye çalıştığımız bu yazıda resimleri ile başladığımız büyük ustaların isimleri ile bitirelim: David Hilbert, Hermann Weyl, John von Neumann

NOT:

Normalde yazının içinde yer almayacak bu notu nedense eklemek gerektiğini düşündüm: Aksiyomatik yaklaşımın getirdiği tertibe dair son bir misal olarak mesela kuantum teorisinin ilk kurucularından olan Heisenberg'in belirsizlik ilkesi hala dahi kuantum mekaniği kitaplarında ve derslerinde ilk anlatılan şeylerden birisidir. Oysa bu ilke yukarıda verdiğimiz postülatlardan yola çıkılarak, işlemcilerin özelliklerinden matamatiksel olarak İSPATLANABİLECEK birşeydir. Dolayısı ile en temel tasvirde yer alması gerekmez.

Hilal Meselesine Dair

Bu sene Ramazan'ın başlaması ile yine hilali görmek meselesi gündeme geldi. Ramazan hakkında bir müslüman için can sıkıcı bir mesele varsa o da bu ihtilaftır diye düşünüyorum. Bu mesele hakkında 2005 yılında tutulum@yahogroups.com isimli e-posta grubuna bir mesaj yollamıştım, profesyonel ve amatör gözlemcilerden şahane cevaplar almıştım. Beni bu mesele hakkında mutmain eden birşey varsa o da bu gözlemcilerden aldığım cevaplardır, bu vesile ile bu mailleri yayımlıyorum.

-----------------------------

Bu mesajın konusunu bir astronomi grubuna cok da uygun olmadigini dusunebilirsiniz ancak soyle veya boyle 1,5 milyar insani ilgilendiren ve buyuk tartismalara yol acan, en onemlisi de insanlarin inanclarini zedeleyen ve bastan asagi can sikici bir mesele uzerinde aramizda bulunan cok degerli bazi usta gozlemcilerin goruslerini almak istiyorum eger musaade ederseniz.

Soyle ki: 

Islam dininin bazi ibadetleri ay takvimine gore duzenlendiginden bu sene de Ramazan'in baslangici ile ilgili ihtilaf yasandi. (Muhtemelen yine Arabistan kokenli olmak uzere) 3 Eylul aksami hilalin "gorundugu" ve Sali gunu Ramazan'in baslandigina dair haberler bu konuda hassas insanlar arasinda yayilmaya basladi. (Esasinda ayin basladigi tarih cok da kritik oneme sahip degil, isteyen ihtiyaten bir gun erken baslayabilir sonucta; esas problem Sevval (Ramazandan sonraki ay) hilalinin gorunmesine dair cunku bayramda oruc tutmak haram biliyorsunuz ve muhtemelen bu sene de bu ihtilaf yasanacak) Benim derdim bu ihtilafin ortadan kaldirilmasi filan degil cunku bunun sebebi 3 maddede belirlenebilecek kadar acik:

1- Hilâlin ilk görünüşünü belirleyecek uluslararası standart bir ölçüm aletinin olmaması.
2- Hilâlin ilk görünüşünü belirlemede farklı ölçüm aletlerinin ve farklı yolların kullanımı.
3- Hilâlin gözetlendiği yerdeki hava durumu.

Ancak yine de aramizdaki bazi usta gozlemcilerin (eger degerli tecrubelerine dayanarak ornek verirlerse cok mutlu olurum) ortalama insan gozunun aksam hilalini "ciplak gozle" gormesi icin ayin gunesten ortalama kac derece uzaklasmis olmasi gerektigi (ve/veya bunun cografyaya gore degisebilip degisemeyecegi) ve de OZELLIKLE gunes tutulmasi olan bir gunun aksami hilali gormenin mumkun olup olmadigi konusunda goruslerini merak ediyorum. Bunu (bilimsel seviyede) tartismanin kimseye bir zarar vermeyecegini tam tersine ileride bu onemli meselenin tam bir cozume kavusturulmasina onayak olabilecegini dusunuyorum...

Saygilarimla,
Dogan Erbahar
GYTE Fizik Bolumu Arş. Gor.

5 Ekim 2005

-----------------------------------------------------------

Merhaba,
Su gunlerde aksam saatlerinde tutulum cemberi ile ufuk cizgisi arasindaki aci cok az. Bu nedenle Venus'un uzanimi yuksek olmasina ragmen ufuktan fazla uzaklasamiyor. Benzer sekilde cok genc bir ayca (hilal) da ufka cok yakin olacaktir ve benim bildigim kadariyla 12-13 saatten daha genc bir ayca goren yoktur (ben hic 24 saatten genc bir ayca goremedim) ve bu kadar genc ayca gorenler de mart-nisan aylarinda yani tutulumun ufukla en fazla aci yaptigi zamanlarda gorebilmislerdir. Bu yil icin sorun yok. 3 Ekim aksami ayca gormek pek mumkun gibi gorunmuyor ve bu nedenle Ramazan henuz baslamis olmuyor.

Islam dini cok ilkel bir topluluga gelmis oldugu icin tum zaman tanimlari oznel. Ornegin, ikindi namazini Gunes'e ciplak gozle bakabildiginiz zamana kadar kilabilirsiniz. Peki bu gunbatimindan ne kadar oncesine denk geliyor?

Bu tur konularda belirsizlik var. Atmosfer etkilerini hic soylemiyorum bile; o kadar onemli ve ongorulemeyen bir etmen ki butun kaynaklar Gunes'in dogus ve batis vaktini ancak dakika seviyesinde verebiliyor.

Erhan Ozturk

5 Ekim 2005

---------------------------------------------------

Merhaba,

Konu inanç olunca tartışmaya çok açık doğal olarak. Bilimsel olarak tartışmak için sanırım "hilal" (veya "ayça") nedir sorusunu yanıtlamak gerek. Bana sorarsanız Ay karşıkonumdan çıktığı an Hilal başlamış olur. Ama önemli olan, o inanca sahip toplumların kabulleri. İnanç konusundaki bir kabulün bilimselliğini tartışmaksa ayrı bir konu.

"T.C. Diyanet İşleri Başkanlığı"nın kabul ettiği tanım ise, Ay'ın karşıkonumdam(Diyanet "içtima" diyor) en az 8 derece uzaklaşmış olması gerektiği. Ayça tanımı 1978 yılında İstanbul'da yapılan bir toplantıda belirlenmiş ve pek çok ülke tarafından uyuluyor.

Saygılar.

Turgut Bayrak

5 Ekim 2005

---------------------------------------------

Merhaba,

Erhan beye katılıyorum. S.Arabistan bize göre yaklaşık 20 derece daha güneyde olmasına rağmen - ki bu bizden daha fazla güneyi görüyorlar demek, gene de 3 Ekim akşamı hilali görebilmiş olamazlar. O akşam Güneş batarken Ay Güneş'e yalnızca 2 derece uzaklıkta idi ve bize yansıttığı ışık, dolunay evresinde yansıttığı ışığın 1000 de 5 i kadardı. Ayrıca Ay, o sırada Güneşe göre daha güneyde olduğundan neredeyse Güneşle aynı zamanda batıyordu. Bu nedenle 3 Ekim akşamı çıplak gözle hilali görebilmek mümkün değil gibi geliyor bana.

Selam ve sevgiler. Uğur İkizler

5 Ekim 2005

---------------------------------------------------

8 derece fena bir değer değil, yine de bence az. Teleskopla görülebilen en "yeni" Ay rekoru yaklaşık (alttaki mesajda yazdığı gibi karşı konum değil) "kavuşum"dan 12 saat 8 dakika sonra görülebilmiş ve birkaç dakika sonra, resmi çekildikten hemen sonra batmış. Çıplak göz rekoru da 14 saat civarında.

Şimdi Ay batarken, en uygun koşullarda (yani yerberideyken / yere en yakın konumunda) saatte 0.6 derece gittiğini kabul edersek, teleskoplu rekor sırasında 7.2 derece, normal rekor sırasında da 8.4 derece Güneş'ten uzaklaşmış olabiliyor.

Ama bu koşullarda Ay'ı görmek için, Ay'ın gözlem sırasında (ki bu da günbatımından 20-30, en çok 40 dakika sonra) Güneş'in tam üzerinde bulunması ve tabii ki havanın temiz olması gerekiyor. Güneş'in tam üzerinde bulunacak Ay ise Türkiye enleminde Aralık-Haziran arası denk gelebilir, ki bu durumda da Ay'ın ekliptiğin oldukça kuzeyinde bulunması gerekli.

Yani Ekim ayında, hem de Ay Güneş'in ve ekliptiğin güneyine inerken 1 gün bile yeterli olmaz; Arabistan'dan bile gördüğünü iddia eden birisi, en iyi ihtimalle yanılıyordur, ya da yalan söylüyordür.

Uygün koşullarda bir "çok yeni" Ay gözlemi, Türkiye'den önümüzdeki ilkbaharda iki kez mümkün olacak ve Ay bu sırada (eğer görünebilirse) 15-18 saatlik olacak.

Sky&Telescope dergisinin internet adresinde, yeni Ay'ı en erken görme şansı olan yerleri bir haritaya işlenmiş şekilde gösteren bir yazı da bulunuyor.

Not: Ama bu Güneş tutulmasında, halkalı evreden hemen sonra görünen hilal Güneş, Ramazan'ı başlatmış olabilir mi? :)

Tunç Tezel

7 Ekim 2005

Gece Olduğunda

Yıllar önce Boğaziçi'nde Ömür Akyüz'den (yanlış hatırlamıyorsam) bilim tarihi hakkında bir ders alıyordum. Dersten aklımda kalan fazla birşey yok ancak bir bilimkurgu hikayesinden bahsettiği hatırımda kalmış hocanın. 

Konusu çok ilgimi çekmişti: Birden çok güneşe sahip bir sistemdeki bir gezegende hiç gece olmuyor zira her taraftan daima en az bir yıldızı görüyor. Dolayısı ile burada yaşayan insanlar gece nedir bilmiyorlar. Ancak her 2000 yılda bir çok kısa zaman için de olsa gezegenin kendine özgü karma karışık hareketinden dolayı gece oluyor ve elbette buna şahit olan nesilde çok büyük sosyal değişimler yaşanıyor, insanlar çıldırıyor, medeniyet neredeyse sıfırlanıyor ve baştan başlıyor. Bilim adamları arkeolojik verilerden bu periyotu anlayabiliyorlar, aynı zamanda gezegenin kestirilemeyecek derecede karışık hareketini çözmeye çalışıyorlar ve gecenin ne zaman olacağını kestireiliyorlar. Devamını anlatmayayım...

Uzun zamandır (abartmıyorum yıllardır) ara ara aklıma gelirdi bu kitabın adı neydi nereden bulunabilir diye, zira hakkında tek aklımda kalan şey yukarıdaki paragraftaki bilgiler ve "When the night falls" gibi bir isimdi. Yazarını filan bilmiyordum ve google aramaları sonuç vermiyordu. Yarım saat kadar önce kendiliğinden karşıma çıktı bu sitede! 2 numaradaki sesli kitap ilgimi çekti açtım wikipediadan filan aradım EVET O! Konusu filan aynı. İsmi de tahmin ettiğimden daha basitmiş. :-)) Şimdi bulup okumak için sabırsızlanıyorum.

Neyse gelelim işin fizik kısmına. Birbirini belli bir kuvvet kanununa göre iten veya çeken iki cisimin hareketine 2-cisim problemi denir. Klasik mekanik kitaplarında bir ünitede işlenen ve çözümü analitik olarak yapılabilen iyi incelenmiş bir problemdir. Rutherford saçılmasından Dünya-Güneş sisteminin basitleştirilmiş çözümlerine kadar birçok yerde uygulamaları vardır. Ancak sistemin içerisine etkisi ihmal edilemeyecek kadar büyük olan bir diğer cisim katarsanız o zaman 3-cisim problemi ile karşılaşırsınız ki problem bir anda analitik olarak ÇÖZÜMSÜZ bir hal alır. Denklemlerin karşılıklı çiftlenimli tabiatı ayrıştırıp çözülmelerine izin vermez. Yapılabilecek yegane şey nümerik olarak çözmeye çalışmaktır. Bilim adamları 200 yıldan fazla süredir 3-cisim problemi ile uğraşmışlar ve sadece bazı özel durumlar için çözümler bulabilmişlerdir. Genel durumun çözümü yoktur. 

3'den fazla cisime genelleştirirsek n-cisim probleminden bahsdebiliriz ve elbette ki bu da çözümsüz olan ve sisteme özgü parametreler ile nümerik olarak incelenmesi gereken kaotik bir sistemdir. İşte Asimov bilim kurgu öğesini bu kaotiklik ve kestirilemezlik üzerine kurmuştur. Hikayedeki sistemde 6 tane güneş vardır dolayısı ile "en iyi" ihtimalle 7-cisim problemi söz konusudur ve evet (neden olmasın) böyle bir sistemde 2000 yılda sadece bir gün gece olabilir. Başka neler olabilir kim bilir...

İşte bu ihtimal dahilinde yazılmış kurgu o kadar ilgimi çekmişti ki yıllardır unutmamışım. Bulunca çok sevindim... :-))

Sonlu Potansiyel Kuyusu

Bitirme çalışması yaptırdığım bir öğrencimin projesinde model bir sistem olarak sonlu potansiyel kuyusunu inceliyorduk. Bunun için de nümerik çözümlerden emin olmak lazımdı. İnternette bu işi yaptığını söyleyen birkaç program ve site var onları kullanalım dedik hepsi birbirinden kafa karıştırıcı idi, emin olamadım. Mecburen bu işi yapan bir kodu kendim yazmam gerekti. Ancak olması gerektiğinden çok uzun sürdü bir şekilde bu iş ve nihayet bitti hemen burada yayımlayıp ensemden atmak istiyorum. Açık kod...

Kuantum mekaniğinin standart alıştırmalarından olan bu problemin "çözümü" birçok kaynakta mevcut. Çözümünü tırnak içinde yazdık zira problem analitik olarak çözülemez. Sınır şartlarının eşitlenmesi sonucunda enerji için çıkan ve "ağır şekilde non-lineer" olan bir bilinmeyenli denklem en sade hale getirilip bundan sonra denklemin nümerik olarak çözülmesi gerektiği söylenir.

Bu yazıda denklemin türetilmesini tekrarlayıp nümerik çözüm için bir algoritma vereceğim. Esas nümerik metod üzerinde durmak istediğimden dolayı teori kısmını sadece önemli noktalara değinerek biraz hızlıca geçeceğim. Dediğim gibi birçok kaynaktan detaylara bakılabilir.

Problemi hatırlayalım: -L ile +L koordinatları arasında -V0'a eşit olan ve diğer her yerde 0 olan bir potansiyelde zamandan bağımsız Schrodinger denklemi çözmeye çalışıyoruz. Potansiyeli yukarıda gösterildiği gibi I. bölge, II. bölge ve III. bölge diye işaretleyelim. Kuyunun içerisinde "bağlı" durumlar (bounded states) arıyoruz dolayısı ile enerjimizin -V0 < E < 0 koşullarına uyması gerekir. 

I. ve III. bölgedeki çözümün genel hali aşağıdaki gibidir.

Burada olurken I. bölgede x < 0 olduğundan ve fonksiyonun normalize edilebilir bir ifade olması şartından dolayı A = 0 olmak zorundadır (aksi takdirde sonsuza patlar). Aynı mantıkla III. bölgedeki çözüm için de B = 0 olmak zorundadır.

II. bölgedeki çözüm ise aşağıdaki şekilde yazılır:

Burada ifadesi ile verilir. Bundan sonra yapılması gereken -L ve +L deki sınır şartlarında hem fonksiyonları hem de türevlerini eşitlemek ve çıkan denklemlerden E'yi bulmaya çalışmaktır.

Bu noktada işi nispeten kolaylaştıran bir teorem yardımımıza koşar. Eğer potansiyeliniz "çift fonksiyon" ise ( V(x) = V(-x) ise ) o zaman çözümler tek ve çift fonksiyonlar olarak ayrı ayrı incelenebilir. Bu yoldan devam edecek olursak tek çözümler için II. bölgede sadece sinüs çözümünü çift çözümler için ise sadece kosinüs çözümünü alabiliriz.

Çift çözümlerle başlayalım: (üstellerdeki kappa'larla trigonometriklerdeki k'lar karışmasın)





(Çözüm çift olduğu için I. ve III. bölgedeki baş katsayıları eşit aldık.)

Bunların türevlerini de alıp -L ve +L sınırlarındaki eşitlemeleri de yapacak olursak 4 denklem elde ederiz ancak bu denklemler ikişer ikişer birbirleriyle aynı olduklarından sadece aşağıdaki 2'si kalır elde:

Bunları taraf tarafa böldüğümüz zaman:

denklemini elde ederiz. Kappa ile k'nın daha önce verdiğimiz tanımları kullanılarak aralarında bir bağıntı yazmak mümkündür:

Burada  ifadesinin kısaltmasıdır. Bu bağıntı yardımı ile bir önceki denklemde kappadan kurtulmak ve k cinsinden yazmak mümkündür. Sonuçta denklem aşağıdaki hale gelir:

Korkunç derecede non-lineer olan bu denkleml cepte dursun bir de kardeşini türetelim. (Yani tek çözümlere bakalım) Tek çözümler için yapılması gereken II. bölgede sinüslü çözümü almak ve I. ve III. bölgedeki çözümlerin baş katsayılarının işaretlerinin birini eksili hale getirmektir. Bundan sonra yukarıdaki aşamaların yolundan devam edersek aşağıdaki denklemi elde ederiz.

İki denklemde de sağ taraftaki ifade tanıdıktır: Yarıçapı k0 olan bir çember denklemi. Soldaki ifadeler ise tanjant ve kotanjant fonksiyonunun değişkenin kendisi ile çarpılarak "sivriltilmiş" halidir. Sağ ve sol tarafların çözümlerine aşağıdaki grafik üzerinde bakalım.

Yatay ekseni k olan grafiğimizde dikey eksen denklemlerde sağ ve sol taraflardaki fonksiyonların aldıkları değerleri ifade etmektedir. Siyah ile çizilmiş eğri çeyrek çemberimizden başka birşey değildir. Kırmızı ile çizilen ise çift çözümlerden gelen k.tan(kL) fonksiyonu iken mavi kesikli çizgilerle gösterilen tek çözümlerden gelen -k.cot(kL) fonksiyonudur. İşte mavi ve kırmızı çizgilerin siyah çemberi kestiği noktalara ait olan k değerleri denklemin çözümünü ifade ederler. Bu değerleri bulmak istiyoruz. 

Yukarıdaki grafikte inceleme örneği olarak 1 nm genişliğinde 10 eV derinliğinde bir kuyuda bulunan elektron problemi seçilmiştir. Görüldüğü gibi 6 noktada kesişim vardır. Yani bu durumda 6 tane bağlı durum mevcuttur. (Sonlu potansiyelde mümkün olan bağlı durumların sayısı  her zaman sonludur.) Grafikten çıkarılabilecek başka güzel yorumlar da vardır. Mesela kuyunun derinliğini arttırırsanız çemberin çapı da artacağından dolayı daha fazla sayıda kesişim noktası (yani bağlı durum enerji seviyesi) olacağı söylenebilir. Yine kuyunun genişliğini arttırmak trigonometrik fonksiyonların "peryotlarını" azaltacağından dolayı çemberin içine daha sık yerleşecekler ve kesişim sayısı artacaktır. Bu güzel grafikte daha fazla kaybolmadan nümerik metodumuza geçelim. Dediğim gibi buraya kadar olanlar ders kitaplarında var. Bundan sonrası ise sadece burada var... :-))

Probleme şöyle yaklaşıyorum: Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının içi pi/2 (ve bazı tek-çift katları) olduğunda sonsuza patlıyor dolayısıyla herşeyden önce bu sonsuzluklardan kaçınmam lazım. Bunun için yatay ekseni pi/2L uzunluğunda dilimlere ayırıyorum ve herbir dilimin içini ayrı ayrı inceliyorum. Birinci, üçüncü, beşinci, vs. tek sayılı dilimlerde çift çözümden gelen denklemi; ikinci dördüncü, vs. çift sayılı dilimlerde de tek çözümden gelen denklemi çözmem lazım. 

Tek-çift mantığını bilgisayara anlattıktan sonra her dilimi aradığım hassasiyete göre (genelde binlerce) parçaya bölüyor ve k'nın değerini her parçada hesaplayarak arttırmaya başlıyorum. Trigonometrik değer çemberin değerinden büyük olduğu anda döngüye durmasını söylüyorum ve bu k değerini kaydediyorum. Ondan sonra bir sonraki dilime geçiyorum ve işlemi tekrarlıyorum. Kaç tane dilim kullanacağımı da ilk başta çemberin yarıçapına göre belirliyorum. 

Bütün k'lar kaydedildikten ve döngüler tamamlandıktan sonra k'ları basitçe enerji karşılıklarına çeviriyor ve yazdırıyorum. İşte bu işi yapan python dilinde yazılmış bir program:

#################################

from math import pi,tan     # Pi sayisi ve tanjant fonksiyonu
h2m = 3.815         # hbar^2 / 2m  (eV.Ang^2) birimlerinde m elektron kutlesi
L = 5                     # angstrom biriminde      DIKKAT !!! KUYU GENISLIGI = 2L dir.
V0 = 10.0              # Kuyunun derinligi   eV biriminde

def cot(x):             # math modulunde kotanjant yoktu kendim tanimladim
    return 1/tan(x)

def k(n,m):                           # k'yi bu sekide bir fonksiyon olarak tanimladim.
    return (pi*n/(2*L)) + m  #  n dilim sayisi m ise dilimin icerisindeki adim.

k0_sq = V0/h2m    # k0'in karesi
k0 = k0_sq**0.5     # k0

adim = 100000       # her bir dilimi yuzbine bolup inceliyorum
m0 = pi/(2*L*float(adim))    # adim arttirma miktari

par_say = int(k0*2*L/pi)+1  #parca sayisi. Bu k0'a gore hesaplaniyor
print par_say,' tane cozum var. Eenrjiler:'   # Cozum sayisi ekrana yaziliyor

for n in range(par_say):    # Ana dongumuz
    m = m0
    if n%2 == 0:                 # Cift cozumler icin
       while k(n,m)*tan(k(n,m)*L) < (k0_sq-(k(n,m)**2))**0.5:
             m += m0              # adimimizi arttiriyoruz
             if k(n,m) > k0:      #son parca icin emniyet subabi
                break                 # k nin k0'dan buyuk oldugu anda duruyoruz ve
       print h2m*(k(n,m)**2) - V0   # ekrana yaziyoruz.
    else:                           # Tek cozumler, ayni mantik
       while -1*k(n,m)*cot(k(n,m)*L) < (k0_sq - (k(n,m)**2))**0.5:
             m += m0
             if k(n,m) > k0:
                break
       print h2m*(k(n,m)**2) - V0  # Bazi kitaplar kuyunun dibini 0 alir o zaman V0'i
                                                            # silebilirsiniz.

######################################

Yukarıdaki grafikte verilen örnek için yazılmış bu kodu çalıştırdığımızda enerji değerleri eV cinsinden aşağıdaki gibi bulunur:

6 tane cozum var. Enerjiler:
-9.70204904621
-8.81234584649
-7.34506318636
-5.33167725429
-2.8477862078
-0.223618800482

"Dolu" Dolu Düşünceler

Dün kampüsten Tübitak'a gitmek için yola çıktım ve arabanmn tepesine bunlardan yağdı. 20-30 tane küçük çaplı ezik var tavanda ve ön kaportada.  Arabanın içinde çıkan sesleri duyduğumda çok daha kötüsünü bekliyordum. Buna da şükür... 

Peki bu "sevimli" şeyler hangi hızla çarpıyorlar arabaya? Üzerinde kafa yorunca biraz ürkütücü bir sonuç çıktığını gördüm: Dolu tanesi ne kadar büyük olursa o kadar hızlı çarpıyormuş !!!

Aşağı düşen cisimler elbette ki yerçekimi ivmesi ile orantılı olarak hızlanırlar ancak hava gibi bir akışkanın içinde düşme söz konusu ise o zaman sürtünmeyi hesaba katmak gerekir. (Bu arada bu bloga yazdığım yazılar arasında şimdiye kadar en popüleri yüzey sürtünmesi ile alakalı yazdığım yazı idi, bu ilgi için teşekkürler) Akışkanlardaki sürtünme kuvveti yüzey sürtünmesinden çok farklıdır. Kuvvetin büyüklüğünü veren en genel formül şudur:

Bu iki terimden birincisine vizkozite terimi denir ve hız ile orantılıdır, ikinci terim ise basınç terimi diye isimlendirilir ve hızın karesi ile orantılıdır. Ancak pratikte karşılaşılan durumlarda iki terimin birden kullanıldığı durumlar çok nadirdir. Eğer "ağdalı" bir akışkan söz konusu ise birinci terim baskındır, hava gibi seyrek akışkanlarda ise (eğer cisim milimetre-mikrometre mertebesinde küçük değilse) her zaman ikinci terim baskındır. Dolayısı ile dolu tanemize etki eden kuvveti yazarken ikinci terimi alacağız. 

Yerçekimi altında hızlanmaya başlayan cisim hızlandıkça üzerindeki sürtünme kuvveti de artacağından dolayı belli bir süre sonra "dinamik" bir denge durumu söz konusu olur ve hızlanma artık durur. Paraşütçülerin çok iyi bildikleri bu hıza limit hız ismi verilir. Biz dolu tanemizin limit hızda düştüğünü varsayalım ve bu hızı bulmaya çalışalım. Yukarıda verdiğimiz sürtünme kuvvetindeki ikinci terimin katsayısını biraz daha açık yazarak yerçekimi kuvveti ile birbirine eşitleyelim:

Burada sol taraftaki terim dolu tanemizin kütlesidir. Sağ taraftaki terim ise akışkan sürtünmesinde basınç terimi diye işaret ettiğimiz ikinci terimin daha detaylı yazılmış halidir. Rho ile ifade edilen şey havanın yoğunluğudur. A ise cismin hız vektörüne dik olan en büyük kesitinin alanıdır. (Paraşütçüler havadaki "duruşlarını" değiştirerek A'yı ayarlayıp hızlarını değiştirebilirler.) C ile ifade edilen şey ise sürtünme katsayısı (drag coefficient) diye isimlendirilen birimsiz bir sayıdır. Bu sayı cismin şekline bağlı olup genelde 0 ile 1 arasındadır. Bir yağmur damlası için 0.04 iken küre için 0.47 dir. Başka geometrik şekiller için iki cümle önceki linke bakılabilir.

Biz dolumuzun bir küre olduğunu varsayalım ve sol taraftaki kütle ifadesini ve sağ taraftaki kesit alan ifadesini buna göre açalım.



Denklem sadeleştirildiğinde limit hız için aşağıdaki ifade bulunur:

Bu ifadenin bize söylediği şey iki misli büyük bir dolu tanesinin küçüğüne göre 1.4 kat daha hızlı kafamıza çarpacağıdır. Evet ben de bu yazıyı yazarken rakamı hesaplamamıştım şu anda yutkunup hesaplıyorum ve çıkan sonuca göre yorum yapacağım. :-) 2 cm çapında küresel bir dolu tanesi için:

Rakam çok etkileyici görünmeyebilir (bence iyi ki de öyle değil), ancak  unutulmamalıdır ki bu hesapladığımız hız dolunun havaya göre olan hızıdır ve bilindiği gibi bu meretler genelde sakin havalarda yağmazlar. Rüzgarın hızı vektörel olarak yukarıda bulduğumuz hıza eklendiği zaman hatırı sayılır bir rakam çıkacağı aşikardır.

Benim için burada esas ürkütücü olan tanelerin büyüklüğü arttığında hızın da ölçeğin karekökü ile orantılı olarak artmasıdır. Görenlerin "yumruk büyüklüğünde" diye tarif ettiği bir dolu tanesi için ise bu hızın saatte 100 km'yi aşabileceği aşikardır.

Atmosfer olmasa halimiz dumandı diyesi geliyor insanın bir yandan da atmosfer olmasa zaten dolu da yağmazdı diyebiliriz. Zaten hayat da olmazdı kaskosuz arabayı nerede tamir ettireceğim derdi de... :-))

Atmosfer olmasa idi demişken bir modern zaman klasiği ile bitirelim, bir çırpıda gaza gelerek yazdığım bu tuhaf yazıyı... Başrolde  astronot David Scott, mekan Ay yüzeyi...

Nefis bir ölçekleme sorusu

Fizikçilerin vazgeçemedikleri oyunlardan olan boyut analizinden daha önce bahsetmiştim. Bu oyunlardan bir diğeri de ölçekleme argümanlarıdır. Bu soru Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü'nde sorulmuş çok güzel bir örnek mevzuya: Gerçek bir helikopteri havada askıda tutmak için motorunun 100 beygir güç üretmesi gerektiğini varsayalım. Bu helikopterin aynı malzemeden yapılmış her boyutu 10 kat küçük olan bir maketini havada tutmak için motoru kaç beygir güç üretmelidir?

Helikopteri havada tutan kuvvetler üzerinden konuşmaya başlayalım. Hiç karmaşık fizik düşünecek havamızda olmadığımızı varsayalım ve eski dostumuz boyut analizi ile yolumuza devam edelim. Helikopterin pervanesinin süpürdüğü alan, pervanenin açısal hızı ve havanın yoğunluğunu kullanarak kuvvet boyutunda birşey yazmaya çalışırsak aşağıdaki formülü elde ederiz. İşlemin detayları için boyut analizi yazımıza bir göz atabilirsiniz.

Şimdi her boyut 10 kat küçülüyor ise A 100 kat küçülüyor, helikopterin ağırlığından başka bir şeye eşit olmayan F de 1000 kat küçülüyor demektir ki bu da şaşırtıcı bir sonuç olan açısal hızın kat ARTMASI anlamına gelir. (Küçük kuşlar daha hızlı kanat çırpıyorlardı değil mi? Neden acaba?)

Aynı yaklaşımı motor gücü için yapalım. Aynı yaklaşımı derken karışık fizik formüllerine boğulmak istememeyi, hava sürtünmesi, kanat uzunluğu üzerinden alınan integralleri, kanat saldırı açısı ile uğraşmamayı kastediyorum. Eşittir yerine orantılıdır işlareti beni bu dertten kurtarıyor, zira bunlar birimsiz olan rakamlardan başka birşey getirmezler. Bana lazım olan "güç" boyutunda olan bir ifade. Aynı parametreleri kullanıyorum ama tabii ki bu sefer üsler değişik oluyor:

Sadece yerine koymak kaldı değişen özellikleri. Dediğimiz gibi alan 100 kat azalıyor. Açısal hız da 10'un karekökü kadar artıyor. Dolayısı ile güç kat azalıyor. Bu da 100 beygir olan orjinal motorun 0,0316 beygircik (23 W) bir elektrik motoru ile değiştirilmesinin yeterli olacağı anlamına gelir.

Katı Açıya Dair

Güneş acaba gökyüzünün kaçta kaçını kaplıyor? Veya bir pencereden dışarı bakarken gökyüzünün kaçta kaçını görebiliyoruz? 

Bazı kavramlar var, fizik kitapları matematiksel bir kavram diye üzerinde fazla durmuyor, kalkulus kitapları da doğru düzgün anlatmıyor. Ondan sonra fizikte önemli bir tanımda karşısına çıkıyor öğrencinin ve tam anlaşılmadığı için problem teşkil ediyor; kendi öğrenciliğimden biliyorum. Katı açı (solid angle) bunlardan biri...

Ortaokul-liseden içselleştirdiğimiz açı ile çok benzeşiyor esasında katı açı kavramı. Ezbere bildiğimiz açının tanımını hatırlayıp gözden geçirmekle başlamak lazım. Açı dediğimiz şey iki doğrunun kesiştiği yerde tanımlanıyor, bu noktaya köşe diyoruz; öyle demeyelim artık nokta olarak kalsın. (Zira katı açı da bir noktada tanımlanıyor.) Başka?

Açı için bize bir de "ölçü" lazım, iki doğru parçası arasındaki "açıklığı" veren bir ölçü. Bunun için de en tabii olan şeyi yapıyoruz. ORAN'ı kullanıyoruz. Merkezi O noktasında olan bir çember çiziyoruz ve doğru parçaları arasında kalan yayın uzunluğun (AB yayı) çemberin çevresine olan oranını ölçü olarak alıyoruz. Kimisi daha okunabilir olsun diye bu oranı 360 ile çarpıp ismine derece diyor, kimisi 400 ile çarpıp grad diyor kimisi de 2.pi ile çarpıp radyan diyor.

2.pi ile çarpmanın arkasında güzel bir fikir var, zira yayın çemberin çevresine olan oranı yerine doğrudan yarıçapa olan oranı ölçü olarak kullanılabilir. Radyan da tam olarak bu demek zaten: Yay uzunluğu yarıçapa eşit olan açı. Bütün trigonometrik fonksiyon açılımlarında, hesap makinelerinde ve bilgisayarlarda karşımıza çıkan açının varsayılan ve en tabii ölçüsü budur: Yayın uzunluğunun yarıçapa oranı.

Şimdi katı açıya gelebiliriz. Önce tek bir cümle ile özetleyecek olursak katı açı, açının 3 boyuta genelleştirilmiş halidir. Nasıl? Herşeyden önce yine açı gibi bir noktada tanımlanır burada bir fark yok. Açıda ölçü için bir oran kullanıyorduk, katı açının da ölçüsü olarak bir oran kullanıyoruz burada da fark yok. Fark şurada ki artık 3 boyutta olduğumuz için çember yerine küre, yay yerine de küre üzerinde bir kapalı bölge (veya sınırları belli bir alan) söz konusudur ve bu alanın kürenin yüzey alanına olan oranını ölçü olarak kullanmak lazımdır. Böyle yazınca gayet basit görünüyor. Ama kafa karıştırabilecek önemli bir nokta var:

Eğer katı açısını ölçeceğimiz alan (bölge/cisim) bir kürenin yüzeyinde yer almıyorsa (bkz. yukarıdaki şekildeki koyu mavi düzlemsel bölge) ne yapmak lazımdır? O zaman bu bölgenin kendi çizdiğimiz bir hayali küre yüzeyi üzerinde radyal izdüşümünün (açık mavi bölge) alanı kullanılır. Kafa karıştırabilecek yegane nokta burasıdır dolayısı ile net bir şekilde tekrar etmek gerekirse yukarıdaki şekilde "S bölgesinin" "O noktasındaki" katı açısının ölçüsü küre üzerine izdüşümü olan ve açık mavi ile gösterilen alan yardımı ile hesaplanır.

Elbette ki kürenin yüzey alanı yarıçapının karesi ile doğru orantılı olduğu için katı açınını ölçüsü olarak küre üzerindeki izdüşümün alanının yarıçapın karesine olan oranını alabiliriz. Bu şekilde tanımlanın bir ölçüye "steradyan" ismi verilir. Nasıl sıradan açıda tam açı 2.pi radyan oluyorsa katı açıda da tam katı açı 4.pi steradyan olur (çünkü kürenin yüzey alanı 4.pi.R^2 dir.)

Alışık olunmayan ve güncel hayatta çok da kullanılmayan bir kavram olduğundan katı açı için söylenen rakamlar belli bir his vermeyebilir. Mesela dümdüz bir arazide bulunduğumuz noktaya göre gökyüzünün maviliği 2.pi steradyandır (yarım küre olduğu için) veya dikdörtgenler prizması şeklinde bir odanın tavanı ile duvarlarının birleştiği bir köşe noktasına göre odanın diğer duvarlarının toplam katı açısı pi/2 steradyandır. Yani bu köşe merkezli hayali kürenin sekizde birini örterler.

Peki düzlem açı ile katı açı arasında bağıntılar var mıdır? Elbette! Hatta bu sayede basit geometrik şekillerin katı açıları kolayca hesaplanabilir. Mesela bir noktadan merkezi tam karşıdaki dik bir daireye baktığımızı varsayalım. Bu problem bir koninin tepe noktasına göre tabanının katı açısını hesaplamaya denktir.

Bu da yukarıdaki şekilden açıkça görülebileceği gibi merkeze göre katı açısını hesaplamak istediğimiz gri dairenin küre üzerine izdüşümü olan kırmızı "küre kapağının" alanını hesaplayıp yarıçap olan R'nin karesine bölerek bulunabilir. Bu kapağın alanı kürenin ekvator çemberinin çevresinin (R-h) ile çarpımıdır. (Bunun ispatına girmiyorum) Böylece kırmızı alan: 

olarak yazılabilir ve bunu ye bölersek katı açı:

olarak koninin tepe yarım açısı (teta) cinsinden yazılabilir. Katı açı genelde omega sembolü ile gösterilir.

Daire dışındaki geometrik şekillerin katı açılarını bulmak için bir dörtyüzlünün tepesine göre tabanının katı açı formülü kullanılabilir.

ABC üçgeninin O noktasına göre katı açısını veren formül:

olarak yazılabilir. Sevimli ve basit görünen bu formülde dikkat edilmesi gereken şey açılarının "düzlemler arası açılar" (iki düzleme dik olan vektörler arası açı - dihedral angles) olduğudur.

Hemen diğer çok kenarlılara genelleştirilebilecek bu formülü mesela bir beşgen piramit için kullanacak olursak beş köşeyi tepeye birleştiren 5 ardışık düzlem arasındaki açıların toplamından beşgenin iç açılarının toplamı olan 3.pi'yi çıkararak bulabiliriz.

Mevzu hakkında daha detaylı bilgi için: http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle adresine bakılabilir.