fizikkaralamalari: Üstüste Duran Küreler

Bu soru farklı zamanlarda farklı yerlerde soruluyor, bizim enstitüde de yıllar içinde popülerliğini kaybetmedi. Birkaç yıl önce soranlara hemen veririm diye hazırladığım bir word dosyası vardı. Onu buraya ekliyorum:

***

Soru: Üst üste duran iki küreden üstteki yuvarlanmaya başlıyor. İki küre de kaymadan yuvarlandığına göre sistemin hareket denklemlerini yazınız.

Soru küre için sorulmuş ancak göstereceğimiz çözüm disk, içi boş çember, vs. gibi kesiti yuvarlak ve kütle merkezi ortada olan kütlesi bu merkez etrafında homojen dağılmış cisimlere de rahatlıkla uygulanabilir. Bu yüzden formalizmimizi genel tutmak istiyoruz ve eylemsizlik momentlerini I olarak bırakıyoruz. Küre olmasını istiyorsanız 2/5MR^2, disk veya silindir için 1/2MR^2 vs. sonradan yerine koyulabilir.

Katı cisimlerin mekaniği ile alakalı olarak önemli bilgileri hatırlayacak olursak bir katı cismin kinetik enerjisi, kütle merkezinin ötelemesinden kaynaklanan öteleme kinetik enerji ile cismin kütle merkezi etrafında dönmesinden kaynaklanan dönme kinetik enerjisinin toplamı olarak ifade edilebilir. Ayrıca düzgün bir yerçekimi alanında yerçekimi merkezi kütle merkezi ile aynıdır ve potansiyel enerji kütle merkezinin konumundan hesaplanabilir.

Bütün bunlardan yola çıkarak soruya doğrudan, basit ve analitik bir yöntemle yaklaşacağız. Referans sistemi olarak kendimize alttaki kürenin üzerinde yuvarlandığı düz yüzeye yapışık bir referans sistemi seçiyoruz. Eylemsiz olduğunu varsayacağımız bu referans sisteminde kürelerin kütle merkezlerinin kartezyen koordinatlarını kürelerin dönme açıları cinsinden yazacağız.

Üstte soldaki şekil sistemin ilk baştaki konumunu göstermektedir. Kürelerin üzerine koyduğumuz işaretler kırmızı ile gösterilmişlerdir. Yere göre durgun seçtiğimiz koordinat sisteminin orijini ise t = 0 anında alttaki kürenin merkezi üzerine gelecek şekilde seçilmiştir. Bu sistem şekillerde yeşil renk ile gösterilmiştir.

Şimdi sistemin belli bir zaman geçtikten sonraki durumunu gösteren sağdaki şekle bakacak olursak alttaki küre $\theta_1$ açısı kadar dönmüş ve sola yuvarlanmıştır. (A işaretinin yeni konumuna dikkat ediniz.) Kütle merkezinin y koordinatı değişmez ancak x koordinatı elbette ki değişir. Koordinatların detaylı hesabı aşağıda gösterilecektir.

Şimdi üstteki küreye odaklanalım. A' işaretinin yeni konumuna dikkat ediniz. İlk başta bu işaret tam aşağı doğru bakıyordu demek ki üstteki küre DO'A' açısı kadar kendi ekseni etrafında dönmüştür. Bu açı $\theta_2$ ile gösterilmiştir. Bu cismin dönme kinetik enerjisi yazılırken kullanılması gereken açı elbette ki bu açıdır.

Son olarak iki kürenin merkezini birleştiren doğrunun düşey düzlemle yaptığı açı $\theta$ ile gösterilsin. Şimdi $\theta_1$ , $\theta_2$ ve $\theta$ arasındaki önemli bağıntıyı çıkaralım. Küreler birbirleri üzerinden kaymadan yuvarlandığına göre ACB yayı ile A'B yayının uzunluklarının birbirine eşit olması lazım gelir. Bu eşitliği yazarsak açılar arasında

$R_1(\theta+\theta_1)=R_2(\theta_2-\theta)$

bağıntısını bulmuş oluruz. Demek ki bu üç açıdan ikisi bağımsız genelleştirilmiş koordinatlar olarak seçilebilir. Hangi ikisinin seçileceği tercih meselesidir ancak aşağıda gösterileceği gibi kartezyen koordinatlar en kolay $\inline \theta$ ve $\inline \theta_1$ açısı cinsinden yazılabilmektedirler. Biz bu ikisini seçeceğiz.

Artık kürelerin kütle merkezlerinin kartezyen koordinatları için ifadelerimizi yazabiliriz. Alttaki küre ile başlarsak

$x_1=-R_1\theta_1$ (yerde kaymadan yuvarlanma)
$y_1=0$

Üstteki küreye bakacak olursak:

$x_2=(R_1+R_2)\sin\theta-R_1\theta_1$ (ilk terim alttaki küreye göre konum, ikinci terim yukarıdaki x_1 ifadesi)
$y_2=(R_1+R_2)\cos\theta$

Öteleme kinetik enerjileri yazmak için bize bu ifadelerin türevleri gereklidir.

$\dot{x_1}=-R_1\dot{\theta_1}$
$\dot{y_1}=0$
$\dot{x_2}=(R_1+R_2)\dot{\theta}\cos\theta-R_1\dot{\theta_1}$
$\dot{y_2}=-(R_1+R_2)\dot{\theta}\sin\theta$

Toplam kinetik enerji (dönme + öteleme) aşağıdaki gibi yazılır:

$T=\frac{1}{2}[M_1(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2)+M_2(\dot{x_2}^2+\dot{y_2}^2)+I_1\dot{\theta_1}^2+I_2\dot{\theta_2}^2]$

Potansiyel enerji ise sadece üstteki küre için söz konusudur ve aşağıdaki gibi verilir.

$U=m_2gy_2$

Artık iş bulduğumuz koordinatları ve türevlerini bu ifadelerde yerine yazmaya kalır. (Kinetik enerjideki $\inline \theta_2$ terimi ise en başta türettiğimiz bağ şartından $\inline \theta$ ve $\inline \theta_1$ cinsinden yazılmalıdır.

$\theta_2=\frac{(R_1+R_2)\theta+R_1\theta_1}{R_2}$
$\dot{\theta_2}=\frac{(R_1+R_2)\dot{\theta}+R_1\dot{\theta_1}}{R_2}$

Bütün ifadeleri yerie yazıp sistemin Lagranjiyenini yazacak olursak:

$L=T-U$
$L=\frac{1}{2}[M_1(R_1^2\dot{\theta_1}^2)+M_2((R_1+R_2)^2\dot{\theta}^2+R_1^2\dot{\theta_1}^2-2(R_1+R_2)R_1\dot{\theta}\dot{\theta_1}\cos\theta)+I_1\dot{\theta_1}^2+I_2(\frac{(R_1+R_2)\dot{\theta}+R_1\dot{\theta_1}}{R_2})^2]-M_2g(R_1+R_2)\cos\theta$

olarak yazılır. Geriye sadece bu uzun ifadeyi Lagrange denklemlerinde yerine koyup hareket denklemlerini yazmak kalır.

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot\theta}})-\frac{\partial{L}}{\partial{\theta}}=0$
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot\theta_1}})-\frac{\partial{L}}{\partial{\theta_1}}=0$

Unutulmamalıdır ki burada türettiğimiz Lagranjiyen fonksiyonu kaymadan yuvarlanma ve kürelerin birbirleri üzerinden ayrılmama şartı geçerli olduğu sürece geçerlidir. Bu da sadece hareketin başlarında doğrudur, kayma ve ayrılma durumu söz konusu olduğunda yukarıdaki inceleme serbsest cisim diagramları üzerinde yapılacak ayrı bir "dinamik" inceleme ile birleştirilmelidir.

fizikkaralamalari

28 Şubat 2012 Salı

Üstüste Duran Küreler

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder

Hakkımda

Blog Arşivi